Pièce en rotation: paradoxe

[epiKx]

Bonjour,

Je signale ce fait contre-intuitif qui est au carrefour des maths et de la physique.

On prend 2 pièces de 1 euro (par exemple) et on les positionne l'une à côté de l'autre pour que les bords se touchent. Combien de tours une pièce doit faire autour de l'autre pour revenir à sa position initiale?

Si vous avez répondu 1 tour (soit 1 fois la circonference), vous êtes tombé dans le piège... La bonne réponse étant de 2 tours.

Voir "coin rotation paradox" sur Wikipedia par exemple pour une explication en anglais...

Bien entendu, on peut généraliser à deux disques de rayon R et r...

J'imagine que beaucoup le connaissait déjà...

La source c'est le concours d'entree Oxford ou Cambridge il me semble...

Si des membres du forum veulent apporter des précisions c'est volontiers
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[gg0]

Oui,

quand on réalise que la pièce fait un tour autour de l'autre pour revenir au départ, mais aussi un tour sur elle-même pour que tous ses points aient touché la pièce fixe (*), on comprend.

Cordialement.

(*) si les pièces ne sont pas fixes, chacune peut faire un seul tour (comme deux engrenages de pivots fixés, par exemple).

[epiKx]

Si on prend 1 pièce 2 fois plus grosse que l'autre et que la petite tourne autour de la grosse c'est dur de ne pas se laisser aller à dire que la petite fait 2 tours complets... alors qu'elle en fait 3 en réalité.

[GBZM]

Bonsoir,
Et maintenant, si la petite pièce roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon deux fois plus grand, combien de tours a-t-elle fait en revenant à son point de départ ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[epiKx]

Bonjour,

Si on se fie à la formule donnée dans la page Wikipedia ça donne 3/2. Mais c'est pas du tout intuitif et il faudrait faire l'expérience avec de vraies pièces de monnaie...

Cordialement

[gg0]

Bizarre, ce 3/2. Car le point de la pièce qui était au contact du cercle au départ l'est à nouveau à la fin. La pièce fait donc un nombre entier de tours. 1 intuitivement.

[epiKx]

Pour moi,
Rouler à l'intérieur équivaut à rouler à l'extérieur.
Et à l'extérieur c'est le problème précédent d'où mon 3/2.

[epiKx]

Le petit cercle tourne sur le grand et non l'inverse. C'est semble-t-il 3/2 mais je suis pas vraiment convaincu...

[gg0]

Pour moi,
Rouler à l'intérieur équivaut à rouler à l'extérieur.

Ben non, puisque le sens de rotation de la pièce change !
Je n'ai pas compris comment tu es passé de 3 (message #3) à 3/2.

[GBZM]

Bonjour,
Je ne m'attendais pas à ce que cette petite question sème autant le trouble. Allez, j'en rajoute une couche : Quelle est la trajectoires d'un point du bord de la pièce ?

[gg0]

Ah oui, c'est amusant ! Pour le point de contact initial, ça se démontre avec des considérations de géométrie élémentaire (pour les autres aussi, en prolongeant le mouvement dans les deux sens).

Cordialement.

[trebor]

Bonjour,

Je signale ce fait contre-intuitif qui est au carrefour des maths et de la physique.

On prend 2 pièces de 1 euro (par exemple) et on les positionne l'une à côté de l'autre pour que les bords se touchent. Combien de tours une pièce doit faire autour de l'autre pour revenir à sa position initiale?

Si vous avez répondu 1 tour (soit 1 fois la circonference), vous êtes tombé dans le piège... La bonne réponse étant de 2 tours.

Voir "coin rotation paradox" sur Wikipedia par exemple pour une explication en anglais...

Bien entendu, on peut généraliser à deux disques de rayon R et r...

J'imagine que beaucoup le connaissait déjà...

La source c'est le concours d'entree Oxford ou Cambridge il me semble...

Si des membres du forum veulent apporter des précisions c'est volontiers

Bonjour à tous,
Ici en vidéo :
https://www.google.com/search?client...xl8EKnfzU,st:0
Deux pièces d'un diamètre identique = 1 tour de la circonférence en contact + 1 tour du centre de la pièce en rotation = 2 tours.
Le trajet du centre du cercle mobile :
Pour que le cercle mobile parcoure le périmètre de l'autre cercle, son centre doit suivre un trajet circulaire.
Ce trajet a une circonférence deux fois plus grande que celle du cercle mobile (car le centre est à une distance égale au rayon de chaque cercle).
Détailles ici par l'I.A :
https://www.google.com/search?client...C3%A9part+%3F+

[gg0]

pas besoin de demander à l'IA, c'est de la géométrie de collège. Inutile de prendre un marteau pilon pour écraser une mouche. Penser suffit;

[epiKx]

Bonjour à tous,

La formule c'est R/r +1 si le petit cercle de rayon r tourne sur le grand cercle de rayon R. Pour trouver 3/2, j'ai interverti R et r d'où mon erreur... Il semble que la bonne réponse soit 3.
Je ne comprends pas l'objection de gg0...

[gg0]

Prends une règle, fais tourner une pièce le long de la règle, d'un côté, puis de l'autre, en allant de gauche à droite. Tu verras que la pièce ne tourne pas dans le même sens. C'est le cas aussi quand on fait tourner à l'intérieur ou à l'extérieur d'un cercle.Donc 3 est bon à l'extérieur du cercle (deux tours pour parcourir le cercle, plus un de plus par rotation autour du cercle), mais à l'intérieur c'est 3-1.

NB : Soit tu fais des maths pour étudier vraiment, soit tu prends une vraie pièce et un cercle tracé pour voir. Quand on n'a& pas d'intuition, on cherche ...
NBB : le titre est mal choisi, il n'y a aucun paradoxe.

[epiKx]

Merci gg0

Je vais faire l'expérience.

Est-il possible de changer le titre? J'ai repris le titre de la page Wikipedia: pas de paradoxe juste un résultat mathématique qui semble faux à première vue...

Cordialement

[gg0]

Oui, on appelle souvent "paradoxes" des résultats mathématiques surprenants (*), alors qu'il n'y a rien de "contraire à la croyance commune" (origine du mot "paradoxe"), puisqu'il n'y a pas de croyance préalable, seulement une mauvaise connaissance du sujet.

Cordialement.

(*) Comme par exemple l'idée suivante : Une corde est tendue à l'équateur de la Terre (supposé circulaire). On lui ajoute 2m et on la remet en cercle, partout à la même hauteur. Elle se trouve à ... cm du sol; on peut passer dessous. La mauvaise connaissance est de comparer 2m à 40 000 km, ce qui n'a rien à voir avec le problème. La surprise (évidente pour qui connaît) est que ce 40 000 km ne sert à rien !! C'est la même chose sur la Lune ou sur Mars.

[Bounoume]

pseudo paradoxe intéressant, mais j'aimerais une veritable démonstration géométrique.....
par addition d' angles de rotation....
l'un des termes étant la rotation de la pièce mobile... dans un repère mobile, défini par l'alignement des 2 centres et du point de contact entre les cercles, et l'autre terme étant justement la rotation de ce repère défini par l'alignement des centres... par rapport au repère fixe classique, où est- définie la position (fixe) du cercle de la pièce qui ne bouge pas......

la rotation totale d'un rayon de la pièce qui bouge, dans le repère fixe de référence de l'observateur, c' est alors la somme de la rotation du repère mobile (évidemment posée comme égale à 1 tour complet) et de la rotation relative de la pièce mobile autour de son centre.... qui va être aussi de 1 tour complet pour que la longueur de cercle déroulée soit aussi celle du tour de la pièce fixe...

en fait il y a changement de repères de rotation, addition d'angles, et ce n'est pas trivial du tout.....

remarque: si la pièce tournante est de rayon R/2....il faudra 2 tours de cette pièce (dans le repère relatif) pour que le développement soit quand même égal à la circonférence de la pièce fixe de rayon R......

si j' y parviens, je vais essayer de faire un schéma, mais je suis fâché avec LaTex..... A bientôt peut-être.....

[gg0]

Bonsoir Bounoume.

Plus simplement, tu peux examiner l'évolution d'un rayon du cercle mobile.
Notons (C) le cercle fixe, de centre O et (C') le cercle périmètre de la pièce, de centre P. Si j'ai compris, tu parles du cas où la pièce roule sans glisser sur un cercle de même rayon. Soit alors D (comme départ) le point de contact initial sur (C) et D' le point de contact initial sur (C'). On peut examiner l'angle (OD,D'P), nul au départ et voir comment il évolue. Avec une figure mal faite et un raisonnement rapide, je vois qu'il vaut 2 fois l'angle (OD,OM) où M est le point de contact. Comme cet angle varie de 0 à 2Pi, l'angle (OD,D'P) varie de 0 à 4Pi, ce qui correspond à 2 tours.

Cordialement.

[Bounoume]

autre façon de le démontrer.....