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quelques interrogations...



  1. #1
    vin's

    quelques interrogations...


    ------

    Bonjour,
    je prépare des oraux pour école d'ingé. et certaines choses restent en suspens... Si quelqu'un peut répondre aux question suivante, merci beaucoup

    1) intégrale (entre a et b) de sin(ln(u))du = ?

    2) Qu'est ce que l'adhérence d'un ouvert ? D'un fermé ? Y a-t-il une grosse différence ?

    3) g : f -> f ' . g est-elle uniformément continue ou juste continue ? En fait, est-ce que celà a une grande inmportance ?

    4) (celle là, je la trouve bête, mais je bloque ) Comment démontre-t-on que (ln(ln(n)))/ln(n) tend vers 0 ?

    5) Le cours de physique de l'année dernière me dit que si Z = a + i*b, et si b>0, alors arg(Z) = arctan(b/a). Mais pourquoi précise-t-on que b doit être positif ?

    6) (par simple curiosité) Y-a-t-il un façon de définir une application linéaire particulière à l'aide de la convexité et de la concavité ?

    Et puis voilà

    -----
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

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  4. #2
    doryphore

    Smile Re : quelques interrogations...

    2) L'adhérence de A est le plus petit ensemble fermé contenant A

    Dans le cas d'un fermé F, l'adhérence de F est F.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. #3
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    merci, et dans le cas d'un ouvert ?
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

  6. #4
    doryphore

    Smile Re : quelques interrogations...

    Le cas où O est ouvert n'apporte rien de plus par rapport au cas d'une partie quelconque si ce n'est qu'on peut dire mais c'est très artificiel que l'adhérence de O est la réunion disjointe de O et de la frontière de O.

    Sinon, ce qui est intéressant, c'est de parler de l'intérieur de O si O est ouvert. En effet dans ce cas, l'intérieur de O est O.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    doryphore

    Cool Re : quelques interrogations...

    6) A vue d'oeil, je dirais que toute application linéaire est à la fois convexe et concave.

    Mais je peux me tromper ...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  9. #6
    doryphore

    Red face Re : quelques interrogations...

    6) Et j'oserais presque dire que toute application à la fois convexe et concave est une application linéaire, mais là je me fais peur...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  11. #7
    doryphore

    Talking Re : quelques interrogations...

    Pour le 3), ça dépend peut-être de l'espace de fonctions que tu considères et de la norme.

    Pour le calcul, ne me demande pas, je suis allergique !!
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #8
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par doryphore
    6) Et j'oserais presque dire que toute application à la fois convexe et concave est une application linéaire, mais là je me fais peur...
    J'avais un sentiment comme ça, vu que s'il y a concavité et convexité, f(somme des lambda-i*xi) est égale à la somme des lambda-i*f(xi), ce qui montre bien la linéarité, seulement, je me disais aussi qu'il faut que somme des lambda-i = 1 et que ces lambda-i soient positifs. (lambda - i = lambda indice i). J'ai donc pensé qu'une application convexe et concave est une application linéaire particulière, mais je savais pas si ça servait, si on l'utilisait, si il y avait à creuser une idée la dessous.

    j'ai aussi un blem, dans le plan, une application linéaire f, convexe et concave, donc, aurait une dérivé positive et négative, donc nul. Donc, les applications linéaires représentables en carthésienne serait les droites du plan perpendiculaire à Ox. Mais peut-être est-ce que je confond tout ? Quand on commence à creuser un sujet, on se rend compte que les notions deviennent flous... C'est mon cas actuellement, ...
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

  13. #9
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    merci pour l'adérence, j'ai enfin compris, c'est un peu l'analogue de la borne sup, le plus petit des majorant, sauf que l'adhérence est valable pour tout EV, c'est le plus petit des "englobant"...
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

  14. #10
    doryphore

    Smile Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par vin's
    j'ai aussi un blem, dans le plan, une application linéaire f, convexe et concave, donc, aurait une dérivé positive et négative, donc nul. Donc, les applications linéaires représentables en carthésienne serait les droites du plan perpendiculaire à Ox. Mais peut-être est-ce que je confond tout ? Quand on commence à creuser un sujet, on se rend compte que les notions deviennent flous... C'est mon cas actuellement, ...
    Là, je peux t'aider, la convexité et la concavité donne des info sur la dérivé seconde, pas sur la dérivé "première"...et tu voulais dire parallèle à (Ox)
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  15. #11
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par doryphore
    Là, je peux t'aider, la convexité et la concavité donne des info sur la dérivé seconde, pas sur la dérivé "première"...et tu voulais dire parallèle à (Ox)
    oui, autant pour moi, c'est la dérivé seconde... et c'est parallèle...
    Enfin, je reprends donc, dérivé seconde nulle implique f ' = C implique f = C*x + D... Oh, c'est beau les maths, on retombe justement sur ... Une application linéaire bien connu des 4ème
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

  16. #12
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par vin's
    f = C*x + D... Oh, c'est beau les maths, on retombe justement sur ... Une application linéaire bien connu des 4ème
    De plus," f (x) = C*x + D est linéaire " est une bêtise... Car f (0) est différent de 0. Pour avoir une bonne vieille application linéaire et ne pas tomber dans les espaces affines, on choisit donc D=0. Ok, merci
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

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  18. #13
    doryphore

    Lightbulb Re : quelques interrogations...

    Oui, tu viens de montrer qu'une fonction de classe C2 sur R qui était à la fois convexe et concave est une application linéaire, heu affine.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  19. #14
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par vin's
    Bonjour,
    je prépare des oraux pour école d'ingé. et certaines choses restent en suspens... Si quelqu'un peut répondre aux question suivante, merci beaucoup
    1) intégrale (entre a et b) de sin(ln(u))du = ?

    4) (celle là, je la trouve bête, mais je bloque ) Comment démontre-t-on que (ln(ln(n)))/ln(n) tend vers 0 ?

    5) Le cours de physique de l'année dernière me dit que si Z = a + i*b, et si b>0, alors arg(Z) = arctan(b/a). Mais pourquoi précise-t-on que b doit être positif ?
    Et puis voilà
    Merci pour ceux qui ne veulent pas tout relire, connaissent les réponses et ont cinq minutes

  20. #15
    doryphore

    Thumbs up Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par vin's
    merci pour l'adérence, j'ai enfin compris, c'est un peu l'analogue de la borne sup, le plus petit des majorant, sauf que l'adhérence est valable pour tout EV, c'est le plus petit des "englobant"...
    C'est une très bonne vision de la chose, cette notion de plus petit des englobants, tu risques de la retrouver.
    Notamment dans les ensembles ordonnés.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  21. #16
    Coincoin

    Re : quelques interrogations...

    Salut,
    1) intégrale (entre a et b) de sin(ln(u))du = ?
    Vu la tête de la réponse que me donne ma calculette, je tenterais une intégration par partie en disant que c'est l'intégrale de u*1/u*sin(ln(u))...

    4) (celle là, je la trouve bête, mais je bloque ) Comment démontre-t-on que (ln(ln(n)))/ln(n) tend vers 0 ?
    Je présume que c'est en n->infini. Dans ce cas, je dirais que c'est la limite de ln(x)/x quand x tend vers l'infini (car c'est que des gentilles fonctions continues).

    5) Le cours de physique de l'année dernière me dit que si Z = a + i*b, et si b>0, alors arg(Z) = arctan(b/a). Mais pourquoi précise-t-on que b doit être positif ?
    A priori ton arctan donnera un truc entre -Pi/2 et +Pi/2, donc j'aurais plutôt tendance à dire que c'est pour a>0...
    Encore une victoire de Canard !

  22. #17
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    Merci beaucoup coincin !

    Je vais démarrer sur ce conseil de réponse 1)

    Pour la 4), et bien ça confirme ce que je pense des révision, au bout d'un moment, il faut revoir non pas les cours de l'année, mais... Les cours de 4ème, 3ème, seconde... Et première terminale

    Et pour la 5) :

    Z = a + i*b = R*exp (i*arg(Z)) = R*exp(i*teta)
    implique :
    a = R*cos(teta) et b = R*sin(teta)
    donc, b/a = tan(teta). Et c'est là qu'on est rigoureux :
    si teta est strictement entre -pi/2 et pi/2, alors teta = arctan (b/a)... Je ne vois pas où est l'erreur. Dois-je en déduire qu'elle est dans le cours de l'année dernière qui me dit que b doit être positif ? Pourtant, j'ai réutilisé cet argument en colle (il y a longtemps, c'est vrai), mais le colleur n'avait pas l'air choqué. Ma démo. est-elle rigoureuse ? merci d'avance
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

  23. #18
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    Et pour int entre a et b de sin(lnu)*du, je trouve :

    I = 1/2[b*sin(lnb)-a*sin(lna)-b*cos(lnb)+a*cos(lna)].

    Et en plus, je viens de vérifier, Mapple est d'accord ! Merci beaucoup ! Donc, mon seul (faux ?) problème reste au niveau de la question 4)
    Dernière modification par vin's ; 25/06/2004 à 09h21.
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

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  25. #19
    gargulp

    Re : quelques interrogations...

    salut,

    pour la question 4, j'imagine que t'as essayé de faire des changements de variable style t=ln(n) ?
    (je ne suis plus capable d'être + précis... ça commence à faire un bail que j'ai pas trempé dans ces histoires...)

  26. #20
    Quinto

    Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par vin's
    Bonjour,
    je prépare des oraux pour école d'ingé. et certaines choses restent en suspens... Si quelqu'un peut répondre aux question suivante, merci beaucoup

    1) intégrale (entre a et b) de sin(ln(u))du = ?
    faut en faire quoi?
    C'est quoi a et b?

    2) Qu'est ce que l'adhérence d'un ouvert ? D'un fermé ? Y a-t-il une grosse différence ?
    Ouvert ou fermé l'adhérence d'un ensemble X est définie de la même manière, c'est le plus petit fermé contenant ton ensemble X.

    3) g : f -> f ' . g est-elle uniformément continue ou juste continue ? En fait, est-ce que celà a une grande inmportance ?
    Ca n'a aucun sens, il faudra déjà établir une norme pour celà...

    4) (celle là, je la trouve bête, mais je bloque ) Comment démontre-t-on que (ln(ln(n)))/ln(n) tend vers 0 ?
    Tu poses ln(n)=N et tu tombes sur du ln(N)/N et ca c'est évident...

    5) Le cours de physique de l'année dernière me dit que si Z = a + i*b, et si b>0, alors arg(Z) = arctan(b/a). Mais pourquoi précise-t-on que b doit être positif ?
    Parce que arctan est impaire, sinon on retomberait sur du -arctan(b/a)

    6) (par simple curiosité) Y-a-t-il un façon de définir une application linéaire particulière à l'aide de la convexité et de la concavité ?

    Et puis voilà
    Toute fonction constante est à la foix convexe et concave.
    La concavité est "invariante par changement de coordonnées" donc tu peux prendre une droite, tu montres que c'est concave (ou convexe, c'est les 2...) et tu tournes ou bouge ton repère dans n'importe quel sens tu gardes une droite, donc ....

  27. #21
    Quinto

    Re : quelques interrogations...

    Au delà d'une norme, c'est carrément une topologie qui te manque ici.
    De quel espace parles tu?

    Regarde un exemple tout bete, en prenant X l'ensemble des fonctions polynômiale réelle de degré inférieur à n (+oo>n>0) définies sur [0,1] et Y l'ensemble des fonctions Cinfinies sur [0,1], munis de la topologies engendrées par l'ensemble des boules ouvertes(ie la topologie "classique" en bac+1/+2) (et sur X la topologie induite)

    Si je prend g la fonction définie sur Y par g(f)=f' pour tout f de Y.
    Il est carrément clair que la restriction de g à X est continue pour n'importe quelle norme, en effet on a que X est un R-ev de dimension finie (n+1) et on sait que toutes les normes d'un tel R-ev sont équivalentes. Une fonction continue pour l'une l'est pour l'autre et vice versa. Et on sait qu'une application linéaire est toujours lipschitizienne entre 2espaces de même dimension finie (c'est ce qu'il y'a de plus fort, ca entraine l'uniforme continuité et donc la continuité, sur tout compact et même sur ton espace entier en fait)

    Maintenant si on prend g sur Y, alors d'une on a plus de résultat d'équivalence de normes.... Donc il faudrait préciser sur quelle norme on travaille (ce qui change considérablement le résultat)
    Prenons par exemple la norme de convergence simple, c'est la plus "intuitive"
    Prenons la fonction f définie par f(x)=0 sur R-{1} et f(1)=1
    Prenons la suite de fonctions (fn) définies par fn(x)=x^n sur [0,1] et par f(x)=0 sur R-[0,1]
    (fn) converge simplement vers f ca y'a aucun problème, c'est trivial.
    On sait que si g est continue alors g(fn) tend aussi vers g(f).
    or g(f) n'est même pas définie puisque f n'est pas Cinfinie (même pas dérivable).

    Je ne pense pas m'etre trompé dans mon raisonnement, celà étant ce n'est pas impossible...
    Cependant tu auras compris que ta question de départ n'a pas de sens sans plus de précisions....

  28. #22
    vin's

    Re : quelques interrogations...

    Citation Envoyé par Quinto
    Parce que arctan est impaire, sinon on retomberait sur du -arctan(b/a)


    Toute fonction constante est à la foix convexe et concave.
    Merci pour toutes ces réponses, mais :

    je ne comprends pas le raisonnement sur arctan :
    Z = a + i*b = R*exp (i*arg(Z)) = R*exp(i*teta)
    implique :
    a = R*cos(teta) et b = R*sin(teta)
    donc, b/a = tan(teta). Et c'est là qu'on est rigoureux :
    si teta est strictement entre -pi/2 et pi/2, alors teta = arctan (b/a)... Je ne vois pas où est l'erreur. Dois-je en déduire qu'elle est dans le cours de l'année dernière qui me dit que b doit être positif ? Pourtant, j'ai réutilisé cet argument en colle (il y a longtemps, c'est vrai), mais le colleur n'avait pas l'air choqué. Ma démo. est-elle rigoureuse ?

    Ensuite :
    J'avais aboutit à ce que une droite qui passe par l'origine est concave, convexe, et c'est une application linéaire...
    Ou alors que les applications concaves et convexes dans le plan carthésien sont les applications affines dans ce même plan... Que penses tu de ça ?
    Merci
    Ce voyage de mille lieues, il a commencé par un pas.
    Lao Tseu.

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