[Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

[Bleyblue]

Bonjour,

Est ce que quelqu'un pourrait me dire comment faire pour intégrer les fonctions :

f(x) = Coséc(x) et f(x) = Séc(x)

En fait j'ai les réponses, mais malheureusement pas les démonstrations, donc c'est un peux bête ...

Merci bien

Zazeglu
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[invitea29d1598]

il faut utiliser un changement de variables très très utile pour les intégrales à bases de trigo:

t = tan(x/2)

ça te donne:

tan(x) = (2 t) / (1- t²)
cos(x) = (1-t²) / (1+t²)
sin(x) = (2 t) / (1 + t²)
dt = (1/2) (1 + t²) dx

tout ça se démontrant très bien avec les formules de trigo classiques...

[invitebb921944]

f(x) = Coséc(x) et f(x) = Séc(x)

C'est quoi ces notations ? C'est pour dire 1/cos(x) et 1/sin(x) ??

[inviteb4418237]

il faut utiliser un changement de variables très très utile pour les intégrales à bases de trigo:

t = tan(x/2)

cela est vrai sur des intervalles ne contenant pas de valeurs de x de la forme Pi+2kPi

Cela dit le principe de ses changements de variable utilise la regle de bioche.
tu examine l'élement differntiel w(x)=f(x).dx et tu regarde :

si : w(x)=w(-x) tu poses t=cos(x)
si : w(x)=w(Pi-x) tu poses t=sin(x)
si : w(x)=w(Pi+x) tu poses alors t=tan(x) sur les meme intervalles que pour tan(x/2)

la solution tan(x/2) elle fonctionne a tout les coups mais est bien souvent un peu lourdes d'un point de vu calculatoire.

voilà en espérant que cela réponde à tes questions.

amicalement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Oui Ganash, Coséc(x) = 1/sin(x) et Séc(x) = 1/cos(x), du moins c'est ce que l'on m'a appris à l'école

Bon, en tout cas j'ai essayé avec X = tg(x/2)
Donc si je ne me goure pas, je tombe sur :

I = (1 + t²)² / (1 - t²)

Et alors là je développe le carré du dessus ?

Merci

Zazeglu

[Bleyblue]

ah non, argh, j'ai fait une erreur, bon je recommence :

poser t = tg(x/2)
dt = 1/2 (1 + t²)dx

dx = 2dt/(1 +t²)

1/cos(x) = (1-t²)/(1+t²)

Donc l'intégrale devient :

2dt/(1 - t²) ce qui nous ramène à une frcation rationelle.

Donc : 1/(1 - t²) = 1/(t² - 1)

et on transforme 1/(t² - 1) en : [A/(t - 1) + B/(t + 1) ]
Et je n'ai plus qu'a trouvé A et B ?

Merci

Zazeglu

[invitea29d1598]

Et je n'ai plus qu'a trouvé A et B ?

c'est ça... mais tu dois déjà avoir fini le calcul depuis le temps...

[Bleyblue]

Ah, pardon pour le retard de la réponse, ben je finis le calcul maintenant

Merci !

Zazeglu

[Bleyblue]

waw waw waw, je tombe sur :

ln (abs(rc((t-1)/(t+1))))

(ln = logarithme naturel, abs = valeur absolue, rc = racine carée)

Ca ne m'a pas l'air juste, qu'en penser vous ?
Je n'ai pas les réponses sous la main, mais je crois me souvenire que la réponse correcte était :

ln(abs(coséc(x) - tg(x)))

Merci

Zazeglu

[invitea29d1598]

rc = racine carée

pas de bête comme ça selon moi...

je crois me souvenire que la réponse correcte était :

ln(abs(coséc(x) - tg(x)))

pour moi y'avait plutôt du

ln [tan (x/2 + une fraction de pi)]

mais c'est p'têt équivalent...

la solution tan(x/2) elle fonctionne a tout les coups mais est bien souvent un peu lourdes d'un point de vu calculatoire.

il me semble surtout qu'avec des expressions à base de fractions rationnelles tu arrives nulle part si tu passes pas par ça... mais je me plante peut-être.

[Bleyblue]

Merci bien

[invite7fc34639]

Bonjour à tous,
en parlant de t=tan x/2, comment fait-on pour retrouver sin x et cos x? un truc que jai jamais vraiment compris, si une âme charitable veut bien m'expliquer? merci

[invite3bc71fae]

t=tan(x/2) plus pratique pour ce qui va suivre:

cos(x)= (1-t²)/(1+t²)
sin(x) = 2t/(1+t²)
tan(x) = 2t/(1-t²)

Pour le démontrer, il faut sans doute se servir des formules de l'angle double.

[invite3bc71fae]

De tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan²(x)), on déduit facilement tan(x)=2t/(1-t²)

De cos(2x)=2cos²x-1 et cos²x=1/(1+tan²x),
on déduit cos(2x)= ...

[invite7fc34639]

Merci de m'avoir aiguillé Doryphore!

[invite65ff4bb8]

bon soir l'integral de 1/cosx= sec=ln/(1/cosx)+tgx/+c

integral da 1/sinx, on a sinx=sin2(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)
et 1=sin²x+cos²x, alors on fait la substitition et petite modification on obtien 1/sinx=sin²x/2+cos²x/2 ,
1/sinx=sin²x(1+cos²(x/2))/2sin( x/2)cos(x/2) apres de transformation on obtien

on s'oppose t=tg(x/2) amplique que x=arctg(t/2) et on substitier et obtien le resultat suivant

S1/sinx=ln(tg(x/2))+c et merci, ce qui ne comprend pas connectez mois sur mon email
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[invite1e93aaeb]

svp si vous pouvez m'aider j'ai pas compris comment à partir:
on pose tg(x/2)=t
on trouve
cos(x)=(1-t²)/(1+t²) et la meme chose pour sin

[invite371ae0af]

tu utilises la formule de trigo
cos2x et sin2x

[albanxiii]

Bonjour,

allez regarder les "formules en t" sur http://www.ilemaths.net/maths_1_trig...formulaire.php