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[Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)



  1. #1
    Bleyblue

    [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)


    ------

    Bonjour,

    Est ce que quelqu'un pourrait me dire comment faire pour intégrer les fonctions :

    f(x) = Coséc(x) et f(x) = Séc(x)

    En fait j'ai les réponses, mais malheureusement pas les démonstrations, donc c'est un peux bête ...

    Merci bien

    Zazeglu

    -----

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  3. #2
    Rincevent

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    il faut utiliser un changement de variables très très utile pour les intégrales à bases de trigo:

    t = tan(x/2)

    ça te donne:

    tan(x) = (2 t) / (1- t²)
    cos(x) = (1-t²) / (1+t²)
    sin(x) = (2 t) / (1 + t²)
    dt = (1/2) (1 + t²) dx

    tout ça se démontrant très bien avec les formules de trigo classiques...

  4. #3
    invite43219988

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    f(x) = Coséc(x) et f(x) = Séc(x)
    C'est quoi ces notations ? C'est pour dire 1/cos(x) et 1/sin(x) ??

  5. #4
    shlezer

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Citation Envoyé par Rincevent
    il faut utiliser un changement de variables très très utile pour les intégrales à bases de trigo:

    t = tan(x/2)
    cela est vrai sur des intervalles ne contenant pas de valeurs de x de la forme Pi+2kPi

    Cela dit le principe de ses changements de variable utilise la regle de bioche.
    tu examine l'élement differntiel w(x)=f(x).dx et tu regarde :

    si : w(x)=w(-x) tu poses t=cos(x)
    si : w(x)=w(Pi-x) tu poses t=sin(x)
    si : w(x)=w(Pi+x) tu poses alors t=tan(x) sur les meme intervalles que pour tan(x/2)

    la solution tan(x/2) elle fonctionne a tout les coups mais est bien souvent un peu lourdes d'un point de vu calculatoire.

    voilà en espérant que cela réponde à tes questions.

    amicalement.

  6. #5
    Bleyblue

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Oui Ganash, Coséc(x) = 1/sin(x) et Séc(x) = 1/cos(x), du moins c'est ce que l'on m'a appris à l'école

    Bon, en tout cas j'ai essayé avec X = tg(x/2)
    Donc si je ne me goure pas, je tombe sur :

    I = (1 + t²)² / (1 - t²)

    Et alors là je développe le carré du dessus ?

    Merci

    Zazeglu

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bleyblue

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    ah non, argh, j'ai fait une erreur, bon je recommence :

    poser t = tg(x/2)
    dt = 1/2 (1 + t²)dx

    dx = 2dt/(1 +t²)

    1/cos(x) = (1-t²)/(1+t²)

    Donc l'intégrale devient :

    2dt/(1 - t²) ce qui nous ramène à une frcation rationelle.

    Donc : 1/(1 - t²) = 1/(t² - 1)

    et on transforme 1/(t² - 1) en : [A/(t - 1) + B/(t + 1) ]
    Et je n'ai plus qu'a trouvé A et B ?

    Merci

    Zazeglu

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  10. #7
    Rincevent

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Citation Envoyé par Zazeglu
    Et je n'ai plus qu'a trouvé A et B ?
    c'est ça... mais tu dois déjà avoir fini le calcul depuis le temps...

  11. #8
    Bleyblue

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Ah, pardon pour le retard de la réponse, ben je finis le calcul maintenant

    Merci !

    Zazeglu

  12. #9
    Bleyblue

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    waw waw waw, je tombe sur :

    ln (abs(rc((t-1)/(t+1))))

    (ln = logarithme naturel, abs = valeur absolue, rc = racine carée)

    Ca ne m'a pas l'air juste, qu'en penser vous ?
    Je n'ai pas les réponses sous la main, mais je crois me souvenire que la réponse correcte était :

    ln(abs(coséc(x) - tg(x)))

    Merci

    Zazeglu

  13. #10
    Rincevent

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Citation Envoyé par Zazeglu
    rc = racine carée
    pas de bête comme ça selon moi...

    je crois me souvenire que la réponse correcte était :

    ln(abs(coséc(x) - tg(x)))
    pour moi y'avait plutôt du

    ln [tan (x/2 + une fraction de pi)]

    mais c'est p'têt équivalent...

    Citation Envoyé par shlezer
    la solution tan(x/2) elle fonctionne a tout les coups mais est bien souvent un peu lourdes d'un point de vu calculatoire.
    il me semble surtout qu'avec des expressions à base de fractions rationnelles tu arrives nulle part si tu passes pas par ça... mais je me plante peut-être.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Merci bien

  15. #12
    nabbla

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Bonjour à tous,
    en parlant de t=tan x/2, comment fait-on pour retrouver sin x et cos x? un truc que jai jamais vraiment compris, si une âme charitable veut bien m'expliquer? merci

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  17. #13
    doryphore

    Smile Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    t=tan(x/2) plus pratique pour ce qui va suivre:

    cos(x)= (1-t²)/(1+t²)
    sin(x) = 2t/(1+t²)
    tan(x) = 2t/(1-t²)

    Pour le démontrer, il faut sans doute se servir des formules de l'angle double.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  18. #14
    doryphore

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    De tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan²(x)), on déduit facilement tan(x)=2t/(1-t²)

    De cos(2x)=2cos²x-1 et cos²x=1/(1+tan²x),
    on déduit cos(2x)= ...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  19. #15
    nabbla

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Merci de m'avoir aiguillé Doryphore!

  20. #16
    zeraoulia rafik

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    bon soir l'integral de 1/cosx= sec=ln/(1/cosx)+tgx/+c

    integral da 1/sinx, on a sinx=sin2(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)
    et 1=sin²x+cos²x, alors on fait la substitition et petite modification on obtien 1/sinx=sin²x/2+cos²x/2 ,
    1/sinx=sin²x(1+cos²(x/2))/2sin( x/2)cos(x/2) apres de transformation on obtien

    on s'oppose t=tg(x/2) amplique que x=arctg(t/2) et on substitier et obtien le resultat suivant

    S1/sinx=ln(tg(x/2))+c et merci, ce qui ne comprend pas connectez mois sur mon email
    adresse supprimé conformément à la charte du forum. JPL modérateur
    Dernière modification par JPL ; 03/04/2009 à 11h42.

  21. #17
    sifaksfoufou

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    svp si vous pouvez m'aider j'ai pas compris comment à partir:
    on pose tg(x/2)=t
    on trouve
    cos(x)=(1-t²)/(1+t²) et la meme chose pour sin

  22. #18
    369

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    tu utilises la formule de trigo
    cos2x et sin2x

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  24. #19
    albanxiii
    Modérateur

    Re : [Intégration] Intégrer 1/cos(x) et 1/sin(x)

    Bonjour,

    allez regarder les "formules en t" sur http://www.ilemaths.net/maths_1_trig...formulaire.php

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