exponentielle dérivable à l'infini

[invite9ab97b7e]

Tout d'abors, bonjour à tous et bonne année


Voila, j'ai un petit doute sur l'une de mes démonstration sur le thème de la dérivabilité :

La question :

f : x ==> e^-(x2)

Montrer que f est de classe C (l'infini)

Résolution :

f est de classe C1 : f'(x) = -2xe^-x2

Supposons f⁽ⁿ⁾(x) vraie

f⁽ⁿ⁾(x) = P(x).e^-x2

Avec P(x) polynome de degré (n).

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = P'(x)e^-x2 - P(x)(-2x)^-x2 = e^-x2*[N(x)-P'(x)]

Avec N(x) polynome de degré (n+1) ==> P(x) * (-2x)

Ainsi, le polynome P(x) est de degré égal au nombre de dérivation de la fonction f.

Donc f est de classe C (l'infini)

Critique :

J'ai l'impression que ma conclusion est un peut vaseuse...


SI vous pouviez me dire si cela suffit sur une copie


merci à vous !

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[inviteae1ed006]

c'est pas trop mal, peut être tu devrais plutôt poser comme hypothèse de récurrence : avec un polynôme comme tu as dit...

[invitef36aef9d]

une réponse rapide et directe est peut-etre de dire que exp(-x²) est la composée de 2 fonctions Cinfinie (exp(u) et -x²) ?

[invite9ab97b7e]

Merci pour ta réponse Tize, c'est ce que je vais faire.

Pour Moloch57, cette solution n'est pas bète, je n'y avais pas pensé !

merci à vous deux ^^

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[A voir en vidéo sur Futura]