autour de la fonction exponentielle

[invite30807de8]

Bonjour à tous !
Je coince sur un problème concernant la fonction exponentielle et mon souci est que je ne dois pas utiliser de résultats du cours, donc la dérivation est interdite (ce qui m'embete vraiment :S)
Je dois montrer que la seule fonction f:Z>R vérifiant quelque soient x et y appartenant à Z², f(x+y)=f(x)f(y) et f(1)=a est la fonction fa:n>a^n
Et la seule fonction f:Q>R vérifiant quelque soient x et y appartenant à Q², f(x+y)=f(x)f(y) et f(1)=a est la fonction exponentielle rationnelle ga:r>a^r
Avec la dérivation, ce ne serait pas difficile mais sans, je ne vois pas comment partir
Votre aide est la bienvenue !

Autre petit problème qui n'a rien à voir : montrer que quel que soit h>0 et quelque soit p appartient à N, (1+h)^p>=1+ph.
J'ai voulu faire une disjonction de cas, avec p=0 et p>=1. Le premier cas est évident et pour le deuxieme je pars avec ph>h mais cela ne me mène nulle part.
help !
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[inviteae1ed006]

Pour la 1)
tu vois comment ça marche...
donc ...

Pour 2)
utilise le binôme de Newton par exemple...

[invite30807de8]

merci beaucoup tize, je n'avais pas pensé à cela ...
Reste plus qu'à construire la démo. merci !

[invitef36aef9d]

En ce qui concerne la question 2, tu peux faire une simple recurrence sur N.
c'est vrai au rang N=1 (trivial)
si c'est vrai au rang N, au rang N+1 on a :
(1+h)^(N+1) = (1+h)^N.(1+h) >= (1+Nh)(1+h) = 1+(N+1)h+Nh^2 > 1+(N+1)h
et voila

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30807de8]

merci moloch, c'est vrai que la récurrence me parle plus que le binôme de Newton

[wolring]

Bonjour à tous. J'ai moi aussi une question autour de la fonction exponentielle. La voici:
Soit f(x)=((x-1)*exp(x)+1)/exp(x).
Quelle est la limite quand x-->0?
en utilisant des DL, je trouve que la limite est égale à 1. Mais d'après la calculette, c'est 1/2. Je voulais savoir si vous pouviez m'aider à prouver que c'est bien 1/2.
(en utilisant le fait que exp(x)=1+x+o(x²) et en simplifiant, je trouve lim f=0).
Voila. Merci.

[martini_bird]

Salut,

en utilisant le fait que exp(x)=1+x+o(x²)

Attention, tu en oublies : .

Ta fonction s'écrit : on voit bien que le 1/2 vient de ce troisième terme.

Cordialement.

[wolring]

ah oui je suis bete d'avoir oublié le 1/2. merci!

[invitef36aef9d]

sauf erreur de ma part, la fonction que tu donne est continue. donc la limite en 0 est f(0)=(0-1)*1+1)/1=0.

[martini_bird]

Je suppose que wolring cherchait la limite de , sinon tu as tout à fait raison et il n'est nul besoin d'utiliser des dl.

Cordialement.

[invitedcd4be3e]

Salut anna3 ! Juste une question, tu serais pas en PC1 en Fermat?

[martini_bird]

Attention au chat !

Utilisez les messages privés svp.

Pour la modération.