TS - fonction exponentielle

[invite39283a1d]

coucou tout le monde !! en fait j'ai un controle demain donc j'essaie de faire un exercice pr m'entrainer mais je n'ai pas la correction et c'est un peu urgent ! donc si quelqu'un voit une manière de procéder ce serait sympa de ma'aider ! mercii


la fction exponentielle a les trois propriétés suivantes :
exp est une fction dérivable sur R
exp'(x)= exp(x)
et exp(0)=1

en n'utilisant QUE CES PROPRIETES, démontrer que :

1. pour tout réel x, exp (x) x exp(-x) = 1
2. pour tout réel a et pour tout réel x,
exp (a+x) = exp(a)exp(x)


voilà si vous aviez juste une piste parce que je ne vois vraiment pas comment faire !
merci bcp !
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[prgasp77]

La 1. découle de la 2.
Et pour la 2. il me semble qu'il y a une astuce qui permet de faire ça très rapidement, mais il est tard et j'ai quelques vodka dans le pif

Je retente demain.

[invite39283a1d]

pour la 1 je vois pas trop !
je suppose qu'on remplace exp(x) par exp'(x) dans
exp(x)exp(-x) donc on a exp(x)exp(-x) = exp'(x)exp(-x) mais je ne vois pas plus comment aboutir à exp(x)exp(-x) =1 !! alors si quelqu'un a une idée ... c'est un peu urgent !

merci bcp à pr gasp77..

[Jeanpaul]

Appelle f(x) cette fonction mystérieuse et calcule la dérivée de Ln(f(x)) puis le Ln du produit f(x).f(-x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

La 1. découle de la 2.

2\
On sait que , on défini donc la fonction : .
est dérivable sur en tant que fraction de fonctions l'étant. (1)

De plus, . (2)

respecte donc les propriétés (1) et (2). Or nous savons que la fonction exponentielle est la seule fonction à les respecter.
On en conclut donc que .

1\
Sachant à présent que . Alors



Il faut croire que les effets de la vodka se sont dissipés. (Oui mais elle était bonne)

[invite4f9b784f]

(1)

Je vois pas comment phi' = phi Tu peux m'expliquer stp.. Merci

[invite4f9b784f]

Ca va merci, j'ai compris;
je vous invite tous à voir ce document qui explique très bien la fonction exponentielle :
http://www.lycee-descartes.ac.ma/sit...onentielle.pdf

[prgasp77]

respecte donc les propriétés (1) et (2). Or nous savons que la fonction exponentielle est la seule fonction à les respecter.

Ca se démontre aussi à partir des propriétés que tu as donné :
Supposont une fonction respecte ces règles. La fonction se dérive en . On en déduit donc que la fonction est une fonction constante .

Or CQFD

Je vois pas comment phi' = phi Tu peux m'expliquer stp.. Merci

No prob, j'ai commis une erreur de signe (oubli). J'applique le fait que la dérivé de est

[invite554bd987]

le plus simple pour la 1/ c'est de deriver f(x)= exp(x) x exp(-x) (la derivee de 1 fait 0) => f est constante => pour tout x appartient a R f(x)=f(0).
d'ou le resultat

[invite554bd987]

pour la 2/ faire le meme processus en considerant cette fois la fonction g(x)=exp(a+x)-exp(a)exp(x)

[prgasp77]

Dans ce cas tu démontre deux fois la même chose :P
Et de plus, ce n'est pas parce que tu détaille moins, donc que tu écrit moins, que c'est plus simple En fait, la démonstration que j'ai faite du 2\ est similaire à calle que tu propose pour la 1\

[invite554bd987]

mais ta reponse est fausse car tu supposes des hypotheses en plus ke celles donnees par l'enonce (par ex: y different de 0 pour tout y) je suis d'accord avec toi (c'est vrai) mais t'es pas suppose savoir sa dans l'enonce.

[invite554bd987]

ta demonstration est fausse parce ke tu supposes des hypotheses en plus non donnees par l'enonce (par ex: exp(y) different de 0 pour tout y)
je suis d'accord avec toi (c'est vrai) mais t'es pas suppose savoir sa d'apres l'enonce

[invite554bd987]

bas justement : "en UTILISANT QUE CES PROPRIETES" si t'as bien lu ( cf enonce)

[invite554bd987]

sinon un conseil pour le futur lit bien ton enonce et tes hypotheses avant de te lancer dans une demonstration.. et ne sous entend pas que les autres copient ta demonstration (fausse) car de plus je ne pense pas que t'es le 1er a avoir demontre ces proprietes sur la planete Terre

[invite4f9b784f]

Et pourquoi tout cela ?? On dérive du sujet là ...

[invite554bd987]

je suis d'accord avec vous.. mais tout sa pour dire que la demo de prgasp77 est fausse d'apres l'enonce de l'exercice

[invite39283a1d]

merci beaucoup à tous je crois que j'ai compris cette fois =D ça tombera peut être pas au controle mais c'est toujours ça de gagné ^^ !!


bonne soirée à tous

Nizm

[invite554bd987]

bonne soiree nizm et a la prochaine

[prgasp77]

Pourquoi tant d'agressivité ?
Et pour le fait que e^y 0 pour tout y, tu as raison. Le plus simple est donc de dériver, comme tu le proposes g(x) = e^{x + y} - e^x.e^y. On démontre ensuite 1. à partir de 2.

Bon, et stop compose message après dispute familliale