Limite

[invite40955be5]

Svp, dans un exercice, il faut que je determine la limite quand x tend vers 0 de (1+x-x²)^1/x. Je sais que c'est avec la formule (1+x)^1/x quand x tend vers 0 = e , mais je n'arrive pas à le transformer. Pouvez vous m'aider ?
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[invite9cf21bce]

Salut ! Une méthode si tu ne connais pas les DL :

Tu considères 1+x-x². Le produit des racines est -1. Tu notes b la racine négative et a l'opposé de la racine positive. Alors (-a)b=-1 (produit des racines) donc ab=1, et aussi b-a=1 (somme des racines).

Alors (1+x-x²)=-(x+a)(x-b)=(a+x)(b-x)=a(1+x/a)b(1-x/b)=(1+x/a)(1-x/b).

D'où (1+x-x²)^1/x=(1+x/a)^1/x(1-x/b)^1/x
=((1+x/a)^a/x)^1/a((1-x/b)^-b/x)^-1/b

Il y a probablement une méthode plus "analyse", mais moins rigolote.

[invite9cf21bce]

Je me relis et je me rends compte que j'ai inutilement compliqué avec mes histoires de signe...

Soient a et b les racines. Alors 1+x-x²=-ab(1-x/a)(1-x/b)=(1-x/a)(1-x/b)
D'où :
(1+x-x²)^1/x=((1-x/a)^-a/x)^-1/a((1-x/b)^-b/x)^-1/b

[invite40955be5]

Je te remercie Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

Si tu connais .. je te laisse continuer ..

[invite40955be5]

ok merci pour vos reponses, mais il ya pas un moyen plus facile que de prendre la formule lim(1+u)^1/u = e en 0?