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transformée fourier



  1. #1
    jameso

    transformée fourier


    ------

    bonjour à tous,

    voici ma question :
    comment démontre t-on que l'application de L1(espace de lebesgue) à valeurs dans Co(fonctions continues tendant vers 0 en infini ) qui à f associe sa transformée de fourier est injective mais non surjective ;
    merci pour vos idées;
    A+

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Geof

    Re : transformée fourier

    A chaud, je dirais qu'il suffit de trouver un contre-exemple, soit une fonction continue qui tend vers 0 en l'infini, mais qui ne soit pas la TF d'une autre fonction, soit, en utilisant les propriétés de la TF, une fonction qui n'admet pas elle-même de TF.
    En particulier, si cette fonction n'est pas L1, alors on doit avoir le contre-exemple.
    Je propose la fonction paire qui à x associe 1/x, sur [a; +Inf[, et pour éviter les problèmes de continuité, qui vaut 1/a pour |x| < a. Ca doit faire l'affaire.

    Geoffrey

  4. #3
    doryphore

    Smile Re : transformée fourier

    Pour info: la transformée de Fourier est une application linéaire continue entre L1 muni de la norme 1 et Co muni de la norme infinie et la norme de cette application est égale à 1.

    Si ça peut être utile, notamment pour l'injectivité?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. #4
    jameso

    Re : transformée fourier

    merci pour vos réponses;

    doryphore:en utilisant ton indication de linearite de l'application on peut facilement conclure quant à l'injectivité je crois (si f chapeau=0 alors f=0).

    geof: je ne vois pas bien le lien entre ton contre exemple et la surjectivité.
    j'ai bcp de mal avec cette notion alors si quelqu'un a une définition "intuitive" de la surjectivité cela m'aiderait
    d'avance merci
    A+

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doryphore

    Smile Re : transformée fourier

    Oui, si tu arrive à montrer que Fchap. = 0 implique que F = 0, alors tu auras montré l'injectivité de l'opérateur "transformée de Fourier".

    En terme algébrique, on dit que le noyau de cet opérateur est réduit à {0}.

    Mais, il faut d'abord que tu démontres que cet opérateur est bien linéaire. (linéarité de l'intégrale)

    Avant toute chose as-tu bien montré que l'image d'un élément de L1 est dans Co, c'est loin d'être évident a priori.

    Pour la surjectivité, dessine deux cercles (ou patates) et fait 5 croix dans la patate de départ et 4 dans celle d'arrivée.

    Fais des flèches qui relient les croix de l'une aux croix de l'autre.
    Arrange toi pour que dans un premier temps, toutes les croix soient reliées: tu as une application surjective de la patate de départ vers la patate d'arrivée.

    Maintenant, recommence et arrange-toi pour qu'une croix de la patate d'arrivée ne soit pas reliée à une croix de la patate de départ.
    L'important est d'avoir une croix de l'arrivée qui n' a pas d'antécédent.
    L'application n'est donc pas surjective.

    Geof a cherché une fonction de l'arrivée (Co) dont il espère que tu montrera qu'elle n'a pas d'antécédant dans l'ensemble de départ (L1).
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  8. #6
    Geof

    Re : transformée fourier

    Tout à fait.

    Désolé, je n'avais pas répondu sur l'injectivité, mais ça me paraissait évident, du fait de la linéarité (qui elle-même n'est peut-être pas si évidente), que Doryphore a bien soulignée.

    Pour l'injectivité et la surjectivité, j'utilise un "truc" pour bien voir ce que c'est:
    soit f une fonction d'un ensemble E dans un ensemble F.
    f est injective si tout élément de F est au plus l'image d'un élément de E.
    f est surjective si tout élément de F est au moins l'image d'un élément de E.
    et f est bijective si elle est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire que chaque élément de F est l'image d'exactement un élément de E.

    Geoffrey

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  10. #7
    jameso

    Re : transformée fourier

    merci pour vos precisions sur la surjectivité ;

    reste à voir si f chapeau est bien Co;je tente une demo..

    on considere TF(y)=int (f(x)exp(-2Pixy))dx) sur R

    1/l'application qui à x associe exp(-2Pixy)f(x) est mesurable

    2/ abs(f(x)exp(-2pixy)) est dominée par abs(f(x)) qui appartient à L1

    peut on alors conclure quant à la continuité de TF(y)?

    PS:doryphore tu munis L1 de la norme 1 mais quel est cet norme 1 ?

    encore merci
    A+

  11. #8
    doryphore

    Re : transformée fourier

    Ds L1(Rn) est donnée par:

    ||u||=int (|u(x)| dx)

    Pour la continuité de TF(y), je regarderais, j'ai une démo. mais dans le cadre des distributions.

    A +.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #9
    doryphore

    Re : transformée fourier

    Ok, tu as montré u(x)e-ixy est intégrable et que donc
    int (u(x)e-ixy) existe.

    Pour la continuité, il te suffit de dire que |û(y)|< ou = ||u||1.

    Enfin, il faut prouver qu'on a bien, lim {|y|->infini} û(y)=0.

    Voilà.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    jameso

    Re : transformée fourier

    merci doryphore ;
    mais en voyant ta réponse je me demande si j'ai bien démontré dans ma demo la continuité de l'application qui nous interesse à savoir celle qui à f associe f chapeau; je n'en suis plus très sur ?

    enfin pour démontrer que lim {y tend infini} û(y)=0 je pense qu'il faut intervertir les symboles mais quel théorème utiliser ?

    je vous remercie pour toutes les réponses reçues sur ce sujet
    A+
    jameso

  14. #11
    doryphore

    Lightbulb Re : transformée fourier

    Je ne sais pas exactement ce que tu as démontré et c'est sans doute inutile que tu m'écrives tout mais de ce que j'avais pu voir tu avais surtout démontré que la fonction u(x)exp(...) était intégrable en majorant cette fonction par une fonction intégrable.

    Le travail pour la continuité est fait aussi mais il faut bien l'expliciter:

    ||û||infini = sup |û(y)|<= int {Rn} (|u(x)| dx) = ||u||1

    On retrouve la continuité entre les 2 evn cités avant.

    Le théorème concerné pour la limite en l'infini est le théorème de Fubini.
    Dernière modification par doryphore ; 20/07/2004 à 18h43.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  15. #12
    droue30

    Question Re : transformée fourier

    Bonjour, j'ai une question qui traite de ce sujet, je ne sais pas si je dois créer un nouveau sujet ou continuer sur ce fil... je vais pencher pour la deuxième option .
    Alors voici mon problème:
    je suis en pleine recherche sur les transformées de Fourier et ce qui peut tourner autour... Je ne sais pas si j'ai plus une approche physique (avec l'étude de signaux) ou mathématique (ce qui m’intéresserait le plus je pense) donc j'essaye pour le moment de combiner les deux. Je suis tombée sur la propriété d'injectivité sur L^1 (comme le sujet initial de cette discussion) et voici mes questions:
    - est ce que c'est injectif sur L^2 ? J'ai cru comprendre que oui et qu'on pouvait même prolonger avec une isométrie SURjective mais j'ai un doute...
    - est-ce qu'on a le même problème en maths qu'en physique concernant le manque d'information qui relie "les temps et les fréquences" ? Parce que si c'est injectif, à un seul spectre (en physique) correspond une seule fonction et donc pas besoin d'une transformation de Fourier à fenêtre glissante pour les fonctions de L^1 ou L^2? Si ce n'est pas absolument nécessaire mais qu'on l'utilise quand même, c'est pour quelles informations ? avez-vous des exemples s'il vous plait ?


    Je crois que j'ai bien compris la définition de la transformée de Fourier continue, discrète et à fenêtre glissante et pourquoi on passe d'une méthode à l'autre en physique mais c'est le côté mathématique théorique qui pose le plus problème...
    Est-ce que vous pouvez m'aider s'il vous plait ou même me conseiller des liens ne serait-ce que pour répondre partiellement à mes questions ? Je suis en prépa MPSI/MP (si ça peut vous guider...)

    Merci d'avoir pris le temps de lire ce message et si possible, de me répondre.
    Je vous souhaite une bonne journée.

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