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primitives



  1. #1
    Soo

    primitives


    ------

    J'ai quelques primitives à calculer qui me posent problème. Voici l'une d'elles:

    f(x)=xcos(x)

    Je remarque que c'est la multiplication de 2 fonction.

    Je suppose que pour calculer cette promitive il ne suffit pas de multiplier les primitives ds 2 fonctions?

    -----

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  3. #2
    chwebij

    Re : primitives

    tu connais l'integration par partie
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  4. #3
    Bleyblue

    Re : primitives

    Citation Envoyé par Soo
    Je suppose que pour calculer cette promitive il ne suffit pas de multiplier les primitives ds 2 fonctions?
    Non, absolument pas :



    Ici tu dois faire une intégration par partie

  5. #4
    Soo

    Re : primitives

    Comment fait-on une intégration par parties?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    chwebij

    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  8. #6
    Soo

    Re : primitives

    Pour calculer une intégrale je sais faire une intégration par parties. Mais dans ce cas là il n'y a pas d'intégrale...comment fait-on lintégration par parties alors?

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  10. #7
    chwebij

    Re : primitives

    alors qu'elle est la relation entre integrale et primitive?
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  11. #8
    kron

    Re : primitives

    Chercher UNE primitive revient à calculer l'intégrale de x0 à x de la fonction, x0 étant un point quelconque du domaine de définition.
    Ta primitive s'annulera alors en x0
    Life is music !

  12. #9
    Soo

    Re : primitives

    Cest bon j'ai compris! Merci beaucoup pour votre aide!

  13. #10
    Soo

    Re : primitives

    Cette fois je dois trouver la primitive de f(x)=xcosx
    J'ai fait une intégration par parties avec u=cosx u'=-sinx v'=x et v=(1/2)x²

    Je trouve donc F(x)=(1/2)x²cosx + (1/2)x²sinx

    Ca vous parait juste?

  14. #11
    kron

    Re : primitives

    Hello !

    Si tu veux vérifier si une primitive est juste, il n'y a qu'une solution directe : tu dérives !
    Et en dérivant tu trouves un truc qui ressemble pas vraiment à xcos(x)...
    Dans ce cas, il y a trois possiblités :

    1/tu as fait une erreur de calcul
    2/tu n'as pas choisi les bonnes fonctions pour l'IPP
    3/l'IPP ne marche pas

    Ici je te suggère la 2/

    Bon courage.
    Life is music !

  15. #12
    Soo

    Re : primitives

    C'est bon j'ai trouvé! Merci beaucoup.
    Maintenant il faut que je calcule l'intégrale de cos²(x) de 0 à pi. J'ai essayé de faire une IPP mais sans résultat...
    Comment dois-je faire?

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  17. #13
    kron

    Re : primitives

    Ici, plus difficile... car une IPP n'est pas la meilleure solution directe.
    tu peux en revanche écrire cos²(x)=(1/2)*(1+cos(2x))
    Si tu ne connais pas la formule je te suggère de la retrouver en utilisant :
    cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
    (qui découle dela formule cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))
    Après, intégrer (1/2)*(1+cos2x) est un jeu d'enfant
    Life is music !

  18. #14
    Soo

    Re : primitives

    Merci! Je vais essayer ta méthode alors!

  19. #15
    Soo

    Re : primitives

    C'est bon j'arrive au bon résultat! Merci beaucoup!
    Les intégrales c'est vraiment pas évident, il faut voir le "truc" qui permet de simplifier...

    Bon je bloque sur une autre intégrale, personne ne s'en s'aurait douté...
    c'est l'intégrale de 0 à racine de 8 de x/(racine(x²+1))
    bon je commence par poser u(x)= x²+1 et u'(x)=2x
    j'ai donc quelque chose de la forme:
    (1/2)*[u'(x)/(racine(u(x))]

    Mais je n'arrive pas à aller plus loin...

  20. #16
    Bloud

    Re : primitives

    Salut,
    Essaie de regarder ce que donne la dérivée de racine(u).
    I was born intelligent...education ruined me!

  21. #17
    kron

    Re : primitives

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    bon je commence par poser u(x)= x²+1 et u'(x)=2x
    j'ai donc quelque chose de la forme:
    (1/2)*[u'(x)/(racine(u(x))]

    Mais je n'arrive pas à aller plus loin...
    Hehe, tu te décourages un petit peu trop vite...
    Pourtant tu tiens la solution dans tes mains !
    Si tu te souviens de la dérivation de fonctions composées, et que tu connais la dérivée de rac(x) (rappel : (rac(x))'=1/(2rac(x)) ça te dit quelquechose?)
    Bon ba il te reste à conclure !
    Life is music !

  22. #18
    Soo

    Re : primitives

    Alors la dérivée de racine(x²+1) = (1/2)*racine(x²+1)*racine(x²+1) si je ne me trompe pas.

    Mais je n'arrive toujours pas à aller plus loin...je suis désespérée...

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  24. #19
    Ledescat

    Re : primitives

    (dérivée des fonctions composées)
    Cogito ergo sum.

  25. #20
    ericcc

    Re : primitives

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Alors la dérivée de racine(x²+1) = (1/2)*racine(x²+1)*racine(x²+1) si je ne me trompe pas.

    Mais je n'arrive toujours pas à aller plus loin...je suis désespérée...
    Attention tu dois bien comprendre la formule des dérivées.
    Tu as (racine(x))'=1/2racine(x)
    MAIS quand tu n'as plus x sous la racine, mais une fonction u(x), la formule devient
    (racine(u(x)))'=u'/2racine(u(x))

    donc la dérivée de racine(x²+1) est (x²+1)'/2racine(x²+1).
    Or (x²+1)'=2x.
    Donc la dérivée de racine(x²+1) est 2x/2racine(x²+1), soit x/racine(x²+1) comme le dit Ledescat

  26. #21
    Soo

    Re : primitives

    Merci pour votre aide. C'est vrai que j'avais oublié quelque chose...

    Bon sinon on me donne y(t)= 1+(t-1)e^(t-2)
    Il faut que je calcule sa primitive N(t) qui vaut N(0) à t=0. J'ai du mal à comprendre cette phrase...
    Bref je trouve que N(t)=t+e^(t-1).

    Cela vous parait-il juste?

  27. #22
    ericcc

    Re : primitives

    Attention tu confonds encore la dérivée de x^n et celle de a^x.
    Dans le cas x^n, c'est la variable (X) qui est élevée à la puissance n. Dans ce cas la dérivée est nx^n-1
    Dans le cas a^x, c'est un nombre (a) qui est élevé à la puissance x. Dans ce cas on écrit a^x=e^xlog(a) et la dérivée est log(a)*e^xlog(a) soit log(a)*a^x.

    Pour t'en souvenir la dérivée de l'exponentielle est l'exponentielle : exp(t)'=exp(t)
    Note que dans le cas de fonctions exp(u(t))'=u'(t)exp(u(t))

  28. #23
    Soo

    Re : primitives

    Justement, je me trouve dans le cas de exp(u(t))'=u'(t)exp(u(t)) avec u(t)= t-2 non?

  29. #24
    ericcc

    Re : primitives

    Si u(t)=t-2, que vaut u'(t) ?

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  31. #25
    Soo

    Re : primitives

    Hum hum...je vais aller me cacher...

    Mais j'avais trouvé dans un cours que (u^n)'=nu'^(n-1). C'est ce que je voulais dire. Donc ça ne marche pas dans mon cas. Faut-il que je fasse une IPP alors?

  32. #26
    ericcc

    Re : primitives

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Mais j'avais trouvé dans un cours que (u^n)'=nu'^(n-1). C'est ce que je voulais dire. Donc ça ne marche pas dans mon cas. Faut-il que je fasse une IPP alors?
    C'est vrai mais on est ici dans le cas e^u(t) et non u^n !

    Pour ton problème je te propose de montrer les deux propositions suivantes (l'une puis l'autre) cela te simplifiera grandement la vie dans le futur.

    Proposition 1
    La dérivée d'une fonction de la forme P(x)e^x où P est un polynôme de degré n est Q(x)e^x où Q est un polynôme de même degré que P.

    Proposition 2 (plus facile par récurrence, mais plus instructif à la main)
    La primitive d'une fonction de type x^ne^x est une fonction de la forme P(x)e^x+C où le degré de P est n et C une constante
    Indication : faire une intégration par parties
    En déduire que la primitive d'une fonction de type P(x)e^x est de la forme Q(x)e^x+C

  33. #27
    Soo

    Re : primitives

    Merci ericcc, finalement j'a trouvé!

    Bon l'énoncé me dit qu'après un repiquage au temps zér, on contrôle la vitese de crosiance d'une population bactérienne. Cette vitesse y(t) varie en fonction du temps et s'exprime sous la forme:
    y(t)=1+(t-1)e^(t-2)

    On me demande ce que représente N(t), qui est la primlitive de y(t), et si N(0)=100, ce que vaut N(6).

    Je pense que N(t) représente le nombre de bactéries au temps t?

  34. #28
    ericcc

    Re : primitives

    Oui c'est comme pour la vitesse d'une voiture : sa primitive est la distance parcourue.

  35. #29
    Soo

    Re : primitives

    Encore une fois merci!

    On me demande de calculer N(6), sachant que N(0) vaut 100.
    Quand je calcule N(0), je trouve 0. Quand je calcule N(6), je trouve 218,68.

    Est-il donc juste de dire que N(6)=318,68?

  36. #30
    ericcc

    Re : primitives

    Non !

    Quand tu prends une primitive de y, tu trouves une famille de fonctions N(t), qui varient d'une constante à chaque fois.

    Par exemple si y(t)=e^t, toutes les fonctions de la forme N(t)=e^t+C sont des primitives de y(t).

    La donnée de N(0) te permet de déterminer C. Dans mon exemple, si tu sais que N(0)=100, tu en déduis que C=99.

    Tu peux alors calculer N(t) pour tout t.

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