fonction aléatoire et moments

[invitebf65f07b]

Bonjour tout le monde,

je suis face à cette aimable fonction :


Je parle de fonction aléatoire puisque les deux paramètres et sont aléatoires (leurs logarithmes suivant chacun une loi normale).

Concernant ma fonction, les plus observateurs auront remarqué que c'est un fonction en escalier et que son intégrale est constante (égale à ).

Ce qui m'intéresse moi, c'est de récupérer un maximum d'information sur : son espérance en tout temps (), sa corrélation () et voir même sa loi (sur un échantillon fini pour ceux à qui ça parle...).

Bon, pour l'instant, et malgré mes efforts, j'ai même pas réussi à poser une expression manipulable de l'espérance. Si des gens plus compétents sur ce genre de trucs voient quelque chose que j'aurai raté, merci de me tenir au courant.
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[Médiat]

Peut-être que quelque chose m'échappe, mais est-ce qu'il ne manque pas une donnée : la valeur maxi de t (le mini doit être t0, j'imagine) ?

[invitedf667161]

Salut, je te donne le résultat des calculs que j'ai fait rapidement pour la moyenne de Q(t). Je pose a=ln(alpha), b=ln(beta) et suppose que a et b sont normales centrées réduites indépendantes. Je prends aussi t_0=0. Voici donc une super formule :

[invitedf667161]

Désolé pour la longue formule, mais c'est le jeu ma pauvre Lucette !

Les sont des fonctions indicatrices. Ce résultat sort du théorème de transfert. Je l'ai écrit comme cela car peut-être que chaque intégrale en da peut se calculer et qu'on peut ensuite espérer calculer celle en b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf65f07b]

ok Guyem,
j'avais sorti des trucs de ce genre, mais je dois bien avouer que je ne sais pas calculer ces intégrales à la main.

pour Médiat, on n'est absolument pas obliger de fixer un min et un max pour t.

[invitebf65f07b]

et tant qu'à faire, c'est quoi cette formule de transfert?

pour ce qui est de l'intégrale du terme , mapple me l'exprime à l'aide la fonction erf.
mais la seconde intégration, c'est un abandon complet de notre cher mapple (enfin, je suis pas non plus un pro de mapple).

[invitedf667161]

La fonction erf c'est, par définition, la primitive de exp(-x^2/2) (ou quelque chose du genre, peut-être sans la division par 2 ...). Pas étonnant que Maple t'en sorte pour ces trucs.

Après coup, je me dis que c'est peut-être pas comme ça qu'on va s'en sortir, il ne faut peut-être pas séparer les deux intégrales comme je l'ai fait.

Au fait, tu es sûr que ton truc se calcule ou bien c'est un machin qui est sorti au milieu d'un problème que tu t'es donné ?

[invitebf65f07b]

je ne ne m'étonne pas que Maple (qui est mon ami même si j'écorche généreusement son nom) me sorte du erf (et moi qui m'était emmmbêté à faire un lien url).
par contre, Maple ne semble pas en mesure d'intégrer la fonction erf. rien d'étonnant en fait quand on pense que erf n'a elle même pas d'expression explicite.

sinon, je ne peux pas garantir que mon truc se calcule bien, vu que c'est extrait d'un modèle physique et que j'essaie d'en tirer les info qui m'intéresse moi.

et dis moi si je me trompe, ta formule de transfert, c'est juste un changement de variable non?

[invitedf667161]

Pas vraiment, c'est la définition de la loi poussée d'une variable aléatoire.

En fait, tu l'utilises souvent sans t'en rendre compte. Quand tu écris que la moyenne d'une normale centrée réduite c'est , tu as déjà utilisé le théorème de transfert.

[invitebf65f07b]

ok merci, je vois de quoi tu parles, je ne donnais pas de nom à cette propriété.

[invitebf65f07b]

bon, on aura pas de formule explicite, mais je m'en contenterais.
la "bonne" nouvelle, c'est que le calcul de la corrélation n'est pas très différent de celui de l'espérance grâce au fait qu'on manipule des et .

par contre, je ne suis pas assez cruel pour relancer qui que ce soit sur la loi générale du machin. loi qui doit avoir une tête plutôt moche et dont je n'ai pas directement besoin d'ailleurs.

évidemment, si quelqu'un voit un autre angle d'attaque, je suis preneur.