Découverte mathématique :Théorie de Henrik Abel refutée

[invite4ef352d8]

Tous a fait d'accord, avec toi Guyem, mais il est plus simple de comprendre, cela en considérant l'expression exactes de la suites E(n) en fonction des racines de P, et la on voit, que quelque soit les conditions initiale, (sauf sur une droite vectorielle bien particulière... mais si on trouve cette droite, c'est qu'on a déja résolue l'equaton en fait...) la suite G(n) converge bien vers la plus grande racine de P.
(un probleme interviens quand il y a deux "plus grandes racine" dans ce cas la suite G(n) ne converge pas, mais on peut s'en sortir par des petites translation du polynome)
donc sa ne sert à rien de multiplier par x^i, tu trouve toujour la meme racine à la fin !



une autre facon de voir les choses, c'est de dire que Citation calcule le polynome x^n modulo P... (c'est à ce niveaux qu'il pourrait améliorer son algoritme en utilisant l'exponentiation rapide...), et il s'avere, que si P a bien "une seul plus grande racine" qu'on notera L, alors assymptotiquement la suite X^n est équivalente a k*(L^n)*Q
ou Q est le polynome P divisé par (X-L) !
(disont pour etre rigoureux que X^n/L^n tend vers k*Q... pour éviter de parler de l'équivalence de deux suites vectorielle... ceci etant relativement simple à démontrer en utilisant par exemple les polynomes interpolateurs de lagrange associé aux racines de P...)

donc en calculant X^n modulo P (ce qui ce fait tres bien par exponentiation rapide), on trouve simultanement L et Q !... c'est a peu de chose pres ce que fait Citation (sauf qu'il n'utilise pas d'exponentiation rapide et qu'il ne récupère pas non plus Q à la fin... mais l'idée de départ est bien la)

la difficulté est de ramener P à un polynome qui as bien une plus grande racine. jusqua maintenant Citation à toujour réussit a s'en sortir par des translation, mais dans le dernier polynome que j'ai donné il y a une petite difficulté suplaimentaire (chercher ces racines, vous verez de quoi je parle je pense^^ )... pas insurmontable certe, mais disont que si il arrive à s'en sortir avec celui la, à priori il s'en sort avec n'importe qu'elle polynome...
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[invitedf667161]

Oh bien vu Ksilver.

Tu as donc bien mieux compris le problème que je ne l'ai fait (encore une fois, sans lire le sujet ...).

[leg]

et dans ce cas, Ksilver, GuYem :
est ce que sa méthode serait intéressante .?

[invite4ef352d8]

avec les améliorations que j'ai mentioné, sa deviens performant (sous la forme dont parle citation, c'est a convergence linéaire... a ce niveaux autant utiliser une bonne veille methode dichotomique, c'est plus simple, et aussi efficace...).

mais à priori sa reste toujours moins performant que la methode de Newton, le nombre d'itération neccesaire est a peu pres le meme, mais sous la forme actuelle les itérations de la methode de newton sont un peu plus rapide... avec Newton, on calcule x - P(x)/P'(x) pour une valeur de x donné, avec horner c'est en 2n opératon environ (n le degrée de P) , avec cette methode : il faut calcule Q^2 mod P, pour Q et P donné, la on est plutot en n² opération environ...

ceci dit il existe peut-etre un moyen performant de calculer Q^2 mod P, qui fasse chuter ce temps de calcule (alors que pour Newton, c'est sur, on peut pas améliorer...), ... peut-etre une mehtode "diviser pour régner"... apres tous on est pas tres loin de la multiplication rapide par FFT, qui reviens a calculer Q*R modulo (x^n - 1)... enfin j'ai déja chercher un peu si on pouvait pas grignoter la dessu, mais j'ai rien trouvé de pertinent...


Bref, c'est une methode extrement élegante je trouve, mais malheuresement un peu moins efficace que newton.

les coté positifs :

-il est probablement possible de l'améliorer, optimiser le calcule de Q^2 mod P comme je l'ai dit, ou alors peut-etre de trouver un moyen d'extraire toute les racines complexe simultanement...

-une methode tres similaire permet de diagonaliser une matrices (pareil... on calcule M^n par exponentiation rapide, et c'est équivalent a L^n*P, ou L est la plus grande valeurs propres, et P le projecteur spectral associé...) et pour le coup, c'est plus performant que de calculer le polynome charactéristique et de chercher ces racines avec Newton... a condition d'etre sur que la matrice est diagonalisable




mais, ceci dit, je suis toujours tres curieux de voir comment Citation contourne la difficulté du polynome que je lui ai donné^^

[invite42cd6fb5]

Je ne saurais participer au débat mathématique, seulement la 1ere chose qui m'a choqué dans le post d'origine c'est cette phrase "pensez vous que ça mérite un prix?"

il est interessant de voir l'état d'esprit de quelqu'un qui croit avoir résolu une enigme et qui sans l'aval de quiconque pense déjà à recevoir un prix...

un peu trop d'orgueil sans doute...

[invite87912a33]

Le plus simple est que tu soumettes ta méthode à un institut qui pourra en débattre plus facilement qu'ici et te donner un avis définitif sur la question...

[invited5b2473a]

bonjour à tous,

ta formul permettrait donc de calculer de manière approchée les racines d'un polynôme. Ce qui serait intéressant de savoir, c'est avec quelle vitesse, histoire de voir si elle est plus intéressante que Newton ou les autres. A priori, selon ton exemple, elle convergerait moins vite que la dichotomie!!

[leg]

bonjour
La vie est dure, et pourquoi pas glaner quelque chose en faisant un travail honnête, mais ce n'est sûrement pas cela qui l'a motivé, alors évitons certain dénigrement.

Pour la deuxième question, je pense au contraire que Citation a eu raison de poser son travail sur ce site,

Beaucoup d'intervenants ont proposés des idées qui peuvent lui permettre de faire un travail plus approfondi et qui sait...
Notamment les idées de Ksilver qui résume très bien son travail avec un avis très pertinent et constructif, ce qui est le but de ce forum

Donc attendons la suite et la réponse sur le polynôme de Ksilver

[invite6602386a]

la limite est la solution de l'equation c'est pas moi qui le dit c'est Bernoulli , alors faut ouvrir un bouquin de math et etudier Bernoulli. Ma methode permet de donner les premiers termes.

Une chose qui est sur , c'est que si on veut 25 chiffres apres la virgule , le 25 eme chiffre sera correcte et pas approché . Je suis curieux de savoir comment les ingenieurs travaillent avec racine de 2 . Certes racine de 2 peut etre la solution d'une equation comme l'est une limite mathematiquement parlant , cependant les ingenieurs travaillent avec une approximation et choisissent le nombre de chiffre apres la virgule qui convient. S'arreter à 1.414 ne rend pas racine de 2 faux comme solution d'une equation . Pareil s'arreter à X chiffres dans ma methode ne rend pas la limite fausse.

[invite14e03d2a]

la limite est la solution de l'equation c'est pas moi qui le dit c'est Bernoulli , alors faut ouvrir un bouquin de math et etudier Bernoulli.

C'est moi qui interprete mal ton message ou tu es un peu agressif là? Parce qu'en plus, celui qui a besoin de réviser, c'est plutôt toi qui ne fait pas bien la distinction entre solution exacte d'une équation et valeur approchée d'une solution...

Je suis curieux de savoir comment les ingenieurs travaillent avec racine de 2 . Certes racine de 2 peut etre la solution d'une equation comme l'est une limite mathematiquement parlant , cependant les ingenieurs travaillent avec une approximation

Justement, c'est là le coeur du débat. Ta méthode fournit des approximations ce qui pourrait être très utile aux ingénieurs (mais je ne suis pas expert, je laisse à d'autres le soin de répondre) mais PAS la solution exacte comme tu le prétends

Cordialement

[invite9c9b9968]

Le dernier message resume parfaitement la situation

C'est drole quand meme Citation que tu fasses un tel blocage, alors que ton travail a potentiellement un interet non negligeable, pourvu que tu fasses ce que dis leg et KSilver

[invite986312212]

Je suis curieux de savoir comment les ingenieurs travaillent avec racine de 2 . Certes racine de 2 peut etre la solution d'une equation comme l'est une limite mathematiquement parlant , cependant les ingenieurs travaillent avec une approximation et choisissent le nombre de chiffre apres la virgule qui convient.

essayons de prendre un peu de hauteur. hum? qu'est-ce que ? On peut répondre que ce n'est qu'un symbole pour noter la solution (inconnue chez les rationnels) de l'équation . Et en ce sens, dire que cette équation a pour solution c'est ne rien dire du tout. La même chose vaut pour 2/3 qui est la solution (inconnue chez les entiers) de 3X-2=0, ou encore de i pour .

Citation pourrait être tenté de suivre la même voie, et de baptiser (par exemple) la limite de sa suite d'approximations pour le polynôme . Il aurait ainsi créé un nouveau symbole et pourrait dire qu'une solution de est

Mais: il se trouve qu'on peut étendre les règles du calcul
aux symboles de la façon qu'on sait, si bien que de simples symboles pour donner une solution à une équation qui n'en a pas (dans les rationnels) ils acquièrent le statut de nombres dans un certain corps. La même chose vaut pour 2/3 et i (toujours comme on sait).

Est-ce que la même chose peut être faite à partir de l'algorithme de Citation? ça ne me semble pas du tout évident.

[invite7553e94d]

Bonsoir. J'aimerais apporter ma pierre à l'édifice (sans foutre un bordel monstre ).

Pour reprendre la pensée de Citation, en effet les ingénieur travaillent finalement avec des approximations. Mais il est important de noter qu'ils n'approximent qu'en toute fin de calcul (saufs cas exceptionnels où ils vérifient que leur approximations auront sur le résultat final un impact d'un ordre inférieur à la précision souhaitée).

Imaginons qu'un ingénieur s'intéresse à la transformée de fourier d'une fonction. Fonction faisant intervenir ln2 ~ 0,69314718. Une fois la transformation appliquée, celui-ci ne s'intéressera qu'aux 5 premières (par exemple) harmoniques, puisqu'il veut une approximation de 10^-6 (toujours par exemple).

La question est : l'approximation précédente influt-elle sur le résultat final ? La réponse est bien entendu oui. Influt-elle sur le résultat à 10^-6 près ? Bonne question ... Et bien ça se calcule ... ça se majore ... etc.


Donc nous avons deux méthodes :

1. Approximer en permanence, donc vérifier par la suite que ça ne chamboule pas nos resultats ... si on fait des approximations dans les caulculs de vérification on en a pas fini
2. Travailler jusqu'à la fin de l'étude avec des valeurs exactes, puis arrondir pour s'adapter à la précision nécessaire ou à la précision des machines.

Alors, à votre avis ?

Pour conclure je dirais : c'est beau d'être capable de donner une valeur avec autant de précision que voulu ; mais c'est autre chose que de pouvoir exprimer exactement ladite valeur.
Une approximation est locale : elle ne s'applique qu'à une étude, alors que l'expression est globale, elle est vraie pour toute étude.
On peut comparer ça à la différence entre la définition de l'exponentielle sur C (série des z/n!) et le DL à un ordre aussi grand que voulu de cette fonction en un point : la série est vraie partout, le DL n'est vrai qu'en un point et n'est utilisable que pour une étude (selon l'ordre).


Merci de m'avoir lu jusqu'ici. Bonne continuation.

[Médiat]

Est-ce que la même chose peut être faite à partir de l'algorithme de Citation? ça ne me semble pas du tout évident.

L'algorithme de Citation donne des rationnels (). Quant aux vraies racines (les limites des résultats de l'algorithme de Citation) d'un polynome P, si les coefficients sont rationnels (ou algébriques), le corps "naturel" dans lequel elles sont plongées est le corps des algébriques (bien sur ce n'est pas le seul corps qui convienne).

[leg]

bonjour tout le monde
Citation,
a)
est ce que le polynôme de Ksilver te pose problème,
b)
ou pour l'instant tu affines ta formule par rapport aux idées et conseil que te donnent les intervenants
c)
sur les idées de Ksilver dans son dernier résumé, qu'en penses tu, puisque ses idées paraissent bonnes, pour te faire améliorer ton travail, ("mais sans connaître exactement ta méthode ").
Je pense que beaucoup attende ton résultat sur ce polynôme, afin de pouvoir continuer dans un but constructif , autant pour toi que pour les intevenants.

Si tu rencontres un problème sur cette équation, rassure toi je pense que Ksilver te donnerra des idées il est de très bon conseil, ainsi que la plupart de ce qui sont intervenus dans un but positif et constructif, afin de faire avancer ton travail.

dans l'attente, A+

[invite9c9b9968]

Tout pareil

Il y a plein de choses à faire sur cet algo, et qui sait il peut peut être se réveler très performant

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
Ce topic me rappelle quelque chose d'amusant.
J'avais donné la fausse démonstration suivante à un camarade en lui demandant ou était l'erreur :
a=b
a²=ab
a²-b²=ab-b²
(a-b)(a+b)=b(a-b)
a+b=b
2=1
et il avait fini par me répondre que c'était faux car a n'est pas égal à b. J'ai eu beau me tuer à lui expliquer que c'était une hypothèse, il n'a rien voulu savoir et ca me rappelle le cas de citation.

la limite est la solution de l'equation c'est pas moi qui le dit c'est Bernoulli , alors faut ouvrir un bouquin de math et etudier Bernoulli. Ma methode permet de donner les premiers termes.

Une chose qui est sur , c'est que si on veut 25 chiffres apres la virgule , le 25 eme chiffre sera correcte et pas approché . Je suis curieux de savoir comment les ingenieurs travaillent avec racine de 2 . Certes racine de 2 peut etre la solution d'une equation comme l'est une limite mathematiquement parlant , cependant les ingenieurs travaillent avec une approximation et choisissent le nombre de chiffre apres la virgule qui convient. S'arreter à 1.414 ne rend pas racine de 2 faux comme solution d'une equation . Pareil s'arreter à X chiffres dans ma methode ne rend pas la limite fausse.

Je vais tenter de t'expliquer ce que tu sembles refuser de comprendre.
Je veux résoudre l'équation x²=1, dans ce cas je peux écrire avec raison que les solutions sont -1 et 1 et effectivement si je remplace x par -1 ou 1, je vais retomber sur 1.

Maintenant, je veux résoudre x²=2. Mais je veux voir la solution positive par exemple EXACTE et ECRITE. Lis bien ces deux mots car ils sont importants.
Si tu m'écris : 1,41 tu as effectivement réussi à écrire une solution mais celle ci n'est pas exacte on est d'accord ?
Maintenant si tu m'écris racine(2), tu as effectivement réussi à écrire une solution qui est de plus exacte (car si je remplace x par racine(2), je trouve bien 2)

Maintenant je vais te demander de m'écrire une solution EXACTE et ECRITE (dans son intégralité j'entends) de l'équation précédente qui soit présentée sous la forme d'un nombre à virgule.
Ca tu ne peux et ne pourras jamais le faire puisque racine2 est un nombre à virgule qui admet une infinité de chiffres après la virgule. Donc si tu t'arrêtes à un moment, ta solution n'est pas exacte et si tu continues à l'infini, tu ne pourras jamais me l'écrire complètement.

Maintenant, il existe des équations qui admettent des solutions mais qu'on ne pourra jamais ECRIRE dans leur intégralité de manière EXACTE.
C'est le cas pour la plupart des équations de degré 5.

[invite7863222222222]

Ca tu ne peux et ne pourras jamais le faire

Justement Il me semble que c'est essentiellement la seule chose qu'il pourra le faire : il apelle Po la limite de la valeur fournie par son algorithme et voilà, il a exprimé une solution.

[invitebb921944]

Certes mais dans ce cas seule la limite de sa suite est une valeur exacte. Les nombres pour des n quelconques sont tous inexactes et c'est ce que citation ne semblait pas comprendre.

[invite4ef352d8]

gloablement je trouve qu'il comprend tres bien, a part un petit peu de vocabulaire qu'il ne respecte pas, j'ai l'impression qu'il quand meme a des idées claire sur la réalité mathémtique des choses... la seul chose que je comprend pas c'est pourquoi il est persuadé que ca methode est différente d'une simple dichotomie... qui est tous aussi efficace...

[leg]

gloablement je trouve qu'il comprend tres bien, a part un petit peu de vocabulaire qu'il ne respecte pas, j'ai l'impression qu'il a quand meme des idées claire sur la réalité mathématique des choses... la seul chose que je comprend pas c'est pourquoi il est persuadé que ca methode est différente d'une simple dichotomie... qui est tous aussi efficace...

par ce qu'a mon avis, il ne métrise peut être pas tout ton polynôme en est la preuve il aurrait déjà donné une réponse , maintenant cela lui ferra prendre compte, de certaint détail concernant sa formule, soit comme tu l'as dit il peut l'améliorer, soit il n'y arrive pas et il lui reste alors, la solution d'expliquer, comment il en est arrivé là et que peut on faire si cela en vaut la peine, bien sur.

de toutes les façons pour s'en convaincre, il faut qu'il aille au bout de son idée, et qu'il explique où il trouve des difficultés si il veut rendre son travail constructif.

mais comme le souligne Ganash il se pourrait aussi que certaine équation de degré 5, sa formule lui pose problème et il ne peut peut être pas exprimer les Quotient de Gn sous la forme de deux entiers tel que p/q
c'est une hypothèse.
attendons qu'il se manifeste .

[invitec3f4db3a]

Euhh , il a l'air heureux de pouvoir obtenir la solution avec n'importe qu'elle approximation c'est ca ?

La dichotomie le fait très bien , la limite de la méthode par dichotomie est également une solution , et la dichotomie est libre de droit avec une démonstration accecible a tous et tout et tout ...

Je vais être méchant , mais .... aussi ingenieuse que soit la méthode , une complexité linéaire n'a aucun interet ni pour les ingenieurs et certainement pas pour les mathématiciens .

Donc ce n'est plus la peine de continuer à en discuter , surtout si il reste persuader que resoudre un polynome c'est avoir une racine approchée ...

[invite7553e94d]

Il semble que KSilver ait fournit quelques idées pour réduire la compléxité de l'algo (et cela sans le connaitre). Affaire à suivre ...
Mais Citation se fait prié ... alors que KSilver l'aide

[invite6602386a]

Un peu de patience les amis , ça sera bientot pret . Je travaille sur l'equation de Ksilver , elle fait parti d'une exception que j'ai prévu dans ma methode .

En attendant la cerise sur le gateau voici un autre exemple , j'espere que ça vous plaira:

equation : x^5+3x^2-1=0

D'abord une petite transformation ....

(X+a)^5+3(X+a)^2-1=0

avec a=1 X+1=x

On commence à resoudre X : X^5+5X^4+10X^3+13X^2+11X+3=0
X^5= -5X^4-10X^3-13X^2-11X-3

Avec la relation de recurrance:

E(n+1)= -5E(n)-10E(n-1)-13E(n-2)-11E(n-3)-3E(n-4)

On definit G(n+1)= E(n+1)/ E(n) avec les 4 premiers termes de recurrance

G(6)= -15/5
G(7)= -38/15
G(8)= -94/38
G(9)= -233/94

On continue de calculer les termes G(n) jusqu'a ce qu'on trouve la limite :

-2.856464282
-2.565360553
-2.429458176
-2.408006028
-2.406377306
-2.389545152
-2.370665484
-2.361093061
.-2.357984694
-2.355796866
-2.353210304
-2.351198899
-2.350129773
-2.349565955
-2.349127553
-2.348761273
-2.348512345
-2.348365418
-2.348271153
-2.348201039
-2.348149836
-2.34811602
-2.348094405
-2.348079707
-2.348069235
-2.348061974
-2.348057148
-2.348053935
-2.348051726
-2.348050192
-2.348049146
-2.348048443
-2.348047967
-2.348047641
-2.348047417
-2.348047265
-2.348047162
-2.348047092
-2.348047044
-2.348047011
-2.348046989
-2.348046974
-2.348046963
-2.348046956
-2.348046952
-2.348046948
-2.348046946
-2.348046945
-2.348046943
-2.348046943
-2.348046942
-2.348046942
-2.348046942
-2.348046942
-2.348046942
-2.348046941
-2.348046941
-2.348046941
-2.348046941
-2.348046941

On remarque que les derniers resultats se repetent cinq fois on peut conclure que G(n) converge vers G(69)
donc X=G(69) = -2.348046941 donc x= X+1 = -2.348046941+1 =-1.348046941

donc x= -1.348046941 avec 9 "exact" decimaux apres la virgule

Je connais la suite , on va me reprendre sur X=-1.348046941 . Et y'a encore quelqu'un qui va prendre sa calculette et remplacer X par la valeur et trouver que ça ne fait pas 0

[invite9c9b9968]

Un peu de patience les amis , ça sera bientot pret . Je travaille sur l'equation de Ksilver , elle fait parti d'une exception que j'ai prévu dans ma methode .

Ah tiens ? Cool pour une methode qui se veut generale...

On remarque que les derniers resultats se repetent cinq fois on peut conclure que G(n) converge vers G(69)

Tu n'as rien demontre et cela n'a rien de mathematique : c'est comme si tu me disais dans un raisonnement par recurrence "ca marche pour n=1, ca marche pour n=2 donc ca marche pour tout n"

Autre maniere de voir ton erreur de raisonnement : prend une calculette, et tape -1.348046941 +1/n (en commencant par n=1, puis en incrementant). A partir d'un moment , par exemple n=n0 la calculette te crachera -1.348046941, tu ne peut pas pour autant en conclure que -1.348046941 = -1.348046941 +1/n0

donc x= -1.348046941 avec 9 "exact" decimaux apres la virgule

Je connais la suite , on va me reprendre sur X=-1.348046941 . Et y'a encore quelqu'un qui va prendre sa calculette et remplacer X par la valeur et trouver que ça ne fait pas 0

Bah oui, pas de bol hein... Ma calculette effectivement donne un resultat de 2.4541e-9 si je l'injecte dans l'equation.

Comme prevu, ta methode donne une approximation de la solution et non la solution, et au passage ma calculette est plus performante que la tienne puisque elle detecte ton erreur.

Cela fait un nombre incalculable de fois que l'on te le dit. Je prend donc la decision de fermer ce fil, pour te laisser le temps de regarder les suggestions d'amelioration de KSilver, et d'apprendre enfin ce que signifie resoudre une equation et en donner une solution approchee.

Je le reouvrirai une fois que tu auras fait tout ca ; contacte moi par MP a ce moment la, pas avant car c'est un dialogue de sourd pour l'instant.

Gwyddon

[invite9c9b9968]

Je reviens juste pour vous donner la reponse de Citation a l'equation de KSilver, ce qui sera ma derniere intervention de ce fil jusqu'a ce que Citation ait suivi les divers conseils donnes ici.

concernant l'equation de Ksilver cette équation n'admet que des solutions complexes. J'ai prévu ça dans ma methode.

Si le signe de E(n+1)/E(n) n’est pas constant sur n (peut etre soit positif soit negatif) , l’equation a seulement des solutions complexe.

Voici les solutions :
1.717703362+-2.363448378i
-0.03106406667+-3.843765617i
-0.3161262644+-0.1401884577i