Découverte mathématique :Théorie de Henrik Abel refutée

[invite6602386a]

Bonjour à tous,

Je viens de faire une découverte mathématiques sur les equations polynomiales qui réfute la théorie du mathématicien Henrik Abel . Il a demontré que l'équation quelconque de degré 5 n'est pas résoluble à partir de combinaisons de racines de coefficients. Aujourdh'ui j'ai la demonstration mathématique avec une formule generale qui prouve le contraire et qui permet de donner une valeur exacte à chaque solution de l'equation . Ou est ce que je pourrais présenter cette decouverte ? Quel institut serait interessé ? pensez vous que ça mérite un prix?

Merci
-----

[Médiat]

Bonsoir,
Tu peux déjà publier ici les expressions des racines (ou au moins une) sans aucune démonstration, comme cela les passants du forum pourront te confirmer que tu ne t'es pas trompé sans prendre le risque de te faire "voler" ta découverte.

Cordialement.

[azt]

Bonsoir,
Malheureusement, je crains que tu ne te sois trompé dans tes calculs.

Mais espérons quand même, que donne ta formule pour la factorisation de
x⁵+x⁴+x³+x²+x+2 ?

[rapasite]

a mon humble avis cela merite un prix mais je demande a voir...

sinon je ne sais pas ou tu pourais presenter ta decouverte...


et j'esper que tu a raison


bonne chance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5e1117d5]

En tant que représentant du Clay Institute, je peux affirmer qu'une telle théorie nous intéresse vivement. Nous serions ravis de pouvoir étudier vos manuscrits afin de les publier et d'assurer leur diffusion, afin que votre mérite soit reconnu aux yeux de la communauté scientifique.

Très cordialement,

[martini_bird]

Salut,

une découverte d'une telle ampleur ! Je te conseille de la cacher secrètement pour que personne n'y ait accès !

Plus sérieusement, quelle est la probabilité pour que plusieurs générations de cervelles mathématiciennes aient demeuré dans l'erreur ? Et la probabilité pour que ta "démonstration" soit fausse ?

Cordialement.

[invite6602386a]

Bonsoir à tous ,

Je me permets de partager un exemple avec vous , pour tous les incredules . L'exemple qui va suivre est très long alors prenez patience de me lire attentivement et entierement .

Merci

L'equation : X^5=3X^4X^3+2X^2+X+1

La premiere chose à determiner c'est le nombre minimum d'itérations necessaires pour calculer les solutions de l'equation . Ce nombre est appellé K1= K0+n0.

En suivant les directives pour determiner K0 , je vais illustrer comment calculer K0

K0 est le facteur commun minimum entre 1*3 , 2*4 ,3*2 ,4*1 ,5*1

Ce qui est à droite de chaque produit est representé par les coefficients de l'equation polynomial, et a gauche de chaque produit sont representés les indices à partir de 1.

Donc nous devons identifier les differentes pair de facteurs premiers contenus dans le produit entre les 5 produits

[1*3]* [2*4]* [3*2]* [4*1]* [5*1]

prochaine étape: on doit exprimer ce produit en termes de facteurs premiers
[1*3] * [2*2*2]* [3*2]* [2*2*1] *[5*1]

Faisons la meme chose pour chaque paire de facteurs premiers :

[1*3] *[2*2*2]* [3*2] *[2*2*1] *[5*1] = [1*3]* [2] *[3*2] *[2*2*1]*[5*1]

[1*3]*[2]*[3*2]* [2*2*1]*[5*1]= [1] *[2] *[2] *[2*2*1]* [5*1]

[1]*[2] *[2]*[2*2*1]*[5*1] = [1]* [2*2*1]* [5*1]

[1]*[2*2*1]*[5*1]= [1]*[5*1]

[1]* [5*1]=5

Ensuite , on doit determiner l'equivalent de ce resultat en terme de modulo n0 , ou n0 est le degré de l'equation puisque l'equation est du degré 5 , donc n0= 5

Donc 5 modulo 5= 5[5] = 0

Donc K0=0 et K1 = K0+ n0= 0+5 =5

Donc K1=5

K1=5 iterations donne au moins 1 chiffre apres la virgule

Pour m chiffres apres la virgule , on a :

K= (K0+n0) [1+2+... m] =(K0+n0)*(m(m+1))/2

Le nombre K , est le nombre maximum d'iterations necessaires pour calculer la solution jusqu'a m chiffres apres la virgule

ici K = (5m(m+1))/2


Pour m= 1 K= (5*1*(1+1))/2 =5


Dans le systeme decimale , K+10 = 5+10 =15 iterations est le nombre maximum d'iterations pour lequel m=1 chiffre apres la virgule , est aussi commun aux termes de la serie : G (K+1) = E(K+1)/ E( K) ce qui signifie:

L (avec m=1 chiffre)= G(15)= G(16)=.....

En verifiant le résulat avec une calculatrice, on verifie que : G(15) = E(15)
------ donne 9 chiffres apres la
E(14)


virgule de la solution X

Donc X avec 9 chiffres apres la virgule = Int(G15 X10^9)
--------------
10^9

ou Int est la fonction integrée . Maintenant nous devons calculer E15 et E14 en utilisant l'expression Ek developé . Seulement les puissances positives sont permises dans l'expression :

On calcule E14 donc K= 14 , a=3 , b=4 , c=2 , d=1 , e= 1


E14= 3^14+1 + (14 /1 ) * 3 ^14-1 *4 + .......etc..

Je trouve E14= 1231215656

Ensuite on calcule E15 , K=15 a=3 b=4 c=2 d=1 e=1

E15= 3^15+1 + etc..........

E15=5059866125

Maintenant calculons la solution the l'equation


X(9 chiffres apres la virgule) = Int (G15*10^9)/10^9=

Int((E15/E14)*10^9)/10^9=4.109650572


Donc X=4.109650572 est une solution de l'equation X^5=3X^4 +4X^3+2 X^2 +X+1 Ce resultat peut etre verifié par la methode de Newton .

Je possede la formule generale ainsi que ça demonstration naturellement , je ne vais pas la devoiler sur ce site.

[invite6602386a]

Bonsoir à tous ,( Correction du message ci dessus)

Je me permets de partager un exemple avec vous , pour tous les incredules . L'exemple qui va suivre est très long alors prenez patience de me lire attentivement et entierement .

Merci

L'equation : X^5=3X^4X^3+2X^2+X+1

La premiere chose à determiner c'est le nombre minimum d'itérations necessaires pour calculer les solutions de l'equation . Ce nombre est appellé K1= K0+n0.

En suivant les directives pour determiner K0 , je vais illustrer comment calculer K0

K0 est le facteur commun minimum entre 1*3 , 2*4 ,3*2 ,4*1 ,5*1

Ce qui est à droite de chaque produit est representé par les coefficients de l'equation polynomial, et a gauche de chaque produit sont representés les indices à partir de 1.

Donc nous devons identifier les differentes pair de facteurs premiers contenus dans le produit entre les 5 produits

[1*3]* [2*4]* [3*2]* [4*1]* [5*1]

prochaine étape: on doit exprimer ce produit en termes de facteurs premiers
[1*3] * [2*2*2]* [3*2]* [2*2*1] *[5*1]

Faisons la meme chose pour chaque paire de facteurs premiers :

[1*3] *[2*2*2]* [3*2] *[2*2*1] *[5*1] = [1*3]* [2] *[3*2] *[2*2*1]*[5*1]

[1*3]*[2]*[3*2]* [2*2*1]*[5*1]= [1] *[2] *[2] *[2*2*1]* [5*1]

[1]*[2] *[2]*[2*2*1]*[5*1] = [1]* [2*2*1]* [5*1]

[1]*[2*2*1]*[5*1]= [1]*[5*1]

[1]* [5*1]=5

Ensuite , on doit determiner l'equivalent de ce resultat en terme de modulo n0 , ou n0 est le degré de l'equation puisque l'equation est du degré 5 , donc n0= 5

Donc 5 modulo 5= 5[5] = 0

Donc K0=0 et K1 = K0+ n0= 0+5 =5

Donc K1=5

K1=5 iterations donne au moins 1 chiffre apres la virgule

Pour m chiffres apres la virgule , on a :

K= (K0+n0) [1+2+... m] =(K0+n0)*(m(m+1))/2

Le nombre K , est le nombre maximum d'iterations necessaires pour calculer la solution jusqu'a m chiffres apres la virgule

ici K = (5m(m+1))/2


Pour m= 1 K= (5*1*(1+1))/2 =5


Dans le systeme decimale , K+10 = 5+10 =15 iterations est le nombre maximum d'iterations pour lequel m=1 chiffre apres la virgule , est aussi commun aux termes de la serie : G (K+1) = E(K+1)/ E( K) ce qui signifie:

L (avec m=1 chiffre)= G(15)= G(16)=.....

En verifiant le résulat avec une calculatrice, on verifie que : G(15) = E(15) /E (14) donne 9 chiffres apres la virgule de la solution X

Donc X avec 9 chiffres apres la virgule = (Int(G15 X10^9))/10^9

ou Int est la fonction integrée . Maintenant nous devons calculer E15 et E14 en utilisant l'expression Ek developé . Seulement les puissances positives sont permises dans l'expression :

On calcule E14 donc K= 14 , a=3 , b=4 , c=2 , d=1 , e= 1


E14= 3^14+1 + (14 /1 ) * 3 ^14-1 *4 + .......etc..

Je trouve E14= 1231215656

Ensuite on calcule E15 , K=15 a=3 b=4 c=2 d=1 e=1

E15= 3^15+1 + etc..........

E15=5059866125

Maintenant calculons la solution the l'equation


X(9 chiffres apres la virgule) = Int (G15*10^9)/10^9=

Int((E15/E14)*10^9)/10^9=4.109650572


Donc X=4.109650572 est une solution de l'equation X^5=3X^4 +4X^3+2 X^2 +X+1 Ce resultat peut etre verifié par la methode de Newton .

Je possede la formule generale ainsi que ça demonstration naturellement , je ne vais pas la devoiler sur ce site.[/QUOTE]

[prgasp77]

Oula ... difficile à lire tout ça ...
Je ne comprends pas comment passer d'une étape à une autre dans la majorité des retours à la ligne

J'espère que la démonstration n'est pas aussi rigoureuse.

[invite6602386a]

Resoudre une equation du septieme degre (no=7)

X^(7) = 2*X^(6) + 4*X^(5) + 3*X^(4) + 2*X^(3) + X^(2) + X + 6

On Exprime la relation de recurrace entre E(n) et G(n):

E(n+1)= 2E(n) + 4E(n-1) + 3E(n-2) + 2E(n-3) + E(n-4) + E(n-5) + 6E(n-6)

G(n+1) = E(n+1)/E(n)

G(n+1) = 2 + 4/G(n) + 3/[G(n)*G(n-1)] + 2/[G(n)*G(n-1)*G(n-2)] +

1/[G(n)*G(n-1)*G(n-2)*G(n-3)] + 1/[G(n)*G(n-1)*G(n-2)*G(n-3)*G(n-4)] +

6/[G(n)*G(n-1)*G(n-2)*G(n-3)*G(n-4)*G(n-5)]

Pour utiliser ces formules il est necessaire de calculer les six premiers termes pour E(n)

et G(n):E(8),E(9),E(10),E(11),E(1 2),E(13)

G(8), G(9), G(10), G(11), G(12), G(13)

X^(8) = X^(7)*X = 2[2*X^(6) + 4*X^(5) + 3*X^(4) + 2*X^(3) + X^(2) + X + 6] +

4*X^(6) + 3*X^(5) + 2*X^(4) + X^(3) + X^(2) +6X=

8*X^(6) + 11*X^(5) + 8*X^(4) + 5*X^(3) + 3*X^(2) +8*X +12


Donc E(8)=8 , a partir de l’equation du septieme degre E(7)=2

Donc G(8)= E(8)/E(7)= 8/2=4

X^(9)= X^(8)*X = 8*X^(7) + 11*X^(6) + 8*X^(5) + 5*X^(4) + 3*X^(3) + 8*X^(2) +

12*X=

La substitution de X^(7) par son equation conduit au resultat:

X^(9)= 8[2*X^(6) + 4*X^(5) + 3*X^(4) + 2*X^(3) + X^(2) +X +6] +

11*X^(6) + 8*X^(5) + 5*X^(4) + 3*X^(3) + 8*X^(2) + 12*X=

27*X^(6) + 40*X^(5) +29*X^(4) + 19*X^(3) + 16*X^(2) + 20*X + 48

G(9)= E(9)/E(8)=27/8=3.375

X^(10)= X^(9)*X= 27[2*X^(6) +4*X^(5) + 3*X^(4) +2*X^(3) + X^(2) +X+6] +

40*X^(6) +29*X^(5) + 19*X^(4) +16*X^(3) + 20*X^(2) +48*X=

94*X^(6) + 137*X^(5) +100*X^(4) + 70*X^(3) + 47*X^(2) +

75*X+ 162

G(10)= E(10)/E(9)=94/27=3.481481481


X^(11)= X^(10)*X= 94[2*X^(6) +4*X^(5) +3*X^(4) + 2*X^(3) + X^(2) + X +6] +

137*X^(6) +100*X^(5) + 70*X^(4) +47*X^(3) +75*X^(2) +

162*X=

325*X^(6) +476*X^(5) + 352*X^(4) + 235*X^(3) + 169*X^(2)+

256*X + 564

G(11)= E(11)/E(10)= 325/94=3.457446809


X^(12)= X^(11)*X= 325[2*X^(6) + 4*X^(5) + 3*X^(4) + 2*X^(3) + X^(2) +X +6] +

476*X^(6) + 352*X^(5) + 235*X^(4) + 169*X^(3) + 256*X^(2) +

564*X =

1126*X^(6) + 1652*X^(5) + 1210*X^(4) + 819*X^(3) +

581*X^(2) +889*X + 1950

G(12)= E(12)/E(11)=1126/325= 3.464615385


X^(13)= X^(12)*X= 1126[2*X^(6) +4*X^(5) +3*X^(4) +2*X^(3) + X^(2) +X+6] +

1652*X^(6) + 1210*X^(5) + 819*X^(4) + 581*X^(3) + 889*X^(2)

+1950*X=

3904*X^(6) + 5714*X^(5) + 4197*X^(4) + 2833*X^(3) +

2015*X^(2) + 3076*X + 6756
G(13)= E(13)/E(12)= 3904/1126= 3.46714032

Maintenant on peut utiliser la formule de recurrance pour G(n)

G(14)= 2 + 4/G(13) + 3/[G(13)*G(12)] + 2/[G(13)*G(12)*G(11)] +

1/[G(13)*G(12)*G(11)*G(10)] + 1/[G(13)*G(12)*G(11)*G(10)*G(9)] +

6/[G(13)*G(12)*G(11)*G(10)*G(9)*G (8)] = 3.463627049

Appliquant la formule pour les termes suivants de G(n) pour n superieur ou egal a 15 conduit aux resultats:

G(15)=3.465241828
G(16)=3.46714032
G(17)=3.464868461
G(18)=3.464830021
G(19)=3.464840265
G(20)=3.464839802
G(21)=3.464838453
G(22)=3.464839319
G(23)=3.46483897
G(24)=3.464839088
G(25)=3.46483905
G(26)=3.464839061
G(27)=3.464839059
G(28)=3.464839058
G(29)=3.464839059
G(30)=3.464839059

Etant donne que G(29)=G(30)=3.464839059

Donc on peut conclure que les termes suivants de la serie G(n) pour n superieur ou egal a 30 sont egaux a

G(30)
Donc on peut conclure que L=limG(n) (avec n-->infini)=3.464839059. Verifiant ce resultat on montre que

X=L=3.464839059 est une solution de l’equation du septieme degre.

[Médiat]

A moins que je n'ai pas compris, et sous réserve que tes calculs soient justes, je ne vois pas en quoi une méthode itérative de calcul des racines d'une équation polynomiale remet en question le théorème de Abel (ainsi que celui d'Evariste Galois). Si ta méthode est juste et converge plus vite que les méthodes connues (tu cites Newton) c'est déjà pas mal.

Ce qui m'inquiète (car pas très mathématique), c'est l'affirmation :

Etant donne que G(29)=G(30)=3.464839059
Donc on peut conclure que les termes suivants de la serie G(n) pour n superieur ou egal a 30 sont egaux a G(30)
Donc on peut conclure que L=limG(n) (avec n-->infini)=3.464839059

qui est évidemment fausse puisque les calculs sont fait avec une précision de 9 décimales (dès G(10) il y a une infinité de décimales), donc la seule chose que l'on peut affirmer c'est que la différence entre G(29) et G(30) est inférieure ou égale à 10^-9.

Du coup l'affirmation

X=L=3.464839059 est une solution de l’equation du septieme degre

n'est pas acceptable.

[Médiat]

une méthode itérative de calcul des racines d'une équation polynomiale

Ooops, je voulais écrire :

une méthode itérative de calcul approché des racines d'une équation polynomiale

[invite6602386a]

Salut Mediat

Si tu calcules tu vas trouver que les termes de la suite convergent vers une limite qui est la solution. C'est a dire que les termes subsequents sont tous égaux . Si tu calcules G(31), G(32) , G(33) et ainsi de suite tu vas trouver qu'ils sont tous égaux.

[Médiat]

Salut Mediat

Si tu calcules tu vas trouver que les termes de la suite convergent vers une limite qui est la solution. C'est a dire que les termes subsequents sont tous égaux . Si tu calcules G(31), G(32) , G(33) et ainsi de suite tu vas trouver qu'ils sont tous égaux.

Peut-être, mais petit problème : dans le calcul

G(10)= E(10)/E(9)=94/27=3.481481481

la dernière égalité est fausse, c'est déjà une approximation.

Je ne dis pas que ta suite ne converge pas, et je ne dis pas qu'elle est moins rapide qu'une autre méthode, je dis simplement que cela ne remet pas en cause le théorème d'Abel.

[invite986312212]

bonjour,

il y a ici:
http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Co.../311Galois.pdf
un cours de 45 pages qui démontre l'impossibilité de résoudre l'équation générale du cinquième degré "par radicaux". Je viens de le parcourir rapidement, il part des notions de base et il a l'air facile à comprendre (ce n'est qu'une petite partie de la théorie de Galois). Je pense que c'est une saine démarche, avant de mettre en cause un théorème bien connu, d'essayer d'en comprendre la démonstration (éventuellement d'y trouver une faille)

Mais au fait, j'ai glissé d'Abel à Galois. Tout le monde sait qu'Abel et Galois ont tous les deux démontré le même résultat sur les équations polynômiales, mais si l'approche de Galois est bien connue, je dois avouer que je ne sais rien de l'approche d'Abel.

est-ce qu'elles sont voisines? ou contraire complètement différentes?

[martini_bird]

Salut,

au sujet de l'impossibilité de résoudre une équation de degré 5 par radicaux, voici un extrait de La géométrie algébrique - Recherches historiques de C. Houzel (pages 57 et 58).

Cordialement.

La première tentative pour démontrer ce résultat est celle de P. Ruffini (1799). Ruffini systématise les idées de Lagrange en cherchant a priori le nombre de valeurs distinctes que peut prendre une fonction de 5 variables lorsqu'on permute ces variables et il considère pour celà l'ensemble des permutations qui laissent invariante. Il appelle cet ensemble la « permutazione » de : c'est un sous-groupe du groupe symétrique et le nombre de valeurs prises par est l'indice de ce sous-groupe. Ruffini donne pratiquement la liste des sous-groupes de et il trouve en particulier qu'il n'y en a pas d'indice 3, 4 ou 8. Ce qui manque à sa démonstration est un lemme, établi plus tard par Abel, d'après lequel tous les radicaux intervenant dans les formules de résolution algébrique supposées exister sont des fonctions rationnelles des racines de l'équation.

Les travaux de ruffini sur les permutations ont été poursuivis par Cauchy (1812, 1815), qui démontre qu'une fonction rationnelle de lettres prend, sous l'action des permutations de ces lettres, au moins valeurs distinctes, où est le plus grand nombre premier , à moins qu'elle n'en prenne qu'une (fonction symétrique) ou deux.

C'est ce résultat qu'Abel (1823) a utiisé pour démontrer l'impossibilité de résoudre algébriquement l'équation générale de degré 5. Il commence par établir le lemme cité plus haut (où intervient la notion d'irréductibilité d'un polynôme sur un corps de base donné) : puis il donne la forme générale d'une fonction des 5 racines qui prend 2 valeurs ( avec , symétriques et

est le «discriminant de l'équation) ou 5 valeurs

avec symétriques). Cela lui permet de démontrer, en utilisant le résultat de Cauchy, que, si la résolution algébrique est possible, le premier radical extrait est de degré 2 (racine carrée du discriminant) et qu'il y a ensuite une racine cinquième. Ce radical cinquième est solution d'une équation de degré 10 et c'est, d'autre part, la résolvante de Lagrange de l'équation : il devrait donc prendre 120 valeurs, ce qui est absurde.

[invite5e1117d5]

C'est bizarre j'ai pris ma calculatrice, j'ai remplacé X par la valeur indiqué et je trouve une différence d'environ 10^(-8).

De même pour le polynôme d'ordre 7 et la racine que vous en donnez, je trouve non pas zéro mais quelque chose de l'ordre de 10^(-7).

Je suis déçu, moi qui pensais trouver Zéro.
Pouvez-vous nous expliquer cela ?

[GuYem]

Je pense que c'est une saine démarche, avant de mettre en cause un théorème bien connu, d'essayer d'en comprendre la démonstration (éventuellement d'y trouver une faille).

Je n'ai pas lu tout le sujet mais me permet néanmoins d'ajouter ce message pour appuyer à 100% les dires d'ambrosio.

[invite6602386a]

Il s'agit certainement de solutions irrationnelles donc etant donne que les solutions irrationelles ne se terminent jamais il faut se decider a combien de chiffres apres la virgule il faut prendre pour la solution

[martini_bird]

Salut,

Il s'agit certainement de solutions irrationnelles donc etant donne que les solutions irrationelles ne se terminent jamais il faut se decider a combien de chiffres apres la virgule il faut prendre pour la solution

Cette phrase n'a pas de sens en mathématique.
A t'écouter, l'équation 3x=1 n'admettrait pas de solution !

Je te conseille humblement d'ouvrir un bouquin de maths niveau 1ère ou terminale.

Cordialement.

[leg]

bonjour.
****************************** ************
Posté par Donc X=4.109650572 est une solution de l'equation X^5=3X^4 +4X^3+2 X^2 +X+1

C'est bizarre j'ai pris ma calculatrice, j'ai remplacé X par la valeur indiqué et je trouve une différence d'environ 10^(-8).
****************************** ************
je pense que de ce point de vu, Citation à raison on ne peut pas prendre x =4,109.....2 puis mettre cette valeur dans une calculette ,le résultat serra faux!

mais ceci dit peut être que citation devrait effectivement,
se pencher sur les résultats connus et avec son travail montrer ce qui semblerait pour lui être une erreur..si il y en a une...

[breukin]

Avec X=4.109650572, le 45ème et dernier chiffre après la virgule de X⁵ sera 2, tandis que les 45ème chiffres après la virgule de 3.X⁴, 4.X³, 2.X², X et 1 seront tous 0.
Ce qui prouve que X n'est pas solution de l'équation.

[leg]

Avec X=4.109650572, le 45ème et dernier chiffre après la virgule de X⁵ sera 2, tandis que les 45ème chiffres après la virgule de 3.X⁴, 4.X³, 2.X², X et 1 seront tous 0.
Ce qui prouve que X n'est pas solution de l'équation.

bonjour
voila qui est clair,
dommage que la calculette de Citation lui a fait espèrer qu'abel sétait trompé...il ne lui reste plus qu'a continuer a

[invite6602386a]

Salut Breukin et Leg,

Encore une fois ce sont des solutions irrationelles . Donc si tu veux 1 milliard de chiffres apres la virgule , la formule que j'ai developpé a partir d'un theoreme peut te les donner .

Question simple : l'equation X²= 2 a pour solution irrationelle x= racine de 2 . Prends 1.414 et verifie si ça donne 0 . LEs notions de 3 eme , seconde , premiere et terminale sont à revoir.

Si tu pars de ce principe meme l'equation X² = 2 n'est pas résolu parce que si tu calcules la racine a la calculatrice la solution x= racine de 2 tu trouves 1.414213562 . Alors si tu multiplies ce nombre au carré tu trouves 1.999999999999999 qui n'est pas exactement 2

Ce qui fait une difference de -5.2763 e-10.

A vos dire , meme l'equation du second degre n'est pas resolu.

J'espere que tu seras capable de faire l'analogie avec l'equation du cinquieme degré qui a pour solution X=4.109650572 que tu peux verifier avec ta calculatrice.

[GuYem]

Je crois que tu n'as pas saisi la notion de "résoluble par radicaux" ; je ne prétends pas l'avoir moi-même comprise pleinement, ya pleins de groupes résolubles là dedans ...

Cependant, l'équation X^2=2 est résoluble par radicaux, ses racines étant .

On a des méthodes directes pour la résolution par radicaux pour les équations polynômiales de degré inférieur à 4.
On a longtemps (j'imagine) buté sur celles de degré 5 ... jusqu'à ce qu'Abel montre, avec de la très belle machinerie, qu'on ne peut pas les résoudre par radicaux de manière générale.

[invite6602386a]

Mais j'ai une formule qui trouve la solution de toutes les equations polynomiales , pas par radicaux mais il s'agit de formule algebrique.

[invite986312212]

salut,

j'ai trouvé sur ce site super intéressant:
http://math-doc.ujf-grenoble.fr/OEUVRES/
la démonstration d'Abel. Elle n'est longue que de six pages. Je l'ai parcourue en diagonale. Je crois que pour la comprendre parfaitement il faut y passer un peu de temps. De plus, elle s'appuie sur une autre publication de Cauchy qu'il me faudra lire.

De ce que je comprends, elle utilise comme celle de Galois des permutations des solutions de l'équation, mais elle m'a l'air différente de l'exposé que je connais de la méthode de Galois. Cela dit, je présume que Galois ne parlait pas d'extensions de corps ni d'automorphismes.

[Jean_Luc]

Mais j'ai une formule qui trouve la solution de toutes les equations polynomiales , pas par radicaux mais il s'agit de formule algebrique.

Salut,

Moi je trouve ta méthode de résolution de polynome intéressante (sous réserve qu'elle marche pour tous les polynomes) même si elle ne remet pas en cause la théorie d'Abel. Il serait intéressant d'étudier sa vitesse de convergence. Par ailleurs, tu écris "qui trouve la solution" or un polynome peut admettre plusieurs solutions. Comment calcules-tu les autres ?

[breukin]

Tu fais un contresens sur le terme "formules algébriques" : les racines sous formes algébriques sont celles exprimables par radicaux !
Comme tu dis toi même que tes formules ne sont pas par radicaux, donc tu n'as pas infirmé le théorème.

[invite4ef352d8]

pourait-tu m'Expliquer ce que t'as methode à de mieux que la méthode de Newton que tu cite ? la methode de newton est à convergence quadratique, ca veux dire que à chaque itération du calcule on double le nombre de décimal connu.
alors que ta methode me semble etre (sauf erreur) juste linéaire : a chaque itération on ne trouve que un nombre fixe de décimal suplaimentaire.

mais en aucun cas tu ne remet en cause le résultat d'abel, tu donne juste un moyen pour calculer numériquement les racines de l'équations, tu ne donne pas une expression algébrique des solutions !



ceci dit, j'ai vu (Wikipédia... ) que :
"Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont démontré indépendamment l’un de l’autre que d’une manière générale une équation polynomiale de degré 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux (voir paragraphe Théorie ci-dessus). Certaines équations particulières le sont.

Charles Hermite a en revanche démontré qu’elles sont résolubles à l’aide des fonctions elliptiques."

je n'avait jammais entendu parler de ce résultat d'Hermite, quelqu'un sait quelque chose la dessu ?? (ou a une réference ? )