Découverte mathématique :Théorie de Henrik Abel refutée

[invite4ef352d8]

"le théorème d'abel dit justement qu'on ne peut pas toujours donner une solution exacte."


>>> non. le théorème d'abel dit qu'on ne peut pas donner la solution avec des radicaux. (ie des racines caré , des racines n-iemme et les opération usuelle), cela n'exclue pas que les solutions peuvent etre exprimable.


par exemple le 7e polynome de tchebitchev, n'est pas soluble par radicaux, mais ces racines exactes sont tres bien connu, ce sont les cos(k*Pi/7).


d'ailleur les équations du 5e degrée sont parfaitement résolue : il y a plusieur jeu de formules, l'un basé sur les radicaux de bring (cf "radical de bring" sur wikipédia), un autres sur des series hypergéométrique (vu aussi sur wiki, mais je sais plus ou) il parait qu'il y en a aussi un basé sur les fonction elliptique, mais je n'ai toujour rien trouvé dessu (si qqn sait quelque chose d'ailleur...) et peut-etre encore d'autre... (bien entendu tous ces formulaires sont plus ou moins lié...)
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[Gwyddon]

Salut Gwyddon,

Voici les résulats de l'équation que tu m'as donné : X^5+4X^4+2X^3+2X^2+4X+1=0

[...]
X=-3.506068056

tu peux maintenant comparer

Salut,

Tout d'abord mes excuses, cette equation n'est pas reciproque (j'aurais du pousser au degre 6 pour cela, quel idiot je suis), ceci dit je suis en mesure de comparer ta solution avec des solutions approchees connues.

Resultat.... (coup de trompette) : pas de chance, si on injecte ton X dans l'equation on trouve 172.393551614 = 0, ce qui n'est pas tout a fait correct vous en conviendrez

Donc voila, on ne peut pas savoir ou tu t'es trompe vu que tu es un fana du secret absolu (ce qui est contraire a la demarche en science publique en passant...)

Ceci dit,

Je ne developpe pas ici toute la demonstration pour eviter que tu decouvres mon theoreme general .

Nous ne sommes pas la pour piquer des idees, d'ailleurs on a tous des idees, et combien de fois il m'est arrive de les partager sur ce forum ? Cela m'a permis de voir pourquoi elles etaient fausses/pas novatrices, et donc d'approfondir mes connaissances...

Enfin

Non ma formule ne donne pas d'approximations , elle donne la solution . Si la solution est irrationelle , on y peut rien . Dans ce cas ça s'appelle une solution irrationelle

Tu fais ici une erreur de comprehension assez fondamentale sur ce qu'est une solution d'equation. Il faut absolument que tu revois ta definition :

_ d'un nombre irrationnel

_ de la notion de solution d'equation

_ de la notion d'approximation numerique des solutions d'equations

[invitebe0cd90e]

"le théorème d'abel dit justement qu'on ne peut pas toujours donner une solution exacte."


>>> non. le théorème d'abel dit qu'on ne peut pas donner la solution avec des radicaux. (ie des racines caré , des racines n-iemme et les opération usuelle), cela n'exclue pas que les solutions peuvent etre exprimable.

c'est vrai, je suis allé un peu vite en besogne.. j'ai voulu simplifier et j'ai dit une connerie.. m'enfin a part ca je maintiens ce que j'ai dit

[invite4ef352d8]

Citation : encore une fois ce dont tu parle est une methode d'aproximation. au meme titre que Newton et laguerre... excepté qu'elle est nettement mois performante. (linéaire au lieux de quadratique : c'est mal), et (désolé de te décevoire) pas tres inovante, j'avait déja essayé de faire quelque chose avec ca, d'ailleur je t'ai déja expliqué comment l'amélioré en utilisant l'exponentiation rapide:
pour faire simple, toi tu calcule x^n, puis x^n+1 x^n+2 etc etc... en augementant n a chaque fois alors qu'il faudrait calculer x^n, puis x^(2n)=(x^n)², puis x^(4n)=(x^(2n))² etc... en doublant l'exposant a chaque fois... la tu aurait le meme ordre de rapidité que Newton, mais meme comme cela c'est à priori toujour un peu plus lent que newton, meme si ca deviens "compétitif".

sans compter que ca ne marche pas de facon systématique, bon ok, je reconnait qu'on peut toujour s'en sortir en effectuant des transformations sur le polynome, (encore faut t-il savoir lesquelles !)... d'ailleur je serais curieux de savoir comment tu t'en ai sorti avec le dernier polynome que je t'ai donné... si tu utilise l'astuce que j'attend je reconaitrai au moins que ta methode marche pour tous les polynomes ^^ mais depuis le debut je ne t'ai encore jammais vu l'utilisé... et à priori sur ce polynome il n'y a que ca qui marche (ou sinon j'aurais appris quelque chose comme ca^^ )


honetement si tu veux quelque chose d"inovant, cherche plutot une methode qui en un seul calcule donne toute les racines d'un polynome (plutot que de les extraire les une apres les autres en factorisant le polynome à chaque fois...), ca je ne crois pas que ca existe... ( a part utilisé newton en dimension n, sur l'equation (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)=P d'inconu a1...an, mais pour avoir déja essayé... on fait des calcule horrible pour exprimer le hessien et l'inverser, de facon assez miraculeuse, on arrive à des expression extremement élegante... mais la convergence est lente et tres chaotique...comme toujours avec newon en dimension n)

[invitebe0cd90e]

pour trouver toutes les (ou au moins plusieurs des) solutions simultanément, il me semble qu'il y a moyen en reecrivant la methode de newton en untilisant l'analyse par intervalle. c'est assez meconnu, mais ca marche vraiment bien. j'ai eu l'occasion d'utiliser l'analyse par intervalle (sur des problemes assez differents) et c'est tres efficace, on arrive en general assez bien a obtenir des methodes "globales" plutot que "locales".

[invite4ef352d8]

tu m'interesse la ^^ peut-tu etre un peu plus precis stp ?




au fait Gwyddon, tu as du faire une erreur en ré-injectan, moi je trouve bien quelque chose du genre -0.64*10^(-8) = 0... c'est déja un peu plus respectable ^^

[Gwyddon]

Effectivement, erreur de ma part... Et ca donne bien -0.000000006448=0 (ce qui est toujours faux remarque )

EDIT : au fait j'ai les solutions exactes sous la main.... et je peux meme aller plus loin dans l'approx ( )

Donc celle donnee par Citation est

Bref Citation ne trouve pas les solutions exactes, mais ca on le savait deja... Peut-etre va t'il comprendre son erreur de comprehension maintenant ?

[invite7863222222222]

Si la solution est irrationelle

Autre petite chose, comment fais tu pour savoir si la solution est irrationelle ou pas ? Tu as un critère ? Non, je ne pense pas. Donc tu ne donnes pas la solution juste une approximation.

[Médiat]

en untilisant l'analyse par intervalle.

Tu fais allusion au théorème de Sturm ?

[invitebe0cd90e]

non, je fais allusion au fait de redefinir les operations et les fonctions elementaires en terme d'intervalle... un petit coup sur google ya pas mal de doc a ce sujet, en gros 2 axes differents :

- utiliser des petits intervalles pour representer fidelement les reels en memoire, et en utilisant des methodes "classiques" en remplacant juste les float par des intervalles... plutot que de prendre Pi=3.14, on prend [pi]=[3.14,3.15], et en gerant bien les arrondis on obtient un intervalle a la fin, avec garantie que le resultat "exact" du caclul est dedans. c'est sans doute cet aspect qui est le plus utilisé. par exemple la librairie boost contient une classe interval, et ya des projets pour l'integrer comme type de base dans les prochaines versions du C++

- autrement, on peut aussi utiliser les intervalle vraiment pour manipuler des ensembles de reels, dans ce cas il existe des methodes "specifiques" aux intervalles, avec une approche plus ou moins "geometrique"... ya notammenent des problemes de satisfaction de contraintes qui se resolvent de maniere tres elegantes..

[leg]

Effectivement, erreur de ma part... Et ca donne bien -0.000000006448=0 (ce qui est toujours faux remarque )

EDIT : au fait j'ai les solutions exactes sous la main.... et je peux meme aller plus loin dans l'approx ( )

Donc celle donnee par Citation est

)

a)
salut Gwydon , par curiosité qu'elle est la valeur exact de X que tu obtiens..par rapport à Citation

[Médiat]

Salut Gwydon , par curiosité qu'elle est la valeur exact de X que tu obtiens..par rapport à Citation

Gwyddon a parfaitement répondu à cette question :


Vous faites toujours la même confusion !

[leg]

Gwyddon a parfaitement répondu à cette question :


Vous faites toujours la même confusion !

quel confusion?

la réponse que vous donnez est à priori celle de Citation ou alors effectivement Gwydon a mis à la suite de cette équation celle de citation-3.50606...
pourquoi dit il alors que c'est celle de citation?

peut être que je confond mais en plus je ne sai plus lire
Donc celle donnee par Citation est environ -3.50606805595; arrondi ^par citation à -3.506068056 ? alors je redemande et désolé si je suis lourd à la comprenette qu'elle est la valeur exact de X.

[invite7863222222222]

je redemande et désolé si je suis lourd à la comprenette qu'elle est la valeur exact de X

Je ne sais pas si pour ce X c'est possible de le faire mais imaginez le cas, où nous pourrions donner par avec une formule générale la valeur de la ième décimale d'un tel X (irrationel), alors nous pourrions vous donnez la valeur exacte d'un tel X, mais avec la méthode de Citation ce ne serait pas possible.

Cela vous va-t-il comme réponse ?

[invite986312212]

Gwyddon a parfaitement répondu à cette question :


Vous faites toujours la même confusion !

en même temps, si ce qu'on veut in fine c'est une valeur numérique (forcément approchée), il faut encore appliquer un algorithme de calcul à la formule "à radicaux". Il est possible alors qu'une méthode de type Newton soit plus rapide. Ou non?

[invite986312212]

mmmh, je me rends compte que ça doit être à peu près la même chose. Comment calcule-t-on les n premières décimales ? Sinon en résolvant l'équation X^2=2

[Médiat]

quel confusion?

Il n'y a qu'une seule façon d'exprimer cette racine (aux astuces d'écriture près ) : celle donnée par Gwyddon sous forme de radicaux, toutes les autres formes commençant par -3,5... ne sont que des valeurs approchées de cette racine (même avec mille milliards de décimales)

[invite7863222222222]

mmmh, je me rends compte que ça doit être à peu près la même chose. Comment calcule-t-on les n premières décimales ? Sinon en résolvant l'équation X^2=2

Si on définit un nombre dont la nième décimale est la (2*n)ième décimale de pi et dont on sait que c'est solution d'une équation quelconque alors on serait incapable de s'en rendre compte avec une méthode numérique.

[leg]

Il n'y a qu'une seule façon d'exprimer cette racine (aux astuces d'écriture près ) : celle donnée par Gwyddon sous forme de radicaux, toutes les autres formes commençant par -3,5... ne sont que des valeurs approchées de cette racine (même avec mille milliards de décimales)

Mais non Médiat ce n'est pas la peine de se taper la tête
merci a vos trois réponse.

ma question venait du fait que je ne comprenais pas, ni, je ne sais calculer de tel racine;
donc afin de suivre ce fil dans ces raisonnement il me faut bien comprendre la différence entre les dires de Citation et les votres qui vont tous dans le même sens.

ce que je n'ai mis aucunement en doute, pour celà, il me fallait cette précision et qui effectivement;

je suis bien obligé de reconaître l'erreur d'une tel estimation; et du résultat faux que cela peut entraîner une erreur d'un demi point par exemple entre -3.5... et -3.09...
et de renlever les deux à zéro accordé a citation... en attendant la suite ...

et vous avez parfaitement raison de faire remarquer en même temps, que ce n'est pas le nombre de décimales qui changerra grand chose, si au départ ces décimales sont fausses... en espèrant que Citation en preine note

Pour ma part je lui conseille d'indiquer comment fonctionne sa méthode car il a forcément plus à gagner qu'à perdre, vu le résultat indiqué pour X et qui sait, il en sortirra peut être quelque chose de positif..

donc la balle est dans le but de Citation

[invite6602386a]

faux ,les decimales donnees apres la virgule sont exactes et ceci peut etre demontrees mathematiquement ,ceci veut dire que les m decimales donnees apres la virgule sont exactes.

[invitebe0cd90e]

je crois qu'on n'y arrivera pas....



les decimales sont exactes, pourtant ce que j'ai ecrit est faux...

[Médiat]

je crois qu'on n'y arrivera pas....



les decimales sont exactes, pourtant ce que j'ai ecrit est faux...

Mais non ce n'est pas faux, si tu essayes de résoudre l'équation x² - = 0, et ben tu trouves 3.14 et ces deux décimales sont exactes, c'est démontré mathématiquement.

Pardon, mais je n'ai pas pu m'en empêcher

[Deeprod]

Je trouve cela étrange, je suis à peine au début de mes études en mathématiques et je comprend parfaitement pourquoi il a faux...

Pourquoi pas lui ?

[leg]

un petit instant Citation :

tu dits que tes décimales sont justes, peut être c'est pour cette raison que j'ai demandé la valeur de X = -3.506...
car en faisant un "rapide" calcule de la solution donnée par Gwuidon avec une calculette j'ai 3.09..

donc trois possibilités
1) je me suis planté aucune importance .

2) tes décimales sont toutes justes, donc ton algo et ton théorème est vrai....
3)on va avoir du mal a croire que tous les autres se plante,...?
car soit X est juste en partant des premières décimales et c'est la valeur exact de ton équation y compris de celle ci dessus donnée par Gwuidon. ou alors il y a un
Hic quelque part

pour moi effectivement je peux comprendre que: pi est juste , 3.14 est faux et ceci doit se montrer...même pour le profane que je suis.!

car si je me sert pour tel ou tel raison, de 3.14 je risque d'avoir une "grosse grosse erreuree dans mon estimatione"

exemple prends la table de dénombrement des n premiers tu divises n par pi (n)
N..........Pi (n)...... n /Pi (n)
10 ;4 ;2,5
100 ;25 ;4,0
1 000 ;168 ;6,0
10 000 ;1 229 ;8,1
100 000 ; 9 592 ;10,4
1 000 000 ;78 498 ;12,7
10 000 000 ;664 579 ;15,0
100 000 000 ;5 761 455 ;17,4
1 000 000 000 ;50 847 534 ;19,7
10 000 000 000 ;455 052 512 ;22,0

la différence augmente de 2.3 et pourtant il est évident que c'est faux..non? peut être que mon exemple n'est pas bon, alors explique toi
A+

[invite4ef352d8]

Citation :

on ne dit pas "Pi=3.14159" ceci est FAUX.

ce qu'on peut dire c'est que |Pi-3.14159|<0.00001 c'est tous.


racine de deux est un nombres dont le caré vaut 2.

est-ce que le caré de 1.414213562 est 2 ? non. c'est pour sa (enfin... entre autre) qu'on ne dira jammais que racine de 2 = 1.414213562. je vois vraiment pas comment te faire comprendre cette distinction...

j'ai bien un dernier exemple... mais il faut chercher loins :

on est d'accord que Pi n'est pas égal a ln(262537412640768744)/sqrt(163) hein ? (sqrt c'est racne caré au fait)

pourtant si tu fais le calcule tu vera qu'ils sont tous les deux "égaux" (enfin ... d'apres toi...) a 3.1415926535897932385 etc...
donc d'apres toi, on a le droit d'ecrire que Pi = ln(262537412640768744)/sqrt(163) sous pretexe qu'ils ont au moins une vingtaine de décimal en commun... c'est ce que tu fais quand tu écrit que sqrt(2)=1.414213562 non ?

pourtant des deux nombres sont différents (si tu regarde le trentieme ou trente-cinquieme décimal tu finira par trouver une différence entre les deux...)

1.414213562 est une approximation de racine de 2.
3.14159 est une approximation de Pi.
ln(262537412640768744)/sqrt(163) est une (tres bonne) approximation de Pi.

mais racine de 2, N'EST PAS egal a 1.414213562 : 1.414213562 est un nombre rationelle.





NB : au fait as tu réussit a appliquer ta methode sur le dernier polynome que je t'ai donné ? si tu n'y arrive pas, je peut meme t'expliquer comment il fallait faire pour que ca marche ^^

[invite4ef352d8]

leg : je comprend pas bien le rapport entre Pi et les nombres premier que tu fais à la fin...

[GuYem]

Un petit mot qui n'a rien à voir pour souligner la jolie approximation de Pi donnée par Ksilver, je ne l'avais jamais vue !

Il y a combien de décimales exactes là dedans ?

[invite4ef352d8]

30 je crois,

cf ici : http://www.pi314.net/approx.php

il y a une justification théorique de cette aproximation en lien dans la page, mais elle est imcomplete... et je suis encore tres loin d'avoir les connaissance neccesaire pour la completer ^^

[invitebe0cd90e]

boaf, ca n'est pas si difficile de trouver de bonnes approximations de Pi, par exemple 6134899525417045/1952799169684491

est une meilleure approximation, peut etre plus facilement exploitable.. ou si on veut chipoter :

171054169007371887011173712937 9/544482330679994391053312457583 . -Pi

est de l'ordre de 10^-60.

[leg]

leg : je comprend pas bien le rapport entre Pi et les nombres premier que tu fais à la fin...

je cherchais un moyen simple pour dire que pi = 3.14..est faux
(" donc j'ai fait un raprochement avec la table des différences du nombre de nombres premiers pour n donné")
mais tu l'a tellement bien montré, que je pense que Citation va réfléchir à son problème..