Découverte mathématique :Théorie de Henrik Abel refutée

[invite6602386a]

Pour le reste des solutions , on utilise la methode de Horner qui donne un polynome de degre inferieur .

La difference entre la methode de Newton et la mienne , c'est que celle de Newton est une formule d'approximation avec des courbes etc.. alors que la mienne est un algorithme qui permet de calculer directement la solution de l'equation sans approximation.

Apres avoir revu ma formule et ma demonstration effectivement elle ne remet pas en cause la theorise de Abel , elle permet simplement de resoudre des equations polynomiales quelque soit le degré.
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[Gwyddon]

Pour le reste des solutions , on utilise la methode de Horner qui donne un polynome de degre inferieur .

La difference entre la methode de Newton et la mienne , c'est que celle de Newton est une formule d'approximation avec des courbes etc.. alors que la mienne est un algorithme qui permet de calculer directement la solution de l'equation sans approximation.

Non, la preuve est que tu n'es pas capable de nous sortir la solution autrement que comme limite d'une suite, ce qu'est exactement la méthode de Newton... Qui te fournit donc, comme la tienne, autant de chiffres après la virgule que tu le souhaites pourvu que tu pousses suffisamment l'algorithme.

elle permet simplement de resoudre des equations polynomiales quelque soit le degré.

Ni plus ni moins que les autres méthodes existantes, mais tu n'arrives pas à exhiber les solutions exactes, tout commes ces autres méthodes

Un exemple : calcule moi les solutions de l'équation

x⁵+4x⁴+2x³+2x²+4x+1 = 0 en utilisant uniquement ta méthode.

Cette équation admettant des solutions exprimables par radicaux (en tant qu'équation réciproque), on pourra comparer

[invite6602386a]

la methode de Newton n'a pas de formules generales pour les polynomes. C'est une methode d'approximation par les courbes . Ma formule c'est un algorithme generale .

[martini_bird]

Salut,

Ma formule c'est un algorithme generale .

Tout autant qu'une bonne vieille dichotomie...

Cordialement.

[Gwyddon]

la methode de Newton n'a pas de formules generales pour les polynomes. C'est une methode d'approximation par les courbes . Ma formule c'est un algorithme generale .

Je le répète : votre méthode est tout aussi approximative que la méthode de Newton (qui soit dit en passant s'implante informatiquement, donc tout aussi algorithmique que la votre... Enfin bref, on ne va pas se lancer dans un débat sur l'algorithmique ici).

Et au passage, vous n'avez pas répondu à ma question/défi concernant mon équation du 5e degré.

[Jean_Luc]

Un exemple : calcule moi les solutions de l'équation

x⁵+4x⁴+2x³+2x²+4x+1 = 0 en utilisant uniquement ta méthode.

Cette équation admettant des solutions exprimables par radicaux (en tant qu'équation réciproque), on pourra comparer

J'ai appliqué la méthode de Citation pour ce polynome et ca a l'air de marcher, à noter que cette méthode ne marchera pas si le coéficient de x^4 (pour un polynome de degrés 5) est egal a 0 et ca c'est dommage (enfin si j'ai bien compris la méthode ).
Ce que je trouvais intéressant dans cette méthode par rapport à une dichotomie, c'est qu'on a pas besoin de connaître une valeur approchée de la solution pour démarrer.

A suivre....

x^5= -4x^4 -2x^3 -2x^2 -4x^1 -1

x^6= +14x^4 +6x^3 +4x^2 +15x^1 +4[-0.2857142857142857]
x^7= -50x^4 -24x^3 -13x^2 -52x^1 -14[-0.28]
x^8= +176x^4 +87x^3 +48x^2 +186x^1 +50[-0.2840909090909091]
x^9= -617x^4 -304x^3 -166x^2 -654x^1 -176[-0.2852512155591572]
x^10= +2164x^4 +1068x^3 +580x^2 +2292x^1 +617[-0.28512014787430684]
x^11= -7588x^4 -3748x^3 -2036x^2 -8039x^1 -2164[-0.28518713758566155]
x^12= +26604x^4 +13140x^3 +7137x^2 +28188x^1 +7588[-0.285220267628928]
x^13= -93276x^4 -46071x^3 -25020x^2 -98828x^1 -26604[-0.28521806252412196]
x^14= +327033x^4 +161532x^3 +87724x^2 +346500x^1 +93276[-0.2852189228609957]
x^15= -1146600x^4 -566342x^3 -307566x^2 -1214856x^1 -327033[-0.28521978021978023]
x^16= +4020058x^4 +1985634x^3 +1078344x^2 +4259367x^1 +1146600[-0.2852197654859706]
x^17= -14094598x^4 -6961772x^3 -3780749x^2 -14933632x^1 -4020058[-0.2852197700140153]
x^18= +49416620x^4 +24408447x^3 +13255564x^2 +52358334x^1 +14094598[-0.2852197904267835]
x^19= -173258033x^4 -85577676x^3 -46474906x^2 -183571882x^1 -49416620[-0.28521979122318675]
x^20= +607454456x^4 +300041160x^3 +162944184x^2 +643615512x^1 +173258033[-0.2852197910290743]

f(S)=1.5003520648093627E-9

[invite6602386a]

Salut Gwyddon ,

Juste laisse moi un peu de temps.

[invite6602386a]

l'ideal serait que je publie la demonstration ainsi que la formule general dans un journal mathematique et la ça sera beaucoup plus simple de comprendre avec la demonstration sous les yeux . Est ce que quelqu'un peut m'orienter vers un journal ?

Merci

[Gwyddon]

à noter que cette méthode ne marchera pas si le coéficient de x^4 (pour un polynome de degrés 5) est egal a 0 et ca c'est dommage (enfin si j'ai bien compris la méthode ).

Pas cool pour une méthode qui se veut générale...

Ce que je trouvais intéressant dans cette méthode par rapport à une dichotomie, c'est qu'on a pas besoin de connaître une valeur approchée de la solution pour démarrer.

A suivre....

x^5= -4x^4 -2x^3 -2x^2 -4x^1 -1

x^6= +14x^4 +6x^3 +4x^2 +15x^1 +4[-0.2857142857142857]
x^7= -50x^4 -24x^3 -13x^2 -52x^1 -14[-0.28]
x^8= +176x^4 +87x^3 +48x^2 +186x^1 +50[-0.2840909090909091]
x^9= -617x^4 -304x^3 -166x^2 -654x^1 -176[-0.2852512155591572]
x^10= +2164x^4 +1068x^3 +580x^2 +2292x^1 +617[-0.28512014787430684]
x^11= -7588x^4 -3748x^3 -2036x^2 -8039x^1 -2164[-0.28518713758566155]
x^12= +26604x^4 +13140x^3 +7137x^2 +28188x^1 +7588[-0.285220267628928]
x^13= -93276x^4 -46071x^3 -25020x^2 -98828x^1 -26604[-0.28521806252412196]
x^14= +327033x^4 +161532x^3 +87724x^2 +346500x^1 +93276[-0.2852189228609957]
x^15= -1146600x^4 -566342x^3 -307566x^2 -1214856x^1 -327033[-0.28521978021978023]
x^16= +4020058x^4 +1985634x^3 +1078344x^2 +4259367x^1 +1146600[-0.2852197654859706]
x^17= -14094598x^4 -6961772x^3 -3780749x^2 -14933632x^1 -4020058[-0.2852197700140153]
x^18= +49416620x^4 +24408447x^3 +13255564x^2 +52358334x^1 +14094598[-0.2852197904267835]
x^19= -173258033x^4 -85577676x^3 -46474906x^2 -183571882x^1 -49416620[-0.28521979122318675]
x^20= +607454456x^4 +300041160x^3 +162944184x^2 +643615512x^1 +173258033[-0.2852197910290743]

f(S)=1.5003520648093627E-9

Solutions ? Où ? De plus je ne vois que des développements décimaux tronqués, ce que je demande c'est la solution exacte... Ce que tu as fait prouve exactement ce que j'affirmais (avec d'autres) depuis le début : c'est une méthode qui permet, tout comme la dichotomie ou Newton, d'approximer d'aussi près que l'on veut les solutions, mais pas d'avoir explicitement les solutions...

[Jean_Luc]

Solutions ? Où ? De plus je ne vois que des développements décimaux tronqués, ce que je demande c'est la solution exacte... Ce que tu as fait prouve exactement ce que j'affirmais (avec d'autres) depuis le début : c'est une méthode qui permet, tout comme la dichotomie ou Newton, d'approximer d'aussi près que l'on veut les solutions, mais pas d'avoir explicitement les solutions...

Salut Gwyddon,

L'approximation de la solution est donnée entre crochet. Bien sur ce n'est pas la solution exate. Je n'ai jamais dis le contraire. Je me répète mais ce que je trouve intéressant dans cette méthode, c'est le fait que l'on peut construire une suite qui converge vers une des solutions sans en connaitre de valeur approchée.
Malheureusement ca ne marche pas dans tous les cas...
(enfin au regard des autres posts, je ne connais pas la soit-disant formule générale de Citation)

[Gwyddon]

Ma remarque n'étais pas pour toi en fait, je me suis mal exprimé

Effectivement c'est pas mal de partir sans avoir déjà une idée de la solution pour obtenir une approximation. Mais ça ne marche pas à tous les coups et ça semble être une convergence linéaire et non quadratique...

[GuYem]

De plus, peut-on contrôler dès le début, la solution vers laquelle on va converger ?

[Jean_Luc]

Voici un graphe qui représente l'erreur en fonction du nombre d'itérations. (L'échelle est logarithmique).
On s'apperçoit donc que la vitesse de convergence n'est pas linéaire mais a plutot l'air exponentielle....

[Gwyddon]

Joli et intéressant ça

Bon alors je retire mon objection sur le caractère lent de la convergence. Par contre, la remarque de GuYem est juste : comme l'on converge sans avoir au préalable injecté une solution approchée, on ne peut pas a priori contrôler vers quelle solution l'on converge, parmi les au plus n possibles pour un polynôme de degré n.

[GuYem]

La courbe de l'erreur est jolie mais étrange !

On s'attend à une méthode qui, à force d'itérations, se rapproche de la solution. Or là, toutes les 2 ou 3 itérations l'erreur augmente à nouveau...

Je n'ai pas lu l'algorithme, donc je ne saurais interpréter ce phénomène.

[leg]

je trouve dommage que citation ne donne pas le résultat de l'équation posé par Gwyddon, afin qu'il puisse effectivement comparer.

peut être qu'au travers de ces discutions, il pourrait qui sait, améliorer son algorithme et s'en faire une idée un peu plus précise, quitte ensuite à publier son travail si sa méthode présente un interêt.

[Jean_Luc]

Voici un graphe qui représente l'erreur en fonction du nombre d'itérations. (L'échelle est logarithmique).
On s'apperçoit donc que la vitesse de convergence n'est pas linéaire mais a plutot l'air exponentielle....

Désolé mais j'ai trouvé un bug dans mon algorithme, et la courbe ne veut rien dire, pas plus d'ailleurs que "la vitesse de convergence est exponentielle" (ca ne veut rien dire)
En fait pour pouvoir étudier la vitesse de convergence on doit connaitre précisement la limite de la suite.
J'ai donc refait 2 courbes pour un polynome que je connais. D'après la définition de la vitesse de convergence d'une suite, on peut voir que celle-ci semble linéaire car la grandeur |X_k+1-l| / |X_k-l| tend vers une valeur inférieure a 1. (l étant la limite)

[invite4ef352d8]

la methode de Newton n'a pas de formules generales pour les polynomes. C'est une methode d'approximation par les courbes . Ma formule c'est un algorithme generale .

Renseigne toi un peu mieux sur la methode de Newton ...

on définit Un+1 = Un - P(Un)/P'(Un)

et la suite Un tend (tres tres rapidement, le nombre de décimal corecte double à chaque itération, on parle de convergence quadratique) vers un zéros du polynome P (dépendant de la valeur prise pour Uo), sachant qu'il vaux mieux eliminer les racines double (en calculant le pgcd de P et P' par exemple... ) , sinon, ca marche toujour, mais la convergence n'est plus "que" linéaire.

bref, c'est exactement comme ta méthode, mais plus rapide.

[Jean_Luc]

Pour la comparaison: Citation vs Newton
( avec Uo donné par la methode citation )

[invite4ef352d8]

que désigne "erreur" précisement ?

si tu t'arrete a la 7e décimal, ce n'est pas représentatif, la différence entre le quadratique et le linéaire ce vera plutot sur des plus grand nombres de décimal. par exemple, pour prendre une équation simple :
la résolution x^2+x+1 =0

la methode de newton donne comme nombre de décimal corecte apres chaque itération :0,1,3,6,13,26,53,107,214,428, 856,1712,3424,6848,et la suivante, c'est trop pour la précision de mon calculateur ^^


quelque chose de similaire à ta meth...ode donne (ce n'est pas exactement ta methode, car je n'ai pas compris comment tu définit les première valeurs de E(n), mais c'est du meme typeque ce que tu fais...) conne en moyenne 1 a 2 décimal corecte de plus à chaque itération


mais il existe un moyen de rendre ta méthode quadratique !!

en fait le calcule de E(n+1) en fonction de E(n),E(n-1) etc... c'est tres lent ! c'est de la que viens le probleme, il y a moyen d'aller beaucoup plus vite et d'acceder a des E(n) pour n tres grand sans avoir calculé tous les précedent.
pour cela il faut (un peu) d'algèbre lineaire :
tu as une récurence de la forme (E(n+1),E(n),E(n-1)...E(n-k+1)) = M (E(n),E(n-1)..E(n-k))

ou M désigne l'application qui a (E(n),E(n-1)..E(n-k)) associe la combinaison linéaire qui definit E(n+1) en première composante, puis toute les suivante décalé d'un rang.

bon cette application M a une matrice, notons la M.

toi tu veux calculer M^n*V ou V et le vecteur formé des premier valeur de E(n).

et bien plutot que de calculer MV, puis M²V, puis M^3V etc... il est beaucoup plus efficace de calculer, M, puis M², puis M^4=(M²)², puis M^8=(M^4)²... M^(2^(n+1))=(M^(2^n))²

et a la fin tu calcule M^(2^n)V et tu na plus qua faire le rapport de deux terme succecif du vecteur renvoyé pour conclure !!!

l'efficacité est foudroyante : 10 itération de cette methode donne le milième terme de ta methode (... enfin 1024ieme pour etre précis... ) !!
l'inconvenient de cette methode (et de la tienne aussi en fait...) c'est qu'on est obligé de manipuler des nombres de plus en plus grand ... il y a encore des rafinement qui permettent d'éviter cela. mais globalement, ca reste moins efficace que Newton. (on arrive au meme ordre de précision, mais les itérations sont un peu plus longue que celle de newton...)

[Gwyddon]

et bien plutot que de calculer MV, puis M²V, puis M^3V etc... il est beaucoup plus efficace de calculer, M, puis M², puis M^4=(M²)², puis M^8=(M^4)²... M^(2^(n+1))=(M^(2^n))²

Bien vu

Pour info à ceux qui lisent, on appelle cela de l'exponentiation rapide

[invite6602386a]

Voici un autre tout petit exemple chers amis:

Ce que Henrik Niels Abel a demontre est que une formule generale pour les solutions d’equations polynomiales de degre no>ou egal à 5 ne peut pas etre obtenue en termes de radicals.

Cependant l’equation X^(2) = 2 est un probleme mathematique a resoudre parceque

etablir que la solution de cette equation est X= ce n’est pas un resultat arithmetique.

Resolution de l’equation X^(2)=2 en premier on transforme cette equation en forme canonique du second degre . Ceci est fait en posant X=x+a et remplacer dans l’equation.

(x+a)^(2)=2 ceci conduit au resultat:

x^(2) + a^(2) + 2a*x = 2<--> x^(2) = -2a*x +2-a^(2)

”a” peut etre un quelconque reel donc pour a=1 on obtient cette equation:

x^(2)= -2x + 2-1=-2x+1
Donc X= x+1 corresponds a la solution de l’equation X^(2)=2


Donc on peut etablir : = x+1

Solution de l’equation:

x^(2) = -2x+1

Expression des relations de recurrances pour E(n) et G(n):

E(n+1)= -2E(n) + E(n-1)

G(n+1)= -2 + [1/G(n)]

Calcul des premiers termes des suites E(n) et

G(n): E(3),G(3)

x^(3)= x^(2)*x= -2x^(2) +x= -2[-2x+1] +x= 4x –2 +x=5x-2

So E(3)=5, G(3)=E(3)/E(2)=5/(-2)= -2.5

Ensuite on applique la formule de G(n) pour n> ou égal à4 ce qui conduit aux resultats :

G(4)= -2 +[1/(-5/2)]= -2 +(-2/5)=-2-0.4=-2.4
G(4)=-2.4
G(5)=-2.416666667
G(6)=-2.413793103
G(7)=-2.414285714
G(8)=-2.414201183
G(9)=-2.414215686
G(10)=-2.414213198
G(11)=-2.414213625
G(12)=-2.414213552
G(13)=-2.414213564
G(14)=-2.414213562
G(15)=-2.414213562

Etant donne que G(15)=G(14)=-2.414213562

Donc on peut conclure que x1=-2.414213562 l’autre solution est determinee par la methode de Horner


1 2 -1

-2.414213562

1 (-2.414213562 +2) 0


L’autre solution est x2=2.414213562-2=0.414213562


X1=x+1= -2.414213562 +1=-1.414213562

X2= 0.414213562 +1=1.414213562

Donc les deux racines de 2 sont:

- racine de 2= -1.414213562

racine de 2 = 1.414213562

racine de 2 est bel et bien egale à 1.414213562 !!

si on peut trouver les radicals par des operations simples

telles que additions multiplications soustractions divisions donc on peut trouver des formules generales contenant des operations simples pour les solutions des equations polynomiales de degre no. Tout ce qui est necessaire c’est de trouver des formules explicites pour les suites E(n) et G(n)..etc...........


Tout vous expliquer serait vous donner la formule . Y a qu'en voyant la demonstration generale que tout devient clair .

[Jean_Luc]

que désigne "erreur" précisement ?

L'erreur est la valeur absolue de la différence entre G(k) (ou de E(k)/E(k-1)) et la limite de la suite (la solution).

si tu t'arrete a la 7e décimal, ce n'est pas représentatif, la différence entre le quadratique et le linéaire ce vera plutot sur des plus grand nombres de décimal.

Dans l'exemple que j'ai utilisé pour faire les courbes, je m'arrête à la 15 décimales (au delà, comme tu le mentionnes, les nombres à manipuler sont trop grands et la précision devient aléatoire a cause des arrondis).
Avec la méthode de Newton, cette précision de 15 décimales est atteinte à la 11eme itération, alors qu'avec la méthode de Citation (non modifiée et en comptant une itération pour chaque calcul des premiers E(k)) il faut attendre 12 itérations de E(k) pour obtenir seulement 1 décimales.
C'est vrai que sur le graphique on s'en rend pas bien compte (échelle linéaire).

la résolution x^2+x+1 =0

Tu voulais dire x^2+x-1 =0 non ?

la methode de newton donne comme nombre de décimal corecte apres chaque itération :0,1,3,6,13,26,53,107,214,428, 856,1712,3424,6848,et la suivante, c'est trop pour la précision de mon calculateur ^^

Ca depends du U₀ que tu lui donnes...
Mais c'est vrai que des que l'on s'approche de la limite ca va trés trés vite.

[invite4ef352d8]

oui,je voulais dire x^2-x-1 (calcule du nombre d'or)

[invitedef78796]

racine de 2 est bel et bien egale à 1.414213562 !!

Heu

Bien justement non,

On sait déjà depuis longtemps (depuis Pythagore il me semble) que n'est pas rationnel (et encore moins décimal). J'ai l'impression que ce qui te bloque dans ton raisonnement c'est la différence entre un nombre et une valeur approchée de celui-ci.

Note bien que l'on ne dis pas que ta méthode de calcul approché des solutions n'est pas bonne, mais que les conclusions que tu en tires sont fausses.

Est-ce que tu as lu, à titre d'information, la preuve du théorème sur l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 ?

[Bloud]

Salut à tous!

Bon apparemment, Monsieur (ou madame) a réfuté Abel. Dans ce cas il lui suffirait de nous dire à tous où se trouve l'erreur dans la démonstration de Abel, comme cela ça nous arrangerait tous et le monde mathématique se rendrait enfin compte de sa monumentale erreur .

Tout cela pour dire qu'il est assez agaçant de voir de "brillants résultats" annoncés par des gens qui sont capables de soutenir que

racine de 2 est bel et bien egale à 1.414213562 !!

Calmement et cordialement.

[invite6602386a]

Encore une fois ma theorie ne refute pas Abel , je me suis deja repris (voir les precedents post ) . Elle apporte simplement des solutions aux equations polynomiales. Racine de 2 est un nombre irrationelle , si on veut des milliards de chiffres apres la virgule , on peut les obtenir . Ma methode resoud les equations et donne des solutions , parfois irrationelles .

[inviteec581d0f]

Coucou à tous!!

Hey Citation, si tu as trouvé la solution ou l'algorythme permettant de trouver ces résultats, tout le mérite te revient, cependant, les solutions obtenues, vu que tu privilégie "les solutions"

Elle apporte simplement des solutions aux equations polynomiales.

ne révèlent elles pas plus du domaine de la physique? Je n'ai pas une grande connaissance sur ce sujet, il me reste du chemin a faire, mais ta méthode semble géniale à ce que j'ai pu comprendre lol. Bon courage pour la suite.

[invite084c752c]

ben c'est du calcul numérique. Faudrait voir si t'as méthode est plus rapide que ce qui existe déjà, ça aurait énormément d'applications pour le calcul numérique (utilisé en physique et ingénierie, pas vraiment en mahts pures)

[Gwyddon]

Il y a je crois un grand blocage de ta part là

Encore une fois ma theorie ne refute pas Abel , je me suis deja repris (voir les precedents post )

Ça ok.

. Elle apporte simplement des solutions aux equations polynomiales.

Non. Une méthode numérique ne donne jamais des solutions exactes, juste des approximations aussi fines que possible des solutions.

Racine de 2 est un nombre irrationelle , si on veut des milliards de chiffres apres la virgule , on peut les obtenir

Mais on s'en fout en maths ! est un nombre défini, que ta méthode ne trouve jamais dans la résolution de l'équation x²-2 = 0, ce qui est logique puisque ta méthode est algorithmique.

. Ma methode resoud les equations et donne des solutions , parfois irrationelles .

Toujours non. Et comme on te l'a signalé, elle ne sort qu'une solution, sans aucun contrôle dessus. En cela ta méthode d'approximation est nettement moins performante que Newton, puisque avec Newton on peut contrôler au départ vers quelle solution l'on tend en injectant une solution grossièrement approchée en point d'initiation de l'algorithme.


Au passage, tu as essayé sur l'équation que je t'ai fournie ?