Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

[invitea1901add]

Bonsoir,

Je ne parviens pas à résoudre ce problème :

- Dans un plan, un repère (O, x, y), un cercle de centre O, les points A(x_a, y_a) et B(x_b, y_b) sur ce cercle.
- A reste immobile sur le cercle et B se déplace sur le cercle à une vitesse constante : v. (vitesses relatives à l'arc de cercle)
- le rayon t du cercle augmente de manière constante à la vitesse : v.
- pour t=1 : A(0, 1), B(0, 1)

(C'est comme si une voiture roulait sur une terre dont le rayon augmente à la vitesse de la voiture)

Questions :

-> Trouver h et i tel que : x_a=h(t) et y_a=i(t).

Réponse : h=0 et i=t. (Jusque là... çà va...)

-> Trouver f et g tel que : x_b=f(t) et y_b=g(t)

Réponse : ??????????

-> Posont : d=arc(A,B). trouver e tel que d=e(t).


-> Quelle est la courbe parcourue par le point B ?

Voilà...

Il me semble qu'il faille utiliser les intégrales...

Plus je cherche, plus je m'embrouille...

Merci pour votre aide...

Henri
@+
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[invited7005a5b]

Bonsoir.Je ne comprends d'abord pas comment tu trouves i=t;Bon ok pour h=0,mais a mon avis i depend de V selon i(t)=v*(t-1)+1.
Et pour la suite je pense qu'on peut poursuivre en passant des coordonnées polaires aux coordonnées cartesiennes,et en ecrivant l'equation du cercle en coordonnées cartesiennes.

[invitea1901add]

Bonsoir,

Dans mon esprit, quelque soit la vitesse v,
lorsque t=2, A est sur le cercle en A(0, 2)
lorsque t=3, A est sur le cercle en A(0, 3)
lorsque t=4, A est sur le cercle en A(0, 4)
...

non ?

Henri...

[invitea1901add]

Je viens de comprendre ta fonction i(t)=v*(t-1)+1.

En fait v correspond a la vitesse des points a et B "sur l'arc du cercle" : Pour A, v=0 or dans ta formule tu lui donne une vitesse.

v correspond à la vitesse de la voiture qui roule sur la terre qui grossit : la voiture A est arrêtée, la voiture B roule à la vitesse v.

C'est pour cela que i=t.

Ok ?

Henri

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7005a5b]

Ca aurait été simple si c'etait vrai;mais remarque bien qu'en faisant V=1 dans ma formule que je t'ai donné,tu obtiens le résultat que tu décris.
Ca se comprends car le rayon du cercle augmente avec une vitesse V mais A reste sur ce cercle et donc son ordonnée varie avec une vitesse V;La tu integres pour avoir i(t) avec pour origine a t=1 i=1

[invitea1901add]

Bonsoir, re

v est forcément égal à 1 puisque quelque soit v, "le rayon t du cercle augmente de manière constante à la vitesse : v", donc v=t-(t-1) => V=1
C'est pour cela que je réduit à i(t)=t.

C'est la suite qui m'inquiète...

Et pour la suite je pense qu'on peut poursuivre en passant des coordonnées polaires aux coordonnées cartesiennes,et en ecrivant l'equation du cercle en coordonnées cartesiennes

Là, je ne suis pas... Peux-tu me faire un rappel ?

Henri

[invited7005a5b]

Je me disais pour la suite,que la vitesse de B est tangente au cercle et en coordonnées polaires fait un angle de (Pi/2+theta).La distance parcourue par B sur cette tangente est V*t.En projettant cela sur tes axes x et y on a x(B)=-v*t*sin(theta) et y(B)=v*t*cos(theta) .tu pourras faire V=1.L'important ici est que theta est l'angle entre le rayon OB ET L'AXE DES X

[mécano41]

Bonjour,

Je ne sais pas si cela correspond à ce que tu cherches mais il me semble que, si tu as vitesse constante radiale=vitesse constante tangentielle, la tangente à la courbe fait un angle constant alpha = pi/4 par rapport au rayon vecteur. La courbe correspondante est une spirale logarithmique de la forme :



où, ici :



Cordialement

[invitea1901add]

on a x(B)=-v*t*sin(theta) et y(B)=v*t*cos(theta) .tu pourras faire V=1.L'important ici est que theta est l'angle entre le rayon OB ET L'AXE DES X

Si theta est varible, comment est-ce que je peux tracer la courbe ?

A moins que ce ne soit pi/2, l'angle de départ ???

Henri

[invitea1901add]

Bonjour,

Je ne sais pas si cela correspond à ce que tu cherches mais il me semble que, si tu as vitesse constante radiale=vitesse constante tangentielle, la tangente à la courbe fait un angle constant alpha = pi/4 par rapport au rayon vecteur.

C'est exactement çà !!!

La courbe correspondante est une spirale logarithmique de la forme :

Je note, je note...

où, ici :

OK pour çà...

là aussi..

je pige...


Mais c'est quoi au juste ?

La distance OB ?

Ta formule donne la distance OB en fonction de ? C'est çà ?

Henri...

[invitea1901add]

Bonsoir,

La traduction de cette équation en x=f(t) et y=g(t) est elle facile ?

J'ai trouvé un petit programme "K3DSurf" qui permet de visualiser des équations en 3D. Je conseille de l'essayer, il est assez bluffant !!!
J'aimerai bien y entrer cette courbe...

Henri.

[mécano41]

Bonjour,

Oui, on est en polaire. Rho est le rayon OB en fonction de theta qui est l'angle entre Ox et OB (positif dans le sens OB vers Ox).

La courbe part de B(0,1)

Le passage en coordonnées cartésiennes est :

X = rho.cos(theta) et Y = rho.sin(theta)

Cordialement

[mécano41]

Attends, je vérifie. J'ai dû me planter pour le départ.

[mécano41]

J'étais allé trop vite! Pour connaître le point de départ de la courbe, qui n'est pas le point B de ton application, mais celui défini par le rayon pour theta = 0, il faut écrire que :



Dans ton application :





L'équation polaire devient donc :



et tu peux vérifier que pour theta = 90° rho = 1

Cordialement

[mécano41]

En complément, un petit tracé :

[mécano41]

Le fichier complet avec un tracé sur repère orthonormé (plus joli!)

J'ai fait le tracé en cartésien car le tracé en polaire (radar) sur EXCEL est nul! (enfin, moi je n'ai jamais réussi à faire quelque chose de propre!)

Cordialement

[invitea1901add]

J'étais allé trop vite! Pour connaître le point de départ de la courbe, qui n'est pas le point B de ton application, mais celui défini par le rayon pour theta = 0, il faut écrire que :



Dans ton application :





L'équation polaire devient donc :



et tu peux vérifier que pour theta = 90° rho = 1

Cordialement

Merci, merci...

Normalement, cette courbe correspond au déplacement de la lumière, dans un espace 6D.
pour , si 1 correspond à l'age de l'univers, -1 correspond au temps qu'il faudra à la lumière qui part maintenant, pour faire le tour de l'univers, et revenir ici...

Cf. : http://contact.dec.free.fr

Si tu as des éléments mathématiques à apporter à mon site n'hésite pas...

Henri

[invitea1901add]

j'ai oublié de dire que l'image du post d'avant est pour theta compris ntre 0 et 2pi.

Henri

[Calvert]

Salut!

j'ai il me semble la solution en fonction de t pour r et .

Mes notations sont:
r: rayon à partir de l'origine
: angle à partir de l'axe 0x
(donc, (r;) forment les coordonnées polaires traditionnelles)
r₁: rayon en t = 1.
t: le temps (c'est pour cela que j'ai renommé le rayon initial).
v: la vitesse constante d'expension du rayon et du point le long du cercle.

et je trouve:




Je fournis le détail si tu veux.