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Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente



  1. #1
    RitonRitonRiton

    Unhappy Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente


    ------

    Bonsoir,

    Je ne parviens pas à résoudre ce problème :

    - Dans un plan, un repère (O, x, y), un cercle de centre O, les points A(xa, ya) et B(xb, yb) sur ce cercle.
    - A reste immobile sur le cercle et B se déplace sur le cercle à une vitesse constante : v. (vitesses relatives à l'arc de cercle)
    - le rayon t du cercle augmente de manière constante à la vitesse : v.
    - pour t=1 : A(0, 1), B(0, 1)

    (C'est comme si une voiture roulait sur une terre dont le rayon augmente à la vitesse de la voiture)

    Questions :

    -> Trouver h et i tel que : xa=h(t) et ya=i(t).

    Réponse : h=0 et i=t. (Jusque là... çà va...)

    -> Trouver f et g tel que : xb=f(t) et yb=g(t)

    Réponse : ??????????

    -> Posont : d=arc(A,B). trouver e tel que d=e(t).


    -> Quelle est la courbe parcourue par le point B ?

    Voilà...

    Il me semble qu'il faille utiliser les intégrales...

    Plus je cherche, plus je m'embrouille...

    Merci pour votre aide...

    Henri
    @+

    -----
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

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  4. #2
    El Matador

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Bonsoir.Je ne comprends d'abord pas comment tu trouves i=t;Bon ok pour h=0,mais a mon avis i depend de V selon i(t)=v*(t-1)+1.
    Et pour la suite je pense qu'on peut poursuivre en passant des coordonnées polaires aux coordonnées cartesiennes,et en ecrivant l'equation du cercle en coordonnées cartesiennes.

  5. #3
    RitonRitonRiton

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Bonsoir,

    Dans mon esprit, quelque soit la vitesse v,
    lorsque t=2, A est sur le cercle en A(0, 2)
    lorsque t=3, A est sur le cercle en A(0, 3)
    lorsque t=4, A est sur le cercle en A(0, 4)
    ...

    non ?

    Henri...
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

  6. #4
    RitonRitonRiton

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Je viens de comprendre ta fonction i(t)=v*(t-1)+1.

    En fait v correspond a la vitesse des points a et B "sur l'arc du cercle" : Pour A, v=0 or dans ta formule tu lui donne une vitesse.

    v correspond à la vitesse de la voiture qui roule sur la terre qui grossit : la voiture A est arrêtée, la voiture B roule à la vitesse v.

    C'est pour cela que i=t.

    Ok ?

    Henri
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

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  8. #5
    El Matador

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Ca aurait été simple si c'etait vrai;mais remarque bien qu'en faisant V=1 dans ma formule que je t'ai donné,tu obtiens le résultat que tu décris.
    Ca se comprends car le rayon du cercle augmente avec une vitesse V mais A reste sur ce cercle et donc son ordonnée varie avec une vitesse V;La tu integres pour avoir i(t) avec pour origine a t=1 i=1

  9. #6
    RitonRitonRiton

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Bonsoir, re

    v est forcément égal à 1 puisque quelque soit v, "le rayon t du cercle augmente de manière constante à la vitesse : v", donc v=t-(t-1) => V=1
    C'est pour cela que je réduit à i(t)=t.

    C'est la suite qui m'inquiète...

    Et pour la suite je pense qu'on peut poursuivre en passant des coordonnées polaires aux coordonnées cartesiennes,et en ecrivant l'equation du cercle en coordonnées cartesiennes
    Là, je ne suis pas... Peux-tu me faire un rappel ?

    Henri
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

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  11. #7
    El Matador

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Je me disais pour la suite,que la vitesse de B est tangente au cercle et en coordonnées polaires fait un angle de (Pi/2+theta).La distance parcourue par B sur cette tangente est V*t.En projettant cela sur tes axes x et y on a x(B)=-v*t*sin(theta) et y(B)=v*t*cos(theta) .tu pourras faire V=1.L'important ici est que theta est l'angle entre le rayon OB ET L'AXE DES X

  12. #8
    mécano41

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Bonjour,

    Je ne sais pas si cela correspond à ce que tu cherches mais il me semble que, si tu as vitesse constante radiale=vitesse constante tangentielle, la tangente à la courbe fait un angle constant alpha = pi/4 par rapport au rayon vecteur. La courbe correspondante est une spirale logarithmique de la forme :



    où, ici :



    Cordialement




  13. #9
    RitonRitonRiton

    Question Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Citation Envoyé par manu tabeko Voir le message
    on a x(B)=-v*t*sin(theta) et y(B)=v*t*cos(theta) .tu pourras faire V=1.L'important ici est que theta est l'angle entre le rayon OB ET L'AXE DES X
    Si theta est varible, comment est-ce que je peux tracer la courbe ?

    A moins que ce ne soit pi/2, l'angle de départ ???

    Henri
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

  14. #10
    RitonRitonRiton

    Thumbs up Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    Bonjour,

    Je ne sais pas si cela correspond à ce que tu cherches mais il me semble que, si tu as vitesse constante radiale=vitesse constante tangentielle, la tangente à la courbe fait un angle constant alpha = pi/4 par rapport au rayon vecteur.
    C'est exactement çà !!!

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    La courbe correspondante est une spirale logarithmique de la forme :

    Je note, je note...

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    où, ici :

    OK pour çà...

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    là aussi..

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    je pige...


    Mais c'est quoi au juste ?

    La distance OB ?

    Ta formule donne la distance OB en fonction de ? C'est çà ?

    Henri...
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

  15. #11
    RitonRitonRiton

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Bonsoir,

    La traduction de cette équation en x=f(t) et y=g(t) est elle facile ?

    J'ai trouvé un petit programme "K3DSurf" qui permet de visualiser des équations en 3D. Je conseille de l'essayer, il est assez bluffant !!!
    J'aimerai bien y entrer cette courbe...

    Henri.
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

  16. #12
    mécano41

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Bonjour,

    Oui, on est en polaire. Rho est le rayon OB en fonction de theta qui est l'angle entre Ox et OB (positif dans le sens OB vers Ox).

    La courbe part de B(0,1)

    Le passage en coordonnées cartésiennes est :

    X = rho.cos(theta) et Y = rho.sin(theta)

    Cordialement

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  18. #13
    mécano41

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Attends, je vérifie. J'ai dû me planter pour le départ.

  19. #14
    mécano41

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    J'étais allé trop vite! Pour connaître le point de départ de la courbe, qui n'est pas le point B de ton application, mais celui défini par le rayon pour theta = 0, il faut écrire que :



    Dans ton application :





    L'équation polaire devient donc :



    et tu peux vérifier que pour theta = 90° rho = 1

    Cordialement

  20. #15
    mécano41

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    En complément, un petit tracé :
    Images attachées Images attachées

  21. #16
    mécano41

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Le fichier complet avec un tracé sur repère orthonormé (plus joli!)

    J'ai fait le tracé en cartésien car le tracé en polaire (radar) sur EXCEL est nul! (enfin, moi je n'ai jamais réussi à faire quelque chose de propre!)

    Cordialement
    Fichiers attachés Fichiers attachés

  22. #17
    RitonRitonRiton

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    J'étais allé trop vite! Pour connaître le point de départ de la courbe, qui n'est pas le point B de ton application, mais celui défini par le rayon pour theta = 0, il faut écrire que :



    Dans ton application :





    L'équation polaire devient donc :



    et tu peux vérifier que pour theta = 90° rho = 1

    Cordialement

    Merci, merci...

    Normalement, cette courbe correspond au déplacement de la lumière, dans un espace 6D.
    pour , si 1 correspond à l'age de l'univers, -1 correspond au temps qu'il faudra à la lumière qui part maintenant, pour faire le tour de l'univers, et revenir ici...

    Cf. : http://contact.dec.free.fr

    Si tu as des éléments mathématiques à apporter à mon site n'hésite pas...

    Henri
    Images attachées Images attachées  
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

  23. #18
    RitonRitonRiton

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    j'ai oublié de dire que l'image du post d'avant est pour theta compris ntre 0 et 2pi.

    Henri
    L'être Humain n'est pas intelligent : il a, au mieux, la faculté de pouvoir le croire...

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  25. #19
    Calvert

    Re : Problème : Un point se déplace sur un cercle dont de rayon augmente

    Salut!

    j'ai il me semble la solution en fonction de t pour r et .

    Mes notations sont:
    r: rayon à partir de l'origine
    : angle à partir de l'axe 0x
    (donc, (r;) forment les coordonnées polaires traditionnelles)
    r1: rayon en t = 1.
    t: le temps (c'est pour cela que j'ai renommé le rayon initial).
    v: la vitesse constante d'expension du rayon et du point le long du cercle.

    et je trouve:




    Je fournis le détail si tu veux.

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