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Représentation matricielle d'un complexe



  1. #1
    Deeprod

    Représentation matricielle d'un complexe


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis actuellement en train de faire des recherches pour rédiger mon TIPE sur les "Quaternions". Cependant, sur l'un des sites ou j'ai receuillis certaines informations il propose une manière plutôt élegante à mon sens d'aboutir aux corps des quaternions à partir des complexes.

    Le problème est qu'au départ, il est dit : "Les complexes sont représentés par des matrices de la forme :

    | a -b |
    | b a |

    Je vois bien une certaine cohérence (ev de dim 2), mais je serais incapable d'expliquer ou est le lien avec les complexes...

    Merci

    -----

  2. #2
    lou_ibmix_xi

    Re : Représentation matricielle d'un complexe

    salut,
    Multiplie deux matrices entres elles et tu comprendras...

  3. #3
    Deeprod

    Re : Représentation matricielle d'un complexe

    Bien je vois mieux désormais !

    Et en fait, la phrase "Les complexes sont représentés par des matrices de la forme" se justifie par le fait qu'on peut trouver un isomoprhisme de corps entre ces deux enembles ?

  4. #4
    martini_bird

    Re : Représentation matricielle d'un complexe

    Salut,

    c'est bien ça : le corps des nombres complexes est isomorphe au corps des matrices réelles que tu décris.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Deeprod

    Re : Représentation matricielle d'un complexe

    Bien merci je comprend mieux ce passage.

    Sinon ensuite, il définit un ensemble :

    H = | a -b | avec a et b dans C ("*" = conjugé)
    | b* a* |

    Il prouve que H est un corps non commutatif et ensuite il prouve que :

    l'application z ---> | z 0 | ( de C dans H )
    | 0 z* |

    est un isomorphisme de corps.

    Il en déduit de ces deux démonstrations la définitions...

    H est un surcorps non commutatifs de C, appellé quaternions.

    En fait, je comprend pas vraiment ce qu'est un "surcorps" et à quoi sert de démontrer son isomorphisme de corps.

  7. #6
    martini_bird

    Re : Représentation matricielle d'un complexe

    Salut,

    un "surcorps" est un vêtement que l'on porte quand il fait un peu frais...

    Non, je plaisante, dire que L est un "surcorps" d'un corps K (ou plutôt que L est une extension de K) revient à dire que K s'injecte dans L. Par exemple, R est une extension de Q, et l'injection est canonique (identité sur Q).

    Ici, l'auteur a montré qu'une partie de H est isomorphe à C, c'est donc qu'on a une injection .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #7
    Deeprod

    Re : Représentation matricielle d'un complexe

    Parfait merci à tous !

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