Problème amusant sur les polynômes

[Bleyblue]

Bonjour,

Voici un ancien problème que j'ai retrouvé en rangeant ma chambre la tantôt :

Un étudiant se réveille brusquement à la fin du cours et entend le professeur dire : "Votre devoir pour demain consiste à trouver les racines de cette équation, qui sont toutes réelles et positives". Sur le tableau se trouve une équation polynomiale de degré 20. Comme le professeur a déja commencé à l'effacer, l'étudiant à juste le temps de copier les deux premiers termes x²⁰ - 20x¹⁹ et le terme indépendant qui vaut 1. Quelles sont les racines de cette équation ?

Je me rappel avoir tenté en vain de résoudre le problème l'an dernier, et j'ai réessayé la tantôt sans plus de succes.

Ca ne me semble pas possible, les racines dépendent tout de même des autres coefficients non ? Pourtant il est certain que c'est faisable car c'est un problème publié par le département de mathématique lui même

Une idée ?

merci
-----

[invite9cf21bce]

Salut !

Une idée ?

Une très bonne idée se trouve sur Wikipédia.

Taar.

[invitea3eb043e]

On voit tout de suite que la somme des racines vaut 20 et le produit vaut 1. Une solution évidente serait 20 fois la racine x=1.
L'argument de convexité est le plus rigoureux (celui de Wikipédia).
On peut aussi essayer pour le fun de procéder par intuition.
Si on part des racines {1,1,1...1} et qu'on essaie de changer un peu en prenant {1-a,1,1...1+a} pour respecter la somme = 20, on voit que le produit vaudra 1 - a², inférieur à 1, ce qui est exclu car a doit être compris entre 0 et 1 pour que les racines soient positives.

[Bleyblue]

On voit tout de suite que la somme des racines vaut 20 et le produit vaut 1.

Heu ... je ne vois pas, pourquoi ? C'est un polynôme quelconque de degré 20 dont on ne sait rien hormis trois des coefficients.

Je vais aller voir ton liens Taar

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Heu ... je ne vois pas, pourquoi ? C'est un polynôme quelconque de degré 20 dont on ne sait rien hormis trois des coefficients.

C'est une propriété générale et assez élémentaires des polynômes. Si le terme principal est xⁿ, alors le coefficient de x^n-1 est l'opposé de la somme des racines, et le coefficient de x⁰ est le produit des racines. Ici on te donne comme par hasard ces trois coefficients là...

Cordialement,

[Bleyblue]

Ah mince, alors évidemment ça change tout.
Je ne pouvais pas aller bien loin sans connaître cette astuce, ça se démontre en algèbre je suppose ...

merci

[invité576543]

Je ne pouvais pas aller bien loin sans connaître cette astuce, ça se démontre en algèbre je suppose ...

Ca se démontre facilement en écrivant le polynôme sous forme



et en développant!

Cordialement,

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Très joli problème, j'aime beaucoup le style, le caractère un peu improbable du problème, l'impression qu'il manque des données, et en fait tout marche

__
rvz, bientôt en week end

[Bleyblue]

Ca se démontre facilement en écrivant le polynôme sous forme



et en développant!

Cordialement

Ok merci

Très joli problème, j'aime beaucoup le style, le caractère un peu improbable du problème, l'impression qu'il manque des données, et en fait tout marche

Publié par le département de math de l'ULB, ils en proposent une douzaine du même style par an. C'est ouvert à absolument tout le monde (pas seulement les étudiants) mais ils ne sont pas simples et ceux qui en ont résolut un certain nombre reçoivent une récompense

merci

[Bleyblue]

Bon, sinon moi je ne comprends toujours pas

D'accord la somme de toutes les racines vaut 20 et leur produit vaut 1 mais à quoi cela avance t'il ?

On cherche les racines du polynôme :

x²⁰ - 20x¹⁹ + ax¹⁸ + bx¹⁷ + .... + qx² + rx + 1

a,b,c, ...,q,r des réels quelconques et les racines doivent bien dépendre d'une manière ou d'une autre des coefficients

merci

[invitec053041c]

C'est un peu pernitieux.
Le professeur avait écrit un polynôme en particulier, avec des coefficients bien définis. Il dit que ce polynôme n'avait que des racines réelles positives.
Or d'après les études précédentes, tu te rends compte que si un polynôme de degré 20 avec les seuls coeff donnés et avec l'indication de la nature des racines, alors ses racines sont des 1. Donc tu es capable de déterminer par toi même les autres coefficients si tu veux.
Et ce sont ces coefficients que le prof avait écrit.

S'il en avait écrit d'autres, il n'aurait pas pu affirmer que toutes les racines étaient positives et réelles.

Cordialement.

[invité576543]

C'est peut-être plus simple à voir avec simplement deux nombres réels.

Si x+y=2, x>0, et y>0, alors le produit xy est borné. Son max vaut 1 et est atteint une seule fois, pour x=y=1. Donc si on sait que xy=1, la seule possibilité est x=y=1.

Cela se généralise.

Si x+y+z=3, x>0, y>0, et z>0, pareil, le produit xyz est borné, et le max est encore 1, atteint pour x=y=z=1.

Etc.

L'histoire du polynôme et des coefficients est de la poudre au yeux. La vraie question est la valeur max du produit connaissant la somme de nombres positifs. Il se trouve que si la somme de n nombres positifs vaut n, alors le max du produit est 1, et n'est atteint que pour le cas où tous les nombres sont égaux à 1.

Cordialement,

[Bleyblue]

C'est un peu pernitieux.
Le professeur avait écrit un polynôme en particulier, avec des coefficients bien définis. Il dit que ce polynôme n'avait que des racines réelles positives.
Or d'après les études précédentes, tu te rends compte que si un polynôme de degré 20 avec les seuls coeff donnés et avec l'indication de la nature des racines, alors ses racines sont des 1. Donc tu es capable de déterminer par toi même les autres coefficients si tu veux.
Et ce sont ces coefficients que le prof avait écrit.

S'il en avait écrit d'autres, il n'aurait pas pu affirmer que toutes les racines étaient positives et réelles.

Ah ok, je comprends le raisonnement maintenant ...

La seule chose qui m'échappe c'est comment montrer rigoureusement que le polynôme en question est forcément (x - 1)²⁰

A partir de la convexité m'avez-vous dis mais ça me semble néanmoins ardu

merci

[Bleyblue]

C'est un peu pernitieux.
Le professeur avait écrit un polynôme en particulier, avec des coefficients bien définis. Il dit que ce polynôme n'avait que des racines réelles positives.
Or d'après les études précédentes, tu te rends compte que si un polynôme de degré 20 avec les seuls coeff donnés et avec l'indication de la nature des racines, alors ses racines sont des 1. Donc tu es capable de déterminer par toi même les autres coefficients si tu veux.
Et ce sont ces coefficients que le prof avait écrit.

S'il en avait écrit d'autres, il n'aurait pas pu affirmer que toutes les racines étaient positives et réelles.

Ah d'accord c'est plus clair

Pas évident tout de même, il falait le voir

merci