Fonction génératrice d'une v.a

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai une variable aléatoire (discrète) X on me définit ici la fonction génératrice M(t) de X par :



(E désigne l'espérance) et on me demande de déterminer M dans le cas ou X = Bin(n,p).

X appartient à {0,1,2,...,n} et je sais que E[X] = np mais je ne parviens pas à utiliser ce résultat la (dois-je le faire ?)

Moi je fais ça comme cela
Si X est une v.a discrète et que h est une fonction continue alors :



Et j'applique (bêtement) ce résultat à ce cas ci ce qui me donne :





Je ne vois pas comment avancer plus avant dans le calcul, est-ce que cela suffit ?

merci
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[taladris]

si je t'écris , ça doit t'aider à écrire ta somme plus facilement...

[invite986312212]

autre façon de faire:

1) si et sont indépendantes, alors . En d'autres termes la fonction génératrice se comporte comme la fonction caractéristique vis à vis de la convolution. Et ça se généralise à une suite finie de v.a. indépendantes.

2) si suit la loi binomiale de paramètres et ,
on peut écrire où chaque suit la loi de Benoulli de paramètre .

3) reste à calculer la fonction génératrice de la loi de Benoulli, ce qui est plus facile, puis à en prendre la n-ième puissance.

[Bleyblue]

Ok merci pour les précisions ambrosio

Ca me donne donc (p(e^t - 1) + 1)ⁿ
(Cette horrible formule du binôme de Newton, je n'arriverai jamais à la mémoriser )

merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

au fait, en général, c'est plutôt qu'on appelle fonction génératrice. Ca ne change pas grand-chose du reste.

[Bleyblue]

Possible, je ne fais que lire l'énoncé de mon exercice et du reste, l'énoncé en question ne précie même pas à quoi cette fonction sert alors que je suis étudiant en mathématique

Evidemment je pourrais faire une recherche, mais pour l'heure, je préfère aller étudier la matière sur laquelle je serai interrogé en juin.