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Equation différentielle du second ordre compliquée



  1. #1
    mega-squall

    Equation différentielle du second ordre compliquée


    ------

    Bonjour,

    Je travaille sur un problème de physique pour faire de la modélisation d'objets qui interagissent avec leur environnement. J'ai dans un premier temps cherché à carctériser le déplacement dans le plan d'une masse sphérique attaché par un fil à un axe que l'on tend à l'horizontale qui que l'on lache dans le vide. Elle décrit alors une trajectoire circulaire, et lorsqu'elle a parcouru un angle de pi/2, elle vient frapper un autre objet.
    • (O,, ) est le référentiel.
    • est colinéaire au fil
    • est tangent à la trajectoire
    • est le vecteur vitesse du mobile
    • est le vecteur accélération du mobile
    • est l'acclération de pesanteur
    • est la masse du mobile
    • est le rayon de la trajectoire
    • est l'angle formé entre le fil et l'horizontale
    • est la vitesse angulaire du mobile
    • est l'accélération angulaire du mobile

    On note que dépend du temps (en fait on devrait noter ) et que la vitese angulaire et l'accélération angulaire sont sés dérivées successives par rapport au temps.

    On peut écrire pour usage futur que :





    Le solide est soumis à deux forces :

    D'après le principe fondamental de la dynamique :




    Or l'accélaration angulaire est proportionnelle au travail de l'accélération sur l'axe tangent à la trajectoire et inversement proportionnelle au rayon du cercle décrit par le mobile :



    Cela me donne au final la caractérisation de , mais je n'arrive pas à résoudre cette équation différentielle. Si quelqu'un avait une idée sur la manière dont je pourrais trouver une solution à cette dernière équation, cela m'arrangerait bien la vie =P

    La voici la voila :

    -----
    mega-squall

  2. #2
    chwebij

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    je crois qu'elle n'est pas resolvable analytiquement, elle l'est juste pour les petits angles avec un DL
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  3. #3
    mega-squall

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    C'est biren ce que je craignais.

    C'est ennuyeux car du coup sans caractériser alpha en fonction de t, je ne peux caractériser ses dérivées, et donc les vecteurs accélération et vitesse au moment de l'impact ...
    mega-squall

  4. #4
    chwebij

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    par contre numeriquement c'est possible
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mega-squall

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    Aaah, je veux bien mais comme la sphère est en train de chuter l'angle ne fait rien que bouger alors c'est tendu =P

    Plus sérieusement, tu veux dire en fixant dt ? Je veux bien essayer mais il me faudra un sacré coup de chance pour que l'impact tombe sur un "instant de calcul".
    mega-squall

  7. #6
    ericcc

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    En fait je pense que tu peux t'en sortir. Si tu sais que l'impact est proche de Pi/2, tu peux écrire soit .
    Comme x est petit tu peux faire le développement limité et linéariser ton équation.

  8. #7
    mega-squall

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    Et bien je suis parti de l'hypothèse que l'impact avait lieu pour .
    En fait, le système est conçu pour que l'impact ait lieu pour .

    Donc de là je sais que l'accélération du système est nulle à l'impact.
    Ce que j'ignore c'est la vitesse, qui elle dépend de
    Cela implique donc que je puisse dériver ou intégrer .
    mega-squall

  9. #8
    Calvert

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    Et bien, intègre numériquement ton équation différentielle! Tu auras une estimation de la fonction et de ses dérivées.

  10. #9
    mega-squall

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    J'ai un peu fait avancé le schmilblick.

    J'ai pu démontrer que :








    Pour : , donc
    Pour : , donc

    Ainsi à l'impact :

    J'ai donc la vitesse angulaire à l'impact.
    A l'impact, donc le fil est vertical.
    Le mobile est attaché par le fil et soumis à la gravité.
    La composante verticale de son vecteur vitesse est donc nulle.
    On doit donc avoir

    Au final


    J'aurais quand même voulu pouvoir exprimer en fonction de t ...
    mega-squall

  11. #10
    mega-squall

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    Un erreur s'est glissée dans mon texte.
    Il fallait bien sûr lire :



    et

    mega-squall

  12. #11
    Calvert

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    Je ne suis pas certain que tu puisses écrire





    Cela revient à dire que



    En prenant par exemple f(x) = x et g(x) = x2, cela ne marche pas.

    Enfin, si je ne fais pas d'erreur.

  13. #12
    mega-squall

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    En effet, cela remet donc en cause mes résultats.
    Merci pour ce détail que j'avais pourtant vérifé avec d'autres fonctions.
    mega-squall

  14. #13
    ericcc

    Re : Equation différentielle du second ordre compliquée

    Tu peux cependant calculer exactement la valeur de à l'impact :

    Multiplie les deux termes de ton équation différentielle par , tu obtiens :


    Tu peux intégrer par rapport au temps et tu trouves



    A l'impact

    Je te laisse conclure

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