Equation différentielle du second ordre compliquée

invite4444b007 · 25/04/2007, 17h58

Bonjour,

Je travaille sur un problème de physique pour faire de la modélisation d'objets qui interagissent avec leur environnement. J'ai dans un premier temps cherché à carctériser le déplacement dans le plan d'une masse sphérique attaché par un fil à un axe que l'on tend à l'horizontale qui que l'on lache dans le vide. Elle décrit alors une trajectoire circulaire, et lorsqu'elle a parcouru un angle de pi/2, elle vient frapper un autre objet.

(O, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ) est le référentiel.
$\text{[math]}$ est colinéaire au fil
$\text{[math]}$ est tangent à la trajectoire
$\text{[math]}$ est le vecteur vitesse du mobile
$\text{[math]}$ est le vecteur accélération du mobile
$\text{[math]}$ est l'acclération de pesanteur
$\text{[math]}$ est la masse du mobile
$\text{[math]}$ est le rayon de la trajectoire
$\text{[math]}$ est l'angle formé entre le fil et l'horizontale
$\text{[math]}$ est la vitesse angulaire du mobile
$\text{[math]}$ est l'accélération angulaire du mobile

On note que $\text{[math]}$ dépend du temps (en fait on devrait noter $\text{[math]}$ ) et que la vitese angulaire et l'accélération angulaire sont sés dérivées successives par rapport au temps.

On peut écrire pour usage futur que :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Le solide est soumis à deux forces :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

D'après le principe fondamental de la dynamique :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Or l'accélaration angulaire est proportionnelle au travail de l'accélération sur l'axe tangent à la trajectoire et inversement proportionnelle au rayon du cercle décrit par le mobile :

$\text{[math]}$

Cela me donne au final la caractérisation de $\text{[math]}$ , mais je n'arrive pas à résoudre cette équation différentielle. Si quelqu'un avait une idée sur la manière dont je pourrais trouver une solution à cette dernière équation, cela m'arrangerait bien la vie =P

La voici la voila : $\text{[math]}$

**chwebij** · 25/04/2007, 18h09

je crois qu'elle n'est pas resolvable analytiquement, elle l'est juste pour les petits angles avec un DL

invite4444b007 · 25/04/2007, 18h30

C'est biren ce que je craignais.

C'est ennuyeux car du coup sans caractériser alpha en fonction de t, je ne peux caractériser ses dérivées, et donc les vecteurs accélération et vitesse au moment de l'impact ...

**chwebij** · 25/04/2007, 18h32

par contre numeriquement c'est possible

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite4444b007 · 25/04/2007, 18h57

Aaah, je veux bien mais comme la sphère est en train de chuter l'angle $\text{[math]}$ ne fait rien que bouger alors c'est tendu =P

Plus sérieusement, tu veux dire en fixant dt ? Je veux bien essayer mais il me faudra un sacré coup de chance pour que l'impact tombe sur un "instant de calcul".

**ericcc** · 25/04/2007, 19h07

En fait je pense que tu peux t'en sortir. Si tu sais que l'impact est proche de Pi/2, tu peux écrire $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ .
Comme x est petit tu peux faire le développement limité et linéariser ton équation.

invite4444b007 · 25/04/2007, 19h30

Et bien je suis parti de l'hypothèse que l'impact avait lieu pour $\text{[math]}$ .
En fait, le système est conçu pour que l'impact ait lieu pour $\text{[math]}$ .

Donc de là je sais que l'accélération du système est nulle à l'impact.
Ce que j'ignore c'est la vitesse, qui elle dépend de $\text{[math]}$
Cela implique donc que je puisse dériver $\text{[math]}$ ou intégrer $\text{[math]}$ .

**Calvert** · 25/04/2007, 19h55

Et bien, intègre numériquement ton équation différentielle! Tu auras une estimation de la fonction $\text{[math]}$ et de ses dérivées.

invite4444b007 · 25/04/2007, 20h17

J'ai un peu fait avancé le schmilblick.

J'ai pu démontrer que :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$

Ainsi à l'impact : $\text{[math]}$

J'ai donc la vitesse angulaire à l'impact.
A l'impact, $\text{[math]}$ donc le fil est vertical.
Le mobile est attaché par le fil et soumis à la gravité.
La composante verticale de son vecteur vitesse est donc nulle.
On doit donc avoir $\text{[math]}$

Au final $\text{[math]}$

J'aurais quand même voulu pouvoir exprimer $\text{[math]}$ en fonction de t ...

invite4444b007 · 25/04/2007, 20h28

Un erreur s'est glissée dans mon texte.
Il fallait bien sûr lire :

$\text{[math]}$

et

$\text{[math]}$

**Calvert** · 25/04/2007, 20h32

Je ne suis pas certain que tu puisses écrire

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Cela revient à dire que

$\text{[math]}$

En prenant par exemple f(x) = x et g(x) = x², cela ne marche pas.

Enfin, si je ne fais pas d'erreur.

invite4444b007 · 25/04/2007, 20h55

En effet, cela remet donc en cause mes résultats.
Merci pour ce détail que j'avais pourtant vérifé avec d'autres fonctions.

**ericcc** · 26/04/2007, 09h08

Tu peux cependant calculer exactement la valeur de $\text{[math]}$ à l'impact :

Multiplie les deux termes de ton équation différentielle par $\text{[math]}$ , tu obtiens :

$\text{[math]}$
Tu peux intégrer par rapport au temps et tu trouves

$\text{[math]}$

A l'impact $\text{[math]}$

Je te laisse conclure

Equation différentielle du second ordre compliquée

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