Démonstration ou contre-exemple??

[invite14bf794d]

Bonjour tout le monde j'au un petit problème concernant un exercice!

Soit f:R²-->R une fct df sur un dom U c R² ouvert et borné qui admet un et un seul pt critique à l'int de U.Est -il vrai que ce pt est un extremum local de f??
Démontrez ou donnez un contre-exemple.

Je crois avoir trouvé la résolution mais j'arrive pas à la démontrer.
En fait le pt est un extremum local de f et dc un pt critique et on peut le prouver en effectuant le calcul de la matrice hessienne qui nous permet d'examiner la nature de ce pt critique
mais je ne sais pas le démontrer
suis-je dans le bon chemin ou pas???
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[invite4ef352d8]

Salut !


je comprend mal ce que tu dit ,tu devrait éviter d'abuser d'abréviation pour ton énoncé, ca le rend pas tres lisible...

mais je vois pas du tous en quoi le fait qu'il y est un unique point critique fais de ce point un extremum local...


par exemple, si je prend f(x,y)=x*y.

et pour U a peu pes n'importe qu'elle voisinage de (0,0)
alors le point (0,0) est l'unique point critique de f, et ce n'est pas un extremum local du tous...

[invite14bf794d]

Je vais reformuler ma question

Soit f:R²-->R une fonction différentiable sur un domaine U c R² ouvert et borné qui admet un et un seul point critique à l'intérieur de U.Est -il vrai que ce point est un extremum local de f??
Démontrez ou donnez un contre-exemple.

Normalement c'est vrai j'ai vérifié sur le net et dans mes bouquins et dans le cas où U est ouvert et borné,un point critique est un extremum de cette fonction f

Et il faut le prouver avec une matrice hessienne mais j'y arrive pas
c'est compliqué

[invite6f25a1fe]

Je suis d'accord avec Ksilver, la fonction f(x,y)=x.y admet pour unique point critique (0,0) car solution du sytème df/dx=y=0 et df/dy=x=0
On prend l'ouvert U=]-1,1[x]-1,1[ qui contient (0,0), ouvert et bornée.
Pourtant, f(h,h)=h²>0 et f(h,-h)=-h²<0. Donc le point (0,0) est un point critique mais n'est pas un extremum
Il n'y rien de plus à démontrer (ou alors quelque chose m'échappe totalement)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

"
Normalement c'est vrai j'ai vérifié sur le net et dans mes bouquins et dans le cas où U est ouvert et borné,un point critique est un extremum de cette fonction f"


si c'etait vrai, alors on pourrait appliqur ca à n'importe qu'elle fonction qui a un point critique isolé en prenant pour U un voisinage suffisement petit de ce point...

mais ce n'est pas le cas, (cf le contre exemple que j'ai donné)


pour que le point critique soit un extremum il faut que le Hessien soit définit positif, ou définit négatif, ou qu'il soit non inversible, mais dans ce cas il faut faire une étude plus fine (a l'ordre 3...)

[invite14bf794d]

c'est ça que j'avais pas compris avec le hessien alors
merci pour l'aide