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Différences finies et erreur de consistance



  1. #1
    Rouliane

    Différences finies et erreur de consistance

    Bonjour,

    On veut approximer par différences finies le problème suivant (conditions de type Neumann):

    trouver u : [0,1] --> R solution de :

    x dans ]0,1[
    ,

    On utilise le schéma à 3 points pour la dérivée seconde, l'approximation de u'(0) par et u'(1) par

    Je ne comprends pas pourquoi l'erreur de consistance du schéma global est en O(h) ?
    Quand on veut approximer ce même modèle mais avec les conditions , on a l'erreur de consistance du schéma global en O(h²), mais qu'est ce qui faut qu'ici on "passe" à une erreur en O(h) ?

    Merci

    -----


  2. #2
    manitou38

    Re : Différences finies et erreur de consistance

    Bonjour,
    un peu tard je suppose pour la réponse mais au cas où quelqu'un d'autre se pose la même question ...
    La raison pour laquelle on perd un ordre (de à ) est que justement les approximations de u'(0) et u'(1) ont été faites à l'ordre 1 en h. En effet,

    et idem pour l'autre bout de l'intervalle.
    Il est possible de conserver l'ordre deux, à condition de discrétiser les dérivées avec une différence finie centrée : pour u'(0) :

    Problème : u(-h) est en dehors de l'intervalle [0,1]. On rajoute donc le "point fictif" -h et on élimine l'inconnue u(-h) en discrétisant l'équation en 0 (alors que dans la méthode d'ordre 1 on ne la discrétise que de h à 1-h par pas de h.
    En x=0 on a

    et on élimine u(-h) grâce à la condition ci-dessus :
    On a alors un système d'inconnues u(0) u(h)... u(1-h) u(1) à résoudre.

    A+

    PS : t'es sûr que c'est pas -u'' dans l'équation au lieu de u'', si c est positif ?

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