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Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))



  1. #1
    Bleyblue

    Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))


    ------

    Bonjour,

    Est ce que quelqu'un sait s'il est possible (et si oui comment) de calculer les primitives de : 1/ln(x) et ln(sin(x)) ?

    J'ai essayer par partie et par substitution mais je n'y suis pas arriver ... :confused:

    merci

    zazeglu

    -----

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  3. #2
    Coincoin

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Salut,
    A ma connaissance, ce n'est pas possible...
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Ah bon, eh bien tant pis, je m'en doutais un peu en fait ...

    Merci

  5. #4
    martini_bird

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    L'intégrale de dt/log(t) s'appelle le logarithme intégral (cf. Gauss); c'est une transcendante (i.e. inexprimable avec les log, sinus, etc...)

  6. #5
    shokin
    Modérateur

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Au fait, comment est-on arrivé à démontrer que certaines fonctions n'étaient pas intégrables ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    D'abord des références : http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html pour le logarithme intégral.

    Quand à log(sin), l'intégrale peut s'exprimer à l'aide du dilogarithme (cf. http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html). (Bons calculs).

    Pour démontrer qu'une fonction ne s'exprime pas en fonction de certaines autres, on utilise à peu près les mêmes méthodes que pour démontrer que les équations générales de degré >4 ne sont pas résolubles par radicaux. Donc: théorie de Galois des extensions de corps (niveau maîtrise).

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  10. #7
    shokin
    Modérateur

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Ouh ! là ! je vais passer un moment pour bien comprendre le tout.

    Ou je ne comprendrai pas.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  11. #8
    martini_bird

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Garde confiance, Shokin!

    tu pourras trouver un aperçu avec le document d'Antoine Chambert-Loir (rendons à César...) ci dessous:
    http://daphne.math.polytechnique.fr/...ch/algebre.pdf

    Au programme: théorie de Galois (racines de polynômes, extensions de corps, cas où tout se passe bien: extension galoisienne séparable) et puis application au problème des solutions des équations polynômiales exprimables par radicaux (groupes résolubles), construction à la règle au compas, et enfin comment démontrer (par exemple) que exp(t^2) n'admet pas de primitive en fonction des fonctions "usuelles".

    Bonne lecture!

  12. #9
    shokin
    Modérateur

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Une activité de plus à mon quotidien !

    Nul doute que je vous poserai des questions.

    Allez, merci, je commence.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Merci beaucoup !

    Zazeglu

  14. #11
    Stephen

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Citation Envoyé par shokin
    Au fait, comment est-on arrivé à démontrer que certaines fonctions n'étaient pas intégrables ?

    Shokin
    On montre que l'intégrale diverge ? Je crois que sur ce fil on parle plutôt de "trouver une primitive à" (et surtout de l'exprimer simplement), ce qui n'a pas grand-chose à voir avec l'intégrabilité

  15. #12
    vuibert

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Citation Envoyé par martini_bird
    Pour démontrer qu'une fonction ne s'exprime pas en fonction de certaines autres, on utilise à peu près les mêmes méthodes que pour démontrer que les équations générales de degré >4 ne sont pas résolubles par radicaux. Donc: théorie de Galois des extensions de corps (niveau maîtrise).
    Pas forcement : pour demontrer que la primitive de exp(x^2) ne peut pas s'exprimer en composant des polynomes, logarithmes et exponentielles, je ne crois pas qu'on fasse appel a la theorie de Galois (meme de facon cachee). Si mes souvenirs sont bons, une suite non triviale d'arguments elementaires sur les derivations dans les corps suffit. Cela dit c'est toujours bien d'apprendre la theorie de Galois.

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Si tu as des références pour une démonstration élémentaire de la transcendance de la primitive de exp(t²), je suis preneur!

  18. #14
    vuibert

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Citation Envoyé par martini_bird
    Si tu as des références pour une démonstration élémentaire de la transcendance de la primitive de exp(t²), je suis preneur!
    En fait je me souviens d'une epreuve de concours dont le but etait de demontrer ce resultat. Mais je ne sais plus quelle ecole et quelle annee c'etait. Sinon j'ai jete un coup d'oeil au cours de Chambert-Loir que tu as indique, et il semble que le seul endroit ou il utilise la theorie de Galois dans la preuve du th. de Liouville est quand on "ajoute" une fonction qui est algebrique sur l'extension courante. Mais sauf erreur, on a pas besoin de ce type d'extension si on ne considere que des composees de log, exp et fractions rationnelles, ce qui est deja pas mal. L'epreuve de concours en question etait peut-etre la demo du cours de Chambert-Loir sans le cas des extensions algebriques en fait, mais je ne m'en souviens plus.

  19. #15
    salahfati

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    [BONJOUR, si tu connais MATLAB TU FAIS LES MARCHE SIUVANTE:

    syms t
    int(1/(log(t)))
    tu va trouver -Ei(1,-log(x))


    intégration de ln(sin(x))
    avec matlab tu fait les démarches suivants
    syms t
    int(log(sin(t)))
    tu va trouver
    -t*log(1-exp(2*i*t))+t*log(sin(t))+1/2*i*t^2+1/2*i*polylog(2,exp(2*i*t))
    et merci je suis à votre disposiotion

  20. #16
    matthias

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Citation Envoyé par vuibert
    En fait je me souviens d'une epreuve de concours dont le but etait de demontrer ce resultat. Mais je ne sais plus quelle ecole et quelle annee c'etait.
    Je crois que c'est ULM 94 ou 95. Quoique ça ait pu être posé plusieurs fois.

  21. #17
    GuYem

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Citation Envoyé par martini_bird
    Garde confiance, Shokin!

    tu pourras trouver un aperçu avec le document d'Antoine Chambert-Loir (rendons à César...) ci dessous:
    http://daphne.math.polytechnique.fr/...ch/algebre.pdf

    Au programme: théorie de Galois (racines de polynômes, extensions de corps, cas où tout se passe bien: extension galoisienne séparable) et puis application au problème des solutions des équations polynômiales exprimables par radicaux (groupes résolubles), construction à la règle au compas, et enfin comment démontrer (par exemple) que exp(t^2) n'admet pas de primitive en fonction des fonctions "usuelles".

    Bonne lecture!
    Wouah je suis impressionné ! Je savais pas du tout que la théorie de Galois amenait à voir que certaines fonctions étaient inexprimables avec les fonctions usuelles.
    En fait ce n'est pas si étonnant que ça puisque ce genre d'énoncé ressemble fortement à des choses de non-résolubilité par radicaux de certaines équations.
    En tous cas bravo encore, c'est beau quand des choses s'unifient comme ça. Dommage qu'on ne nous parle jamais de ça lors des études.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  22. #18
    zeraoulia rafik

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    bon soir je traite integral ln(sinx)

    Sln(sinx)=cosx/sinx+c on utlise la relation suivante f'/f ,ou bien integral par partie
    i am oposite of theoreme of einsteine


    The integral of 1/lnx and lnlnx

    1) when we use the integral of retail for lnlnx we find the following result

    For x like a number reel belong to]1;∞[ so we find
    ⌠lnlnx= lnxlnlnx-lnx+c and this function like the function lnx for way of integration
    Follow me ⌠lnx=xlnx-x+c ,I put lnx in place of x And thus get

    lnxlnlnx-lnx+c ,tehere is the integral of lnlnx ,but whene we derivate this we get

    lnlnx/x not lnlnx, but what i do it?

    I thaught for easy idea that eliminated my problems is idea of Einstein;the all

    relativies so I was choose integrating my function for small amounts ,I put in place

    of x , ▲X .,so now my function is lnln▲X ,and I put same result for x, ▲X belong to

    same area ]1;∞[ ,⌠ lnln▲X= ln▲X lnln▲X- ln▲X +C

    Note/▲X\=dx and ▲X/ dx=1 and Contrary is true because are too are small amounts, nouw we muste integrate for the general variable x ,what we muste do? I thaught to put


    ⌠lnlnx=∑ ln▲X lnln▲X- ln▲X +C=n[ln▲X lnln▲X- ln▲X +C]+c, number nature .

    Now integral of 1/lnx;je veux la reponse.

    ⌠1/lnx=xlnlnx-∑ ln▲X lnln▲X- ln▲X +C=n[ln▲X lnln▲X- ln▲X +C]+c

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  24. #19
    Seb0101

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Alors je sens que je vais dire une grosse connerie mais bon, elle mérité d'être sortie.

    Pour la primitive de 1/ln x :
    J'ecris 1/ln x = (lnx)^-1

    Or il me semble mais je suis pas sûr (les maths c'est trèèèès loin pour moi vous savez, alors excusez-moi) que la primitive de f^n est :
    f'f^n+ou-1 (selon le signe de n) /n+ou-1

    Ce qui donnerait : 1/2.(1/x).(ln x)^-2 car ici n < 0

    Ce qui donnerait : 1/(2x.ln²x)

    C'est bon ça ?

  25. #20
    ericcc

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    essaye de dériver pour voir si ça marche
    Indice : ça ne marchera pas

  26. #21
    Seb0101

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Alors je sens que je vais dire une grosse connerie mais bon, elle méritE d'être sortie.

    Petite correction (au moins que mon truc faux soit juste ) :

    Pour la primitive de 1/ln x :
    J'ecris 1/ln x = (lnx)^-1

    Or il me semble mais je suis pas sûr (les maths c'est trèèèès loin pour moi vous savez, alors excusez-moi) que la primitive de f^n est :
    f'f^n+ou-1 (selon le signe de n) /n+ou-1

    Ce qui donnerait : 1/(-2).(1/x).(ln x)^-2 car ici n < 0

    Ce qui donnerait : -1/(2x.ln²x)

    C'est bon ça ?

  27. #22
    Seb0101

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    essaye de dériver pour voir si ça marche
    Indice : ça ne marchera pas


    Dérivé u/v où v est en plus produit de fonction f.g

    ça ferait u'v - uv' / v² avec v' = f'g + fg'

    ...

    Faudrait essayer...

  28. #23
    invite06622527

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Bonjour,

    je viens seulement de prendre connaissance de cette discussion depuis son début.
    Certes, les interventions de "martini_bird" et de "vuibert" sont tout à fait appropriées et judicieuses : C'est bien là que se situe la clef des problèmes de ce genre.
    Néanmoins, il me semble que "Bleyblue" n'en demandait pas tant. Et je crains que cette discussion ne le conduise à se faire de fausses idées et à entrevoir des choses beaucoup trop compliquées.
    Je pense qu'il vaudrait mieux donner une réponse plus simple, même si on la trairera de simpliste, ou de naïve.
    Soyons clair : Les primitives de 1/ln(x), de ln(sin(x)) existent et sont connues. Tout simplement, disons qu'elles ne sont pas enseignées au même niveau que les fonctions exponentielle ou hyperboliques, par exemple. Elles seront connues des étudiants qui poursuiveront leur cursus à un niveau largement plus élevé dans le domaine des mathématiques.
    Imaginons que vous posiez à un élève, qui n'a encore jamais appris ce que sont les logarithmes, la question suivante :
    Quelles sont les primitives de la fonction 1/x ?
    Il serait dans la même situation de perplexité et d'impossibilité pour répondre. Cela ne ferait que de l'embrouiller terriblement si on essayait de lui expliquer pourquoi une primitive de 1/x ne peut pas être exprimée avec un nombre fini des râres fonctions qu'il connait à son niveau.
    Par ailleurs, il faut s'entendre sur la façon dont on veut exprimer les primitives d'une fonction "récalcitrante" (autrement dit une primitive qu'on ne parvient pas à écrire avec les fonctions que l'on connait) :
    A un niveau intermédaire d'enseignement des mathématiques, c'est le cas de très nombreuses fonctions dont les primitives s'expriment formellement avec des "fonctions spéciales", souvent inconnues des étudiants. Néanmoins ces primitives peuvent généralement être écrites sous forme de séries infinies. Il y a donc moyen de les écrire explicitement, même si on ne connaît pas le nom de la fonction spéciale correspondante.
    Pour ceux qui veulent seulement trouver quelques notions simples à ce sujet (disons : de la vulgarisation), voici un lien :
    http://www.scribd.com/people/documen...575-jjacquelin
    puis sélectionner l'article : "Safari au pays des fonctions spéciales".
    Par contre, ceux qui se posent sérieusement à la très intéressante et fondamentale question de la hiérarchie et des relations entre fonctions, doivent se préparer à un long et ardu chemin, dont les interventions de "martini_bird" et de "vuibert" ne donnent qu'un trop succinct apperçu. C'est d'ailleurs un chemin sur lequel les Mathématiciens ont encore peu avancé et dont le parcours vierge reste immense.

  29. #24
    martini_bird

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Bonjour,

    Citation Envoyé par JJacquelin Voir le message
    Je pense qu'il vaudrait mieux donner une réponse plus simple, même si on la trairera de simpliste, ou de naïve.
    Certes, quoique l'avantage d'un forum sur un manuscrit est l'interactivité : si la réponse n'est pas appropriée, la personne qui posait la question peut demander des développements ou reformuler sa requête.

    Cela ne ferait que de l'embrouiller terriblement si on essayait de lui expliquer pourquoi une primitive de 1/x ne peut pas être exprimée avec un nombre fini des râres fonctions qu'il connait à son niveau.
    C'est une information déjà précieuse de savoir que des intégrales ne s'expriment pas sous la forme d'une formule fermée à l'aide d'un éventail de fonctions de bases. Comprendre pourquoi est bien entendu dans la démarche de tout scientifique, quoiqu'en effet les mécanismes en jeu exigent certaines connaissances.

    J'ai survolé votre article, qui est très plaisant (malgré son côté catalogue sur la fin). Si je devais formuler une mince critique, c'est qu'il n'aborde pas une question qui me paraît importante : pourquoi ces fonctions dites spéciales sont-elles en un certain sens les "bonnes" fonctions ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  31. #25
    invite06622527

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Bonjour martini_bird,

    je ne crois pas que l'on puisse dire que telle ou telle fonction spéciale est "la bonne" fonction, pas plus que de dire que ce n'est pas "la bonne" fonction.
    Avant qu'une fonction spéciale n'ait acquis son statut, il n'est pas rare de voir plusieurs auteurs définir des fonctions voisines, parfois ne différant que par un coefficient de proportionnalité. Ensuite, au cours du temps, l'une d'elle est plus citée et plus utilisée par d'autres auteurs. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle il faut faire très attention à la lecture des ouvrages anciens, pour ne pas confondre diverses définitions voisines. L'une des variantes de définition fini par être adoptée par la majorité des mathématiciens. Parfois il y a bien une raison précise qui justifie ce choix, parfois il n'y a pas de raison car tous les choix étaient équivalents : c'est alors l'évolution historique qui fait qu'une définition subsiste plutôt qu'une autre. D'ailleurs, ce n'est pas ce choix qui est important : c'est qu'il ny en ait pas plusieurs qui circulent en même temps, ce qui entrainerait des confusions.
    Une autre question concerte la définition de fonctions de plus en plus générales, comportant de plus en plus de paramètres et qui, pour des valeurs particulières de certains paramètres, se réduisent à des fonctions "de plus bas niveau" déjà connues et définies antérieurement. Cela suscite la recherche d'innombrables formules qui expriment des relations entre différentes fonctions spéciales. La structure hierarchique de tout cela, en quelque sorte " l'arbre généalogique" des fonctions spéciales, semble plus être le résultat d'une évolution historique que d'une logique d'ensemble. Il y aurait certainement beaucoup à faire dans ce domaine.

  32. #26
    martini_bird

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Bonjour,

    je ne crois pas que l'on puisse dire que telle ou telle fonction spéciale est "la bonne" fonction, pas plus que de dire que ce n'est pas "la bonne" fonction.
    Je ne suis pas d'accord avec ceci : pour prendre un exemple concret, la fonction d'Euler est indispensable et omniprésente dans la quasi-totalité des mathématiques. Formuler certaines identités sans avoir à disposition la fonction ou un de ses avatars relève à mon avis du défi (du reste sans intérêt). C'est en ce sens que je considère que la fonction est une "bonne" fonction. On peut par ailleurs la définir de manière unique à l'aide de peu de propriétés (équation fonctionnelle et convexité logarithmique, si mes souvenirs sont bons).

    Par ailleurs, nombre de fonctions spéciales apparaissent naturellement dans le cadre de représentations de groupes (voir par exemple ce lien pour les fonctions de Bessel) : c'est encore un autre moyen de dire quelles sont les "bonnes" fonctions.

    Une autre question concerte la définition de fonctions de plus en plus générales, comportant de plus en plus de paramètres
    En effet, et la généralisation à un nombre de paramètres trop important peut avoir pour effet de réduire le nombre de propriétés vérifiées par cette "méga-fonction". Raison pour laquelle il est souvent plus intéressant d'envisager des familles de fonctions en mettant en exergue leurs symétries : je pense par exemple aux formes modulaires.

    En conclusion, nous tomberons certainement d'accord sur le fait que le rôle des fonctions spéciales est davantage justifié par leur interprétation dans différents cadres (géométrique, notamment) que par la volonté d'intégrer une fonction "récalcitrante".

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  33. #27
    invite06622527

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Salut,
    pour prendre un exemple concret, la fonction Gamma d'Euler est indispensable et omniprésente dans la quasi-totalité des mathématiques.
    C'est incontestable !
    Mais pourquoi a-t-on donné une définition à cette fonction telle que Gamma(n+1)=n!
    On aurait tout aussi bien pu définir une fonction Gamma* avec son origine différente, telle que
    Gamma*(n)=n!
    et on aurait dit de la même façon que : " la fonction Gamma* est indispensable et omniprésente dans la quasi-totalité des mathématiques"
    La fonction Gamma est définie telle qu'elle l'est parce qu'elle a introduite de cette façon à l'origine, mais elle aurait pu être introduite différemment.
    Certes, cet exemple peut paraître simpliste, mais on en trouverait d'autres. Il y a même des cas où le choix n'est pas arrivé à son terme, si l'on peut dire. Par exemple, il subsiste actuellement trois fonctions : zêta, lambda, êta qui sont liées par des relations si simples qu'il aurait pu se faire (historiquement) qu'une seule subsiste majoritairement utilisée. Cela ne s'est pas fait. De plus, la fonction zêta a été définie par Riemann telle qu'elle l'est actuellement. Mais on peut se demander s'il n'aurait pas été mieux de choisir son origine décalée de 1/2, de telle sorte que la célèbre conjecture se situe vers le 0 au lieu de -1/2 pour la partie réelle des racines non triviales.
    Vous me direz que tout cela ne change pas grand chose sur le fond. C'est bien ce que je voulais dire dans mon message précédent.
    Sur le fond, il me semble qu'on est d'accord.

  34. #28
    martini_bird

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    Salut,

    on peut toujours discuter des conventions : Riemann préférait par exemple la fonction de Gauss à la fonction (), mais le passage de l'un à l'autre se fait par un simple jeu d'écriture. Idem pour les fonctions et apparentées : elles contiennent en substance les mêmes informations.

    Sur le fond, il me semble qu'on est d'accord.
    En effet. Ce qui me paraissait important, c'est simplement de souligner que les fonctions spéciales ne sont pas le fruit du hasard.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  35. #29
    Chemseddin

    Re : Intégrer 1/ln(x) et ln(sin(x))

    a Mon avis va faire Ton B.A.C Psk On Ta Dit Donne Nous La Fonction Mere De 1/lnx Mais Elle Na pas D intergral Ya Une Seul Solition C est De Creer Une Fonction Qui Ressomble a Cette Fonction Dans sa Definition Et On Peux Faire Sont Integral Sinon Faire Une Rotation a la fonction 1/lnx Elle Va Devenir Avec L expo Et C est Facile Pour Compter Sont Integral Sinon On fait Comme sa

    1/lnx On Va Faire que 1/x= u'(x) et u(x) = lnx et 1/lnx = f(x)
    sa veut dire que f(x) = u'(u(x))
    et l integral de cette fonction on peut le faire par Chnagement de Vareable Dx = dt
    dsl c sque je sais Je suis au Niveau Terminal je passe mon Bac

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