ensembles denombrables

[invited7955c23]

comment peut on caracteriser les ensembles denombrables en theorie de la mesure? je veux un theoreme
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[invitec7c23c92]

Ils sont de mesure nulle, mais ça ne suffit pas à les caractériser : il y a des parties de R négligeables et indénombrables.

[inviteea028771]

De mesure de Lebesgue nulle (je sais, je pinaille )

Sinon a ma connaissance tu n'a pas moyen de les caractériser facilement par une mesure (à part avec la mesure qui vaut 0 si l'ensemble est dénombrable et 1 sinon ) .
Moi j'y irai de façon simple et brutale : montrer que cet ensemble s'injecte dans

[invited7955c23]

quelle genre de bijection ou injection peux tu construire? demontre moi que Q est denombrable

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7c23c92]

par exemple la fonction de Q+* dans N qui à une fraction irréductible p/q associe (2p+1)2^q est injective.

[invite14e03d2a]

quelle genre de bijection ou injection peux tu construire? demontre moi que Q est denombrable

L'application f de Q dans N qui à (avec p entier relatif, q entier naturel non nul et p et q premiers entre eux) associe si p est positif et si p est négatif est injective si je ne me trompe pas.

[inviteaf48d29f]

Bah Q s'injecte trivialement dans Z². Pour un élément x de Q qui s'écrit de manière irréductible x=p/q on associe (p,q). Comme Z² est dénombrable, Q est au plus dénombrable, étant infini, il est infini dénombrable.

Edit : fiou, trois minutes et trois preuves différentes.

[invited7955c23]

Q ne s'injecte pas dans Z² mais plutot dans ZxZ*

[inviteea028771]

Mais Z² contient ZxZ*, donc Q s'injecte aussi dans Z²

[invited7955c23]

Pourquoi donc

[invited7955c23]

Soyons dons meticuleux

[invite14e03d2a]

Si A est inclus dans B, alors l'application i de A dans B définie par i(a)=a est injective. D'ailleurs, on appelle souvent ce type d'application une inclusion.

[invite899aa2b3]

Peu importe, on a que le produit cartésien de deux ensembles dénombrables l'est aussi. Ici et sont aussi dénombrables l'un que l'autre.

[invited7955c23]

Merci beaucoup

[invited7955c23]

que donne l'ntegrale sur R de la mesure de DIRAC

[inviteea028771]

, donc

[invited7955c23]

merci!!! je suis donc pas si nulle que ça!

[invited7955c23]

svp j'ai dev de théorie de la mesure demain.
Coment demontrer le théorème de Hahn- Carathéodory

[invite899aa2b3]

Au risque de te décourager, la preuve que j'ai vu dans le livre de M.Briane fait environ quatre pages, et celle du Bouziad-Calbrix est à peine plus courte.
Ceci impose en particulier que ça ne fera sans doute pas l'objet d'une question de cours (sinon la moitié du temps de l'épreuve y passe).
Mais il faut au moins en connaître l'énoncé.