Inégalité fonctionnelle

[invite3240c37d]

Trouver les fonctions (réels), continues, telle que


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[inviteaf1870ed]

Voilà ce que je vois :

En posant F(x)=Int f(x), ton inéquation devient F'(x)<=(x^3+1)F(x).
On peut intégrer cette inéquation et F(x)<=Kexp(x^4/+x)
Donc f(x)<=(x^3+1)Kexp(x^4/+x)

Avec les précautions d'usage...

[invite35452583]

Voilà ce que je vois :

En posant F(x)=Int f(x), ton inéquation devient F'(x)<=(x^3+1)F(x).
On peut intégrer cette inéquation et F(x)<=Kexp(x^4/+x)
Donc f(x)<=(x^3+1)Kexp(x^4/+x)

Avec les précautions d'usage...

Il faut en effet prendre des précautions quand on manipule équations différentielles et inégalités. On pose F=int f Ok, on pose K(x)=F(x)/exp(1/4.x^4+x) on injecte dans l'inéquation on en sort K'(x)<=0.
F(x)=K(x)exp(1/4.x^4+x) avec K décroissante
f(x)=...
f(1)=0 donne une équation en plus.

[inviteaf1870ed]

Oui j'ai fait à très grands traits.
Une fois qu'on a la forme de F(x), on réinjecte dans l'inéquation et
f(x)<=(x^3+1)K(x)exp(1/4x^4+x) avec K(x) décroissante
Si on prend pour F la primitive qui s'annule en 0, on a K(0)=0, donc K négative.
Par contre je ne sais pas faire grand chose avec f(1)=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Oui j'ai fait à très grands traits.
Une fois qu'on a la forme de F(x), on réinjecte dans l'inéquation et
f(x)<=(x^3+1)K(x)exp(1/4x^4+x) avec K(x) décroissante
Si on prend pour F la primitive qui s'annule en 0, on a K(0)=0, donc K négative.
Par contre je ne sais pas faire grand chose avec f(1)=0

Non, justement la solution n'est pas de la forme f(x)<=(x^3+1)K(x)exp(1/4x^4+x) avec K(x) décroissante ce qui est vérifiée pour toute fonction continue. En effet, f admet un max M, (x^3+1)exp(1/4x^4+x) admet un minimum m>0. Il suffit de choisir K décroissante telle que min(K)>=M/m pour vérifier ton inéquation ce qui est toujours possible. par contre il existe des fonctions continues ne vérifiant pas l'inéquation donnée.
Ce que l'on a c'est une paramétrisation par les fonctions continues décroissantes et donc une description des solutions de la forme f(x)= fonction de telle forme dépendant d'un paramètre qui est une fonction continue décroissante. ("décroisssante" remplace l'inégalité)
Le paramétrage par les fonctions de classe C1 est moins bon car toute n'apporte pas une solution du fait de l'équation supplémentaire f(1)=0. Par contre, en paramétrant avec les fonctions continues on doit prendre une primitive déterminée de manière unique par cette équation.
Je ne pense pas que l'on puisse faire mieux.

[inviteaf1870ed]

ok, compris

[invite3240c37d]

...
Je ne pense pas que l'on puisse faire mieux.

Ah que si ! Tray again

[invite35452583]

Ah que si ! Tray again

C'est une aide pour un exercice ou est-ce un "défi" que tu poses ?

[invite3240c37d]

C'est une aide pour un exercice ou est-ce un "défi" que tu poses ?

C'est comme tu veux Le défi a été donc posé ..
Et voici l'aide : essaie d'étudier une foncton du type

[inviteaf1870ed]

Si f(1)=0, alors F(1) >=0, or K négative car K(0)=0 et K décroissante. Donc F est nulle, donc f est nulle ?

[invite35452583]

Si f(1)=0, alors F(1) >=0, or K négative car K(0)=0 et K décroissante. Donc F est nulle, donc f est nulle ?

Non , il y a des solutions non nulles. On a vu que f(x)=((x^3+1)K(x)+K'(x))e^(1/4.x^4+x) vérifie l'inéquation ssi K'<=0.
f(1)=0 équivaut à 2K(1)+K'(1)=0.
Donc si on prend K' fonction continue sur [0,1]. Il lui correspond exactement une solution, celle pour laquelle K est son unique primitive telle que K(1)=-K'(1)/2.

Pour Mmu dit la forme du résultat que tu veux car je ne vois pas en quoi il est possible d'améliorer sensiblement le résultat trouvé pour l'instant.

[inviteaf1870ed]

1-Est on bien d'accord que K' est négative, et donc K décroissante ?
2-Est on également d'accord que K(0)=0 ?
Si c'est le cas, alors K(1) négatif ou nul.

[invite35452583]

1-Est on bien d'accord que K' est négative, et donc K décroissante ?
2-Est on également d'accord que K(0)=0 ?
Si c'est le cas, alors K(1) négatif ou nul.

1 OK (c'est l'équivalent de l'inéquation avec l'intégrale pour f)
2 ben pourquoi la seule autre condition est f(1)=0 ce qui correspond en terme de "K" à 2K(1)+K'(1)=0
Donc K(1) n'a aucune raison d'être négative ou nulle.

[invite3240c37d]

Je vous suggère de dériver , en déduire le signe de , ensuite celui de .. and so on

[inviteaf1870ed]

12 ben pourquoi la seule autre condition est f(1)=0 ce qui correspond en terme de "K" à 2K(1)+K'(1)=0
Donc K(1) n'a aucune raison d'être négative ou nulle.

F est la primitive qui s'annule en 0, or F=Kexp(truc) qui ne s'annule en 0 que si K(0)=0; ou alors je confusionne grave ?
Et si K(0)=0, puisque K est décroissante, K(t) est négatif ou nul

[invite35452583]

F est la primitive qui s'annule en 0, or F=Kexp(truc) qui ne s'annule en 0 que si K(0)=0; ou alors je confusionne grave ?
Et si K(0)=0, puisque K est décroissante, K(t) est négatif ou nul

Non là tu ne confusionnes pas c'est moi, décidément c'est rentrée pour tout le monde.
Et on a donc f=F=0 comme tu l'as montré dans un post précédent.

[inviteaf1870ed]

Qu'en pense Mmu ?

[inviteaf1870ed]

Généralisation à (très) peu de frais : soit f une fonction continue de [a,b] dans IR, u(x) une fonction à valeurs positives sur [a,b], alors si f est solution de l'inéquation intégrale proposée, f est nulle.