dérivation

[invite70431e77]

Bonjour je dois dériver (225*cosx*sinx)\(cosx+1)^2

et je dois trouver 225(2cosx-1)\(cosx+1)^2

si quelqu'un pouvait m'aider pour les détails ça serait super gentil. Merci d'avance!!!!
Je suis en terminale
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[lyapounov]

salut

quelques regles de dérivation simples à connaitre

(u*v)' = u'*v + u*v'
(u/v)' = (u'*v - u*v')/v²
[u(v(x))]' = u'(v(x))*v'(x)
(cos x)' = -sin x
(sin x)' = cos x

avec ça, de la méthode et de la patience tu dois pouvoir trouver la solution

[invite70431e77]

oui je connais tout ça mais je n'arive pas à trouver la réponse

[invitedebe236f]

pas sur mais commence par la division
(225*cosx*sinx)\(cosx+1)^2

(225*cosx*sinx)'*(cosx+1)^2-(225*cosx*sinx)*((cosx+1)^2)'/(cosx+1)^4

puis tu as les multiplication etc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite70431e77]

déja fé mais en vain

[lyapounov]

effectivement on arrive a des choses bizarres.
pour le faire j'ai posé

u = cosx sinx
donc u' = cos²x sin²x

v= cos²(x+1)
donc v'= -2sinx ( cosx+1)

[shokin]

[(225(cos(x)sin(x))/(cos(x)+1)^2]'

=225[((cos(x)sin(x))/(cos(x)+1)^2]'

=225[u/v]' avec u=cos(x)sin(x) et v=(cos(x)+1)^2

=225((ab'+a'b)*v-ab(c^2)')/(a+1)^4 avec a=cos(x), b=sin(x) et c=cos(x)+1=a+1

=225(ab'v+a'bv-ab*2cc')/(a+1)^4

=225(ab'(a+1)^2+a'b(a+1)^2-2ab(a+1)a')/(a+1)^4

=225(ab'(a+1)+a'b(a+1)-2aba')/(a+1)^3

=225(a^2*b'+ab'+aa'b+a'b-2aa'b)/(a+1)^3

=225(a^2*b'+ab'-aa'b+a'b)/(a+1)^3

=225(a^3+a^2+ab^2-b^2)/(a+1)^3

=225(a^3+a^2+a(1-a^2)-1+a^2)/(a+1)^3 car sin^2+cos^2=1

=225(2a^2+a-1)/(a+1)^3

=225(2a-1)(a+1)/(a+1)^3

=225(2a-1)/(a+1)^2

=225(2cos(x)-1)\(cos(x)+1)^2

Et on arrive bien à la solution.

Mais je me demande s'il n'y avait pas une astuce pour gagner du temps.

Shokin

[invite51f4efbf]

Mais je me demande s'il n'y avait pas une astuce pour gagner du temps.
Shokin

Formules d'Euler ?

[shokin]

Euh ! là par contre, je ne les connais pas.

Shokin

[martini_bird]

En trigo, il y a énormément d'astuces (par exemple, tu peux tout de suite écrire que cos x.sin x=1/2. sin 2x). Si je peux me permettre, dans ton cas, tu as a tout intérêt dans un premier temps à maîtriser les techniques de dérivations (produit, composition); dans un deuxième temps, pousse à fond toutes les propriétés des fonctions trigonométriques (formules d'addition, duplication, linéarisation et j'en passe) et essaie d'en extraire la méthode la plus astucieuse!