loi non associative et unicité du symétrique ?

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

Je viens susciter votre curiosité

Si est un groupe, la loi est associative, et on montre facilement l'unicité du symétrique par la loi .

Et si la loi n'était pas associative ?

On prend un ensemble, muni d'une loi interne, non-associative, avec un élément neutre dans et si alors il existe tel que (c'est presqu'un groupe )

Que peut-on dire du/des symétrique(s) ?

Et plus généralement, ce type d'objet mathématiques a-t-il un intérêt quelconque ?


EDIT : Précision : j'ai cherché dans quelques bouquins niveau Licence, chaque fois ils montrent l'unicité du symétrique dans un groupe de la même manière (en utilisant l'associativité)...

Merci à vous


Romain
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[invite986312212]

salut,

j'ai l'impression que si la loi n'est pas associative, l'existence d'un élément symétrique est moins intéressante, parce que même si un élément a un symétrique, il ne peut pas servir à simplifier une expression. Par exemple de xy=xz tu ne peux pas déduire que y=z même si x a un symétrique à gauche.

[Médiat]

Par exemple la multiplication des octonions n'est pas associative.

[invité576543]

Que peut-on dire du/des symétrique(s) ?

Rien, il me semble. Rien de plus que la définition!

Pour construire une loi telle que tu la décris, il suffit d'une table de multiplication quelconque, qui respecte seulement trois propriétés:

- celle de l'élément neutre, qui n'impacte que sa ligne et sa colonne;

- l'existence d'un symétrique qui impose l'existence d'au moins un "1" dans chaque ligne et colonne;

- qu'il y ait au moins (pas nécessairement tous) par ligne et colonne un "1" miroir d'un autre "1" selon la diagonale.

Le nombre de symétriques à droite et à gauche est au moins 1, mais le nombre de symétriques seulement à droite, ou de symétriques seulement à gauche est libre.

Par exemple, la table suivante est valable, il me semble (et on peut en construire des tonnes d'autres):

1 a b c
a 1 1 b
b b c 1
c c 1 1

Et plus généralement, ce type d'objet mathématiques a-t-il un intérêt quelconque ?

J'ai du mal à voir lequel, la différence avec une table quelconque n'est pas très grande!

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

je vous remercie pour vos réponses

je me doutais bien du non-intérêt de ce type d'objets... bon c'est confirmé ! Mais je trouve bizarre qu'on n'en nous ait jamais parlé en cours (...)


Romain