Bonjour,
j'ai une fonction de U dans C, ou U est un ouvert de C et j'aimerai savoir si ma fonction admet une primitive.
J'aimerai savoir quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que cette fonction admette une primitive...
Est ce qu'il faut que ma fonction soit dérivable sur U?
Est ce que si f est continue sur U ca suffit?
Voila, merci.
Salut,
Bon déjà, on peut se rendre compte que le fait que f soit continue ne suffit, vu qu'une fonction dérivable de la variable complexe est nécessairement dévelippable en série entière et donc C infini, ainsi f doit être au moins dérivable (et donc C infini par la théorie de Cauchy...)
Il est alors facile de fabriquer une primitive "locale", vu que ta fonction est alors localement une série entière. Le problème est alors de savoir si on peut recoller tous les petits morceaux locaux pour obtenir une fonction définie sur U tout entier, et on arrive maintenant à un problème qui dépend de la topologie de U. En fait une telle chose est possible si U est simplement connexe, c'est le théorème de monodromie. Ce n'est pas très compliqué à voir, il suffit de remarquer que tu peux construire une primitive le long de tout chemin, mais il faut alors voir que les valeurs obtenues ne dépendent pas des chemins choisis pour relier deux points, et ceci se vérifie bien si U est simplement connexe car deux chemins de mêmes extrémités sont alors homotope. Si U est le disque unité ouvert par exemple, on peut toujours trouver une primitive à une fonction dérivable (c'est un peu trivial dans ce cas car une telle fonction est alors une série entière centrée en 0), un exemple un peu moins trivial est le demi-plan de Poincaré.
Si tu prends pour U le plan privé de l'origine, cet espace n'est pas simplement connexe et tu peux voir qu'il 'y a pas de primitive à z -> 1/z par exemple (pas de logarithme global...)
Ta question se ramène donc à une problème de topologie.
Salut, je pensais qu'il fallait que U soit connexe et f dérivable sur U, en effet. Cette idée se retrouve dans la démonstration du théorème de Morera par exemple. Je ne vois pas en revanche le "simplement connexe"...
En fait,on a alors équivalence entre fonction admettant une primitive et fonction dérivable sur un ouvert U.
Si le simplement connexe est indispensable. Par exemple si 1/z avait une primitive F sur C-0, l'intégrale de 1/z autour du cercle unité serait 0, alors qu'il s'agit de + ou - 2pi (selon le sens dans lequel tu tournes), ce qu'il se passe c'est que tu ne peux pas recoller différents morceaux venant de différents chemins.
