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Intégrale casse pieds



  1. #1
    Bleyblue

    Intégrale casse pieds


    ------

    Bonjour,

    Je cherche à étudier la convergence de l'intégrale :



    Si p est négatif elle diverge mais pour p > 0 je ne vois pas très bien.
    J'ai un critère ici qui dit que :

    1)

    2)
    Si lorsque j'applique le point 2 je trouve une limite qui vaut l'infini cela fonctionne toujours ? Ou bien faut-il que ma limite existe dans R ?

    merci

    -----

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  3. #2
    indian58

    Re : Intégrale casse pieds

    Trouve un équivalent de la fonction sous le signe somme en +infini et utilise les théorème de comparaison.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Intégrale casse pieds

    Moi j'aimerais bien savoir si ce que j'ai dit à propos des critères ci dessus est correcte.

    Ca m'aiderait à avancer

    merci

  5. #4
    MiMoiMolette

    Re : Intégrale casse pieds

    Tes critères, oui, ils sont bons , même si la borne inf de l'intégrale, , me semble bizarre.

    En tout cas, si on prend l'intégrale de 1 à + l'infini, c'est bon.

    Ceci étant dû à la comparaison avec des intégrales de Riemann

    PS : à vérifier quand même, j'ai toujours peur de me tromper...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Intégrale casse pieds

    La borne inférieur est un nombre a quelconque en fait (on suppose f bornée sur [a,oo[)
    Mais, pour le point 2) si ma limite n'est pas nulle mais vaut +oo je peux quand même appliquer le critère ? Ou bien il n'est valable que si la limite existe ?

    merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    indian58

    Re : Intégrale casse pieds

    le critère 2) est faux si on joue sur les mots : f(x)=sinx/x a un intégrale convergente mais xf(x)= sinx n'a pas de limite nulle.

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Intégrale casse pieds

    Bien vu.

    Il faut donc ajouter que les limites en questions doivent exister dans R sinon il y a contradiction.
    Ca répond donc à la question, merci !

    Je vais réessayer.

  11. #8
    homotopie

    Re : Intégrale casse pieds

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Bien vu.

    Il faut donc ajouter que les limites en questions doivent exister dans R sinon il y a contradiction.
    Ca répond donc à la question, merci !

    Je vais réessayer.
    Non, le point 2) est vrai avec limite infinie. L'idée est que si la limite (qui est supposée exister contrairment au contre-exemple d'indian 58) est que l'on peut majorer (ou minorer si le limite est négative) par une intégrale divergente :

  12. #9
    indian58

    Re : Intégrale casse pieds

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Non, le point 2) est vrai avec limite infinie. L'idée est que si la limite (qui est supposée exister contrairment au contre-exemple d'indian 58) est que l'on peut majorer (ou minorer si le limite est négative) par une intégrale divergente :
    Efectivement, mon contre exemple repose sur le fait que la fonction n'a pas de limite (finie ou infinie) et donc a fortiori pas de limite nulle. Après, c'est sûr que le fait d'écrire lim implique que la limite, mais bon comme je l'ai dit, je joue sur les mots.

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Intégrale casse pieds

    Ah ok super (désolé pour le retard de la réponse) !

    merci bien !

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Intégrale casse pieds

    Et est-ce que quelqu'un aurait une idée sur comment faire pour appliquer mon critère de manière à déduire la (non) convergence pour 0 < p < 3 (j'ai règler les cas p < 0 et p >= 3)

    Car je cale dessus depuis un bon bout de temps et ça menace de me rendre fou

    merci

  15. #12
    Garf

    Re : Intégrale casse pieds

    Le fonction que tu intègres est majorée par ln(x)*x^(-3/p), fonction intégrable sur [2,+infini[ pour 0<p<3.

    Tu peux utiliser ton premier critère en prenant pour l'exposant alpha la moyenne entre 1 et 3/p, par exemple.

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Intégrale casse pieds

    Je risque de passer pour le dernier des imbéciles mais malgré des années de math intensives je n'ai jamais imaginer même dans mes cauchemards devoir un jour calculer une limtie aussi horrible que :



    Mais je crois que je vais abandonner sinon je risque de devenir complètement fou, cela fait depuis novembre 2007 que je m'échinne la dessus

    merci à tous

  18. #14
    Garf

    Re : Intégrale casse pieds

    Pourtant c'est pas si dur :


    , avec >0 car p<3.

    D'où une limite nulle en l'infini.

    Il faut voir d'où ça vient (je n'ai pas sorti ça de nulle part) :
    * en l'infini, le 1 du 1+x^3, tu t'en fous.
    * le ln est plus fort que 1, mais moins fort que toute puissance de x. il faut donc garder un epsilon en réserve, mais un epsilon aussi petit que voulu.
    De là, tu as ton résultat directement.
    Ca, c'est des maths

    Concrètement, pour ton critère 1, ton alpha doit être strictement plus grand que 1 (pour pouvoir utiliser ton critère), et strictement plus petit que 3/p (afin de garder un epsilon en réserve au dénominateur pour contrecarrer l'effet du ln). D'où ma proposition de prendre la moyenne arithmétique des deux, mais tout réel de ]1,3/p[ conviendrait tout autant.

  19. #15
    Bleyblue

    Re : Intégrale casse pieds

    Oui enfin c'est surtout du calcul plutôt que des maths

    Mais j'avoue que je suis parfois paresseux

    merci bien

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