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probléme dans démonstration



  1. #1
    thor_asgard

    probléme dans démonstration

    bonjour
    j'ai un petit probléme
    voila l'énoncé
    On pose f telle que pour tout x appartenant a R : y->f(x,y) est C² et pour tout y appartenant à R x->f(x,y) est C²
    on fixe un réel strictement positif h
    On définit alors 2 suites et par :
    x0 = a, y0 = b, et pour tout n appartenant à N x_(n+1) = x_n + h et y_(n+1) = y_(n) + h*f(x_n,y_n )
    On pose y la solution de y'=f(x,y) et y(a)=b

    Si on pose pour tout n apppartenant à N : e_n = y_n - y(x_n)
    Montrer que e_n - e_(n+1) = h(f(x_n,y(x_n))-f(x_n,y_n )+(h²/2)y"(x_n)+o(h²)

    Alors j'ai commencé par dire que : e_n = y_n - y(x_n) et e_(n+1)=y_n + hf(x_n, y_n) - y(x_n+h)
    je fais la différence soit : = - hf(x_n , y_n) + y(x_n + h) - y(x_n)
    je fais alors un développement limité de y(x_n) en 0 pour avoir
    = y(x_n + h) - hf(x_n, y_n) - hy'_(x_n) - (h²/2)y"(x_n) - o(h²)

    Mais aprés impossible de retomber sur la forme a démontrer peut étre ai-je fais une erreur dans mon développement limité m'empéchant d'arriver a la fin de la démonstration?
    merci d'avance pour votre aide
    au revoir

    -----


  2. #2
    thor_asgard

    Re : probléme dans démonstration

    help!
    j'ai encore passé 1h sur cette question et a chaque fois j'arrive a la même chose et impossible d'obtenir la forme de démonstration souhaitée

  3. #3
    martini_bird

    Re : probléme dans démonstration

    Salut, je reformule un peu l'énoncé parce qu'il n'est pas très lisible:







    Citation Envoyé par thor_asgard
    je fais alors un développement limité de y(x_n) en 0 pour avoir
    = y(x_n + h) - hf(x_n, y_n) - hy'_(x_n) - (h²/2)y"(x_n) - o(h²)
    Euh, j'aurais écrit: pour trouver:
    car ... non?

    (j'espère que je ne me suis pas trompé avec tous ces indices).

  4. #4
    thor_asgard

    Re : probléme dans démonstration

    non vous ne vous étes pas trompé dans les indices
    mon probléme était alors dans mon développement limité ou j'avais oublié d'inclure un membre et effectivement la on aboutit bien a la forme de la démonstration souhaitée
    merci beaucoup pour cette aide
    a+

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