probléme de démonstration

[invite72ab54f9]

bonjour a tous
j'ai un petit probléem
On appelle F l'ensemble des fontions de R+ vers R+
On note S l'ensemble des fonctions de f De f qui vérifient que pour tout (x,x') appartenant à (R+)², f(x+x')< ou = f(x) + f(x')
On fixe f et on pose A(f)={g appartenant à S tel que pour tout x appartenant à R+, g(x)< ou = f(x)}
On pose h(x)=sup{g(x),g appartenant à A(f)}
Montrer que h appartient a S
Alors j'aimerais savoir comment vous commenceriez cette question car je ne vois pas trop comment faire mis a part mettre h dans l'inéquation permettant de vérifier si il appartient à S mais je me retrouve vite bloqué dans les calculs
merci d'avance pour vos réponses
au revoir
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[invited29af1fd]

que penses tu de ça : (<= : inférieur ou égal)

g(x+x') <= g(x)+g(x')
donc g(x)+g(x') est un majorant de g(x+x').
Comme h(x+x') est le sup, donc le plus petit des majorants, on a :
h(x+x') <= g(x)+g(x')

Or g(x)<= h(x) et idem pour x' donc :
g(x)+g(x') <= h(x)+h(x') et donc h(x+x')<= h(x)+h(x') donc h appartient a S.