Problème de démonstration

[Umbrella]

Voici mon problème:
Je souhaite démontrer que le vecteur nul n'a en effet aucune direction ni aucun sens. J'ai essayé d'utiliser les dérivées directionnelles mais je coince.
Avez-vous des propositions?

Merci d'avance.
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[Bleyblue]

Salut,

Comment définis-tu le sens et la direction d'un vecteur en fait ? Ca pourrait aider à débuter ...

[Ledescat]

Disons que le vecteur nul est forcément colinéaire à n'importe quel vecteur. Il a donc même sens et même direction que n'importe quel vecteur.

[Bleyblue]

Mais par curiosité, la direction et le sens d'un vecteur dans le cadre de la théorie des espaces vectoriel, ça se définit comment ? Je me le demande

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ledescat]

A mon humble avis:
être dans la direction de u c'est être égal à k.u, k appartenant au corps considéré.
Après la notion de sens je ne saurais te dire. Pour un sous corps de R, je dirais qu'il faut que k soit positif pour être dans le même sens.
Mais quand on passe à C,être positif ou négatif n'a aucun sens,donc grande question!
Si quelqu'un pouvait nous éclairer?

[Bleyblue]

Ah.
Mais alors la direction de u c'est ... ?

Peut-être bien que ce sont des concepts flous introduis par les physiciens. Ce sont des spécialistes dans ce domaine, les physiciens

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[rvz]

Ah.
Mais alors la direction de u c'est ... ?

Peut-être bien que ce sont des concepts flous introduis par les physiciens. Ce sont des spécialistes dans ce domaine, les physiciens

Salut,

Ce n'est pas flou du tout.
Il suffit de poser sur ton k-ev E la classe d'équivalence suivante, définie sur E\{0}:
u R v ssi il existe a dans k* tel que u = a. v.

On vérifie sans mal que c'est une relation d'équivalence, et dire que deux vecteurs sont dans la même direction équivaut à dire qu'ils sont dans la même classe d'équivalence.

Pour le sens, je pense que ça n'est bien défini que pour certains corps de base, disons dans R au moins en imposant dans la définition de la classe d'équivalence ci-dessus que a est dans R+. Au passage, ça définit aussi une relation d'équivalence dans un C ev, même si l'intuition de cette définition est moins claire.

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rvz

[Umbrella]

Donc si je fais le point de tous les messages:
je pose un vecteur u et un autre vecteur v colinéaire à celui -ci de telle sorte que v= k u
Si k = 0 alors v est nul et il n'a aucune direction
Est-ce cela?

[Bleyblue]

Ce n'est pas flou du tout.
Il suffit de poser sur ton k-ev E la classe d'équivalence suivante, définie sur E\{0}:
u R v ssi il existe a dans k* tel que u = a. v.

On vérifie sans mal que c'est une relation d'équivalence, et dire que deux vecteurs sont dans la même direction équivaut à dire qu'ils sont dans la même classe d'équivalence.

Bon bon.
Et dans ce cas la direction de u c'est la classe d'équivalence dans laquelle il se trouve ?

Mais alors montrer que le vecteur nul n'a pas de direction ... c'est bête vu que la relation dont il est question est définie sur E\{0} ...

merci

[Ledescat]

Oui mais justement, cette définition nous laisse à penser que 0 n'appartient à aucune classe d'équivalence, donc n'a pas de direction

[Umbrella]

Salut,

On vérifie sans mal que c'est une relation d'équivalence, et dire que deux vecteurs sont dans la même direction équivaut à dire qu'ils sont dans la même classe d'équivalence.


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rvz

J'ai un petit problème...comment fait-on? (je n'ai pas encore appris ça en cours c'est juste par curiosité. )

Merci encore pour toutes vos réponses et celles qui vont suivre!