Ligne courbe ou fonction en escalier?

[invite33b26c8f]

En zoomant à l'infini (qu'il nous sera possible d'atteindre) sur une ligne courbe ne finiront nous pas par observer une fonction en escalier dont les directions des chemins sont strictement celles des dimensions?
Dans l'infiniment petit, si les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle sont orientés suivant les directions de deux dimensions, serait-il possible de suivre la direction de son hypoténuse? La notion de ligne courbe n'est-elle pas due à une illusion d'optique macroscopique?
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[invitec053041c]

Bonjour.

Le "micsoscopique" et la "macroscopique" n'ont rigoureusement rien à faire en maths. Le "petit" et le "grand" seuls ne signifient rien.
Si vous prenez une courbe de Bolzano par exemple,vous pourrez faire autant de zoom que vous voulez, vous ne trouverez pas de partie monotones !

[invite33b26c8f]

Bonjour.

Le "micsoscopique" et la "macroscopique" n'ont rigoureusement rien à faire en maths. Le "petit" et le "grand" seuls ne signifient rien.
Si vous prenez une courbe de Bolzano par exemple,vous pourrez faire autant de zoom que vous voulez, vous ne trouverez pas de partie monotones !

Je ne parle pas de la définition mathématique d'une ligne courbe, mais de sa réalité. Quand nous dessinons une ligne courbe sur un papier, l'est-elle réellement?

[invitec053041c]

Je ne parle pas de la définition mathématique d'une ligne courbe, mais de sa réalité. Quand nous dessinons une ligne courbe sur un papier, l'est-elle réellement?

Ce n'est pas dans la bonne section que vous posez cette question alors .
Ici on transcende la réalité .

Là ça devient un problème physique. Mais en tout cas, lorsqu'on trace une courbe à la main, l'épaisseur du trait nous empêche toute interprétation...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je ne parle pas de la définition mathématique d'une ligne courbe, mais de sa réalité.

Donc aucun rapport avec les maths, vous vous trompez de section.

Quand nous dessinons une ligne courbe sur un papier, l'est-elle réellement?

Ca dépend de la forme des atomes.

[invite33b26c8f]

Ce n'est pas dans la bonne section que vous posez cette question alors .
Ici on transcende la réalité .

Là ça devient un problème physique. Mais en tout cas, lorsqu'on trace une courbe à la main, l'épaisseur du trait nous empêche toute interprétation...

"Ici on transcende la réalité ."??? Whaoh!!!
Qui ça on? Les mathématiques? Quand on utilise une intégrale pour calculer une aire c'est pour des raisons qui transcendent la réalité?
Voir les mathématiques comme une sorte de métaphysique qui transcenderait la réalité c'est n'avoir rien compris à sa nature, à ses origines. Cet outil a d'abord été construit pour résoudre les problèmes de la réalité. Si les mathématiques généralisent certaines notions, c'est tout simplement pour qu'elles soient prêtes s'il fallait un jour répondre à de nouveaux problèmes posés par la réalité. D'ailleurs savez-vous quel est le principe même d'une intégrale? Comment on obtient la formule pour calculer l'aire d'un disque? Qui a inventé le calcul différentiel? Avez-vous la moindre idée de la contribution des physiciens à l'élaboration des mathématiques. SVP, je vous le dis en toute sincérité, allez donc relire l'histoire des mathématiques.

[invite33b26c8f]

Donc aucun rapport avec les maths, vous vous trompez de section.
Ca dépend de la forme des atomes.

Je reviens sur le calcul de l'intégrale d'une fonction f quelconque. Connaissez-vous la méthode des rectangles qui revient à une approximation de f par une fonction en escalier, pour obtenir une valeur approchée de l'intégrale? Savez-vous au moins pourquoi une telle méthode est possible?

[invite33b26c8f]

Ce n'est pas dans la bonne section que vous posez cette question alors .
Ici on transcende la réalité .

Là ça devient un problème physique. Mais en tout cas, lorsqu'on trace une courbe à la main, l'épaisseur du trait nous empêche toute interprétation...

Désolé de vous répondre par morceaux, mais votre réponse m'a vraiment remué alors je suis allé chercher les noms des développeeurs du calcul infinitésimal (calcul intégral et calcul différentiel) au service de la physique: Archimède, Leibniz et Newton.
On note aussi les contributions de Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis au développement de ces calculs.
J'espère sincèrement qu'après cela, vous vous ferez une autre idée des mathématiques.

[invite7553e94d]

Bonjour.

"Ici on transcende la réalité ."??? Whaoh!!!
Qui ça on? Les mathématiques? Quand on utilise une intégrale pour calculer une aire c'est pour des raisons qui transcendent la réalité?
Voir les mathématiques comme une sorte de métaphysique qui transcenderait la réalité c'est n'avoir rien compris à sa nature, à ses origines. Cet outil a d'abord été construit pour résoudre les problèmes de la réalité. Si les mathématiques généralisent certaines notions, c'est tout simplement pour qu'elles soient prêtes s'il fallait un jour répondre à de nouveaux problèmes posés par la réalité. D'ailleurs savez-vous quel est le principe même d'une intégrale? Comment on obtient la formule pour calculer l'aire d'un disque? Qui a inventé le calcul différentiel? Avez-vous la moindre idée de la contribution des physiciens à l'élaboration des mathématiques. SVP, je vous le dis en toute sincérité, allez donc relire l'histoire des mathématiques.

Il est en effet important de rappeler que les mathématiques sont une vue de l'esprit, ayant générélement pour but de simplifier et résoudre des problème réels. D'une part le généralement est à remarquer : il est possible de faire des mathématiques, pour faire des mathématiques. D'autre part, lorsqu'on tient à résoudre un problème réel, comme celui exposé en premier post, on ne peut utiliser les mathématiques qu'après ce qu'on appelle au collège une "mise en équation". En réalité, il faut faire des hypothèses qui nous permettront par la suite de résoudre le problème avec une mathématique (géométrie euclidienne par exemple).

Je reviens sur le calcul de l'intégrale d'une fonction f quelconque. Connaissez-vous la méthode des rectangles qui revient à une approximation de f par une fonction en escalier, pour obtenir une valeur approchée de l'intégrale? Savez-vous au moins pourquoi une telle méthode est possible?

Petit détail, mais important tout de même : cette méthode (définition de l'intégrale par Riemann) ne fonctionne pas avec toutes les fonctions.

[Médiat]

Je reviens sur le calcul de l'intégrale d'une fonction f quelconque. Connaissez-vous la méthode des rectangles qui revient à une approximation de f par une fonction en escalier, pour obtenir une valeur approchée de l'intégrale? Savez-vous au moins pourquoi une telle méthode est possible?

Très joli ce gras et ce rouge, un peu voyant, mais, bon chacun ses goûts...
Pour répondre à la question qui vous taraude : parce que la limite existe, si elle existe (vous savez, la formule avec un epsilon qui tend vers 0, ce qui s'exprime très bien en analyse non standard (le bidule avec des nombres positifs plus petits que tous les réels positifs, bien sur ça ne se trouve pas facilement sur une feuille de papier)), sinon la méthode ne marche pas !

[invitec053041c]

[...]D'ailleurs savez-vous quel est le principe même d'une intégrale? Comment on obtient la formule pour calculer l'aire d'un disque? Qui a inventé le calcul différentiel? Avez-vous la moindre idée de la contribution des physiciens à l'élaboration des mathématiques. SVP, je vous le dis en toute sincérité, allez donc relire l'histoire des mathématiques.[...]

J'ai l'impression que vous postez une question inutile dans le but d'étaler votre "savoir", et c'est franchement raté.
Ce n'est d'ailleurs pas en attaquant vos interlocuteurs comme cela que vous ferez avancer la discussion.
Si vous pensez réellement que l'abstraction n'est pas une des caractéristiques des mathématiques, c'est que vous avez également grand besoin d'ouvrir un livre d'algèbre.
Aussi, je connais la méthode des rectangles, pas nécéssaire de m'en rappeler le principe. Ce procédé est certes une approche "naturelle" pour calculer une aire sous une courbe, mais pour moi, le travail mathématique commence dès lors qu'on formalise la théorie de Riemann, et pas avant.

[invite33b26c8f]

J'ai l'impression que vous postez une question inutile dans le but d'étaler votre "savoir", et c'est franchement raté.
Ce n'est d'ailleurs pas en attaquant vos interlocuteurs comme cela que vous ferez avancer la discussion.
Si vous pensez réellement que l'abstraction n'est pas une des caractéristiques des mathématiques, c'est que vous avez également grand besoin d'ouvrir un livre d'algèbre.
Aussi, je connais la méthode des rectangles, pas nécessaire de m'en rappeler le principe. Ce procédé est certes une approche "naturelle" pour calculer une aire sous une courbe, mais pour moi, le travail mathématique commence dès lors qu'on formalise la théorie de Riemann, et pas avant.

Si je rencontre une "question" "inutile" d'une personne qui veut étaler son "savoir", c'est simple, je n'y répond pas, je passe mon chemin, ce serait une sorte de respect. Et en matière de manque de respect ma réponse aux mathématiques qui transcenderaient la réalité n'en est pas, loin de là. C'est à la limite de la hargne qui ne vient d'ailleurs pas directement de votre remarque. Je suis un peu triste quand je lis des gens qui essaient d'imposer une certaine orientation des mathématiques, comme les mathématiques en général, et dont certains semblent afficher un certain mépris pour les physiciens et le rapport entre les maths et la physique. D'abord tous les grands physiciens de tout temps ont toujours été d'excellents mathématiciens, puis, bon nombre de fondamentaux des mathématiques ont été développés par des physiciens pour pour des besoins liés aux lois de l'univers.
Ensuite quand on parle par exemple d'un espace de dimension n, n pouvant être n'importe quel entier sans rapport avec les univers réels possibles, il s'agit simplement de fournir un outil avec un grand degré de liberté...
Mais ma question initiale concernant la "ligne courbe" et une "fonction en escalier" est une vraie question de mathématiques, car faire tendre un n vers l'infini pour obtenir une ligne courbe parfaite, ou un cercle parfait, que ce soit en physique ou en mathématiques, cela soulève le même problème. Ceux qui n'y voient aucun problème mathématique sont libres de continuer leur voyage vers un infini qui lui serait spécifique... Il y a peut-être des endroits où mon cerveau a du mal à se rendre et je vous jure que ce n'est pas un besoin d'étaler quoi que ce soit, je veux vraiment comprendre pourquoi et en cela, ma question est une vraie question..

[invitec053041c]

S Je suis un peu triste quand je lis des gens qui essaient d'imposer une certaine orientation des mathématiques, comme les mathématiques en général, et dont certains semblent afficher un certain mépris pour les physiciens et le rapport entre les maths et la physique. D'abord tous les grands physiciens de tout temps ont toujours été d'excellents mathématiciens, puis, bon nombre de fondamentaux des mathématiques ont été développés par des physiciens pour pour des besoins liés aux lois de l'univers.

Ce n'est pas bien lire mes interventions que de dire que je méprise la physique et son lien avec les mathématiques.
Les mathématiques sont indispensables à la physique, et j'en suis conscient.
Seulement, je trouve ça plus raisonnable de ne retenir en mathématiques que l'abastraction, car l'intuition peut nuire (pas toujours, je ne suis pas manichéen) à certains raisonnements purement abstraits.
Et dès que l'on touche à la réalité, alors on passe dans le domaine de la physique.
Il n'y a aucune prétention, ni mépris, juste une certaine façon de différencier physique et mathématiques.


Cordialement.

[invite7863222222222]

je trouve ça plus raisonnable de ne retenir en mathématiques que l'abastraction, car l'intuition peut nuire

Tu opposes abstraction et intuition. Je ne comprends pas. Peut-être voulais tu parlais d'intuition guidée par la physique ?

[invitec053041c]

Tu opposes abstraction et intuition. Je ne comprends pas.

Oui, j'avais rajouté un mot à la base, j'aurais dû le laisser.
J'oppose abstraction et intuition tirée du réel. (c'est pas vraiment moi qui les oppose d'ailleurs, ce sont des notions qui s'opposent de par leur définition)
Parcequ'après, avoir l'intuition que telle application est injective, ou que telle série converge, ça aide toujours à orienter ensuite sa démonstration .


EDIT:

Peut-être voulais tu parlais d'intuition guidée par la physique ?

C'est bien ça, ce que j'appelle "intuition tirée de la réalité".

[invite7863222222222]

Oui je comprends bien là alors.

[invite7863222222222]

cependant je me permettrais de dire que la réalité mathématique même si elle est différente de la réalité physique est aussi une réalité. C'est pourquoi, je préfère parler de physique en tant que discipline essayant d'élaborer des relations entre des grandeurs mesurables de la réalité.

[invite33b26c8f]

Très joli ce gras et ce rouge, un peu voyant, mais, bon chacun ses goûts...
Pour répondre à la question qui vous taraude : parce que la limite existe, si elle existe (vous savez, la formule avec un epsilon qui tend vers 0, ce qui s'exprime très bien en analyse non standard (le bidule avec des nombres positifs plus petits que tous les réels positifs, bien sur ça ne se trouve pas facilement sur une feuille de papier)), sinon la méthode ne marche pas !

Je ne comprends pas trop ce que vous voulez dire. Je sais que la fonction en escalier est une des bases de la théorie de l'intégration. Est-ce cela que vous contestez?

Pour ceux qui n'ont pas tout suivi, le "truc en rouge", c'était "méthode des rectangles"

[Bruno]

Les maths ne sont pas là pour servir, être utiles, engendrer des applications. Ce n'est pas leur but.

Je crois que c'est là que ça coince...

[GrisBleu]

méthode des rectangles

Salut

Je crois que pas mal de monde connait l'integrale de Riemann ici...
Sais tu qu'on peut approcher par des trapezes ? ou des polynomes de degres plus important ? Approcher par des fonctions en escalier ne dis pas grand chose sur la nature de la fonction elle meme.

++

[invite33b26c8f]

Les maths ne sont pas là pour servir, être utiles, engendrer des applications. Ce n'est pas leur but.

Je crois que c'est là que ça coince...

Les détracteurs des mathématiques doivent sauter de joie. C'est ainsi que le BAC C a disparu. De nombreuses personnes se sont évertuées à démonter qu'on pouvait former d'excellents élèves sans mathématiques, qu'il n'y avait aucune raison qu'elles prennent autant d'importance à l'école. Combien de fois a-t-on entendu de mauvais élèves en mathématiques se justifier en citant leurs parents qui pensaient que "les mathématiques ne servent à rien". Voilà une matière qui a donné des merveilles au monde, qui lui permet de construire ses outils, ses appareils, ses voitures, ses ordinateurs, de fabriquer et de lancer des fusées, etc..., une matière sans laquelle la physique n'existerait pas. Et on voudrait la voir comme une discipline ludique, comme une discipline qui n'est pas là pour servir, pour être utile, pour engendrer des applications? Il est possible que beaucoup de gens fassent des maths sans savoir comment on l'utilise ailleurs, j'en suis même presque certain. Combien de matheux savent quel rôle joue réellement cette matière dans les recherches les plus pointues en physique?
Alors, SVP, la question que j'ai posée a du sens en mathématiques et si l'on estime qu'elle est plus appropriée en mathématique pour la physique, je ne vois pas en quoi cette mathématique là devrait être méprisée par une autre tendance des mathématiques. Puis SVP, ne servez pas sur un plateau des arguments aux ennemis des mathématiques.

[invite986312212]

Alors, SVP, la question que j'ai posée a du sens en mathématiques (...)

si la question est: est-ce qu'on peut construire une Géométrie fondée sur un espace discret (comme l'écran d'un ordinateur)? la réponse est oui, et il y a un certain nombre de travaux dans ce sens (par exemple : http://lsiitng.u-strasbg.fr/igg-fr/i...E_1_OPERATION1 )

si la question est: est-ce que le monde réel est discret ou continu? il faut la poser à des physiciens. Est-ce que la Physique sait répondre à cette question?

[invite33b26c8f]

si la question est: est-ce qu'on peut construire une Géométrie fondée sur un espace discret (comme l'écran d'un ordinateur)? la réponse est oui, et il y a un certain nombre de travaux dans ce sens (par exemple : http://lsiitng.u-strasbg.fr/igg-fr/i...E_1_OPERATION1 )

si la question est: est-ce que le monde réel est discret ou continu? il faut la poser à des physiciens. Est-ce que la Physique sait répondre à cette question?

Oui la physique y répond, notamment par la théorie de l'inflation chaotique d'Andrei Linde qui commence avant le Big-Bang. L'univers était continu avant et il est devenu discret lors de l'inflation. Selon la théorie de la "gravitation quantique a boucles" (LQG: Loop Quantum Gravity) de Carlo Rovelli le temps et l'espace seraient discrets. L'espace étant composé de grains d'espace. Cette théorie attend des preuves de l'expérimentation.

[GrisBleu]

Salut

Partir de la methode de Riemann et arriver a la LQG, pas mal.
Sinon, que penses tu des reponses argumentees sur les differences entre approximation et vraie fonction ?

++

[invite33b26c8f]

Salut

Partir de la methode de Riemann et arriver a la LQG, pas mal.
Sinon, que penses tu des reponses argumentees sur les differences entre approximation et vraie fonction ?

++

Beaucoup de choses en mathématiques se construisent sur la base d'une variable entière n qui tendrait vers l'infini, mais comment on atteint jamais cette infini, en réalité on reste toujours dans une approximation, il y a simplement une amélioration de la précision.
On dit que lorsque n tend vers l'infini, 1/n TEND vers 0, il ne sera jamais 0. La valeur du n "final" sera fonction de nos besoins. Selon moi, la notion d'infini doit être interprétée de la façon suivante: "tu pourras augmenter la valeur de n autant que ton besoin de l'exigera". Mais aucune exigence ne peut attendre une éternité.

[Médiat]

Selon moi, la notion d'infini doit être interprétée de la façon suivante: "tu pourras augmenter la valeur de n autant que ton besoin de l'exigera". Mais aucune exigence ne peut attendre une éternité.

Débat très 19ième siècle entre infini actuel et infini potentiel, voir à ce sujet le livre de Bolzano "Les paradoxes de l'infini"

[invite33b26c8f]

Débat très 19ième siècle entre infini actuel et infini potentiel, voir à ce sujet le livre de Bolzano "Les paradoxes de l'infini"

Pour ceux qui ne peuvent avoir accès au livre:
Infini==>L'Infini potentiel et L'Infini actuel:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Infini
http://drame-subjectif-de-cantor.net/pourquoi.html
Philosophie des mathématiques:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Philoso...%C3%A9matiques

Après ces voyages vers les "infinis", certains préfèreront rester dans le rapport de ma question initiale avec la "réalité" (je l'espère).

[GrisBleu]

Mais aucune exigence ne peut attendre une éternité.

Je ne vois toujours pas ou tu veux en venir
Pour repondre a tes premieres questions, mathematiquement, en zoomant sur une courbe precise dans un espace continu, tu peux avoir beaucoup de cas
- courbe continue fractale qui se repete
- courbe derivable qui tendent vers une droite de pente egqle a la derivee
- des discontinuites
- etc.
Bref, pas d'atomes.

Si ton espace n est pas continue, precise ta question. Si tu ne parle pas de mathematiques, la question est mal posee:
- soit ta courbe est une courbe tracee, a donc une epaisseure et tu ne peux zoomer aussi loin que tu veux
- soit ta courbe est autre chose, que tu n as pas clairement definie d'ailleurs, dans l'espace temps dont, au final, on ne connait pas encore la nature.

Apres, l'infini en puissance, ou en fait, ca fait un siecle que ca a ete tranche...

++

[invite33b26c8f]

Apres, l'infini en puissance, ou en fait, ca fait un siecle que ca a ete tranche...
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Peux-tu me réexpliquer certaines choses qui ne sont pas très claires, dont celle-ci?

[invite33b26c8f]

Je viens de lire ceci dans Wikipedia "La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement. Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques.
Intuitivement, une fonction dont on peut dessiner le graphe (donc à variable réelle) est continue seulement si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon." http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9,
Sincèrement, le saut de "Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques" à "Intuitivement" pour "dessiner le graphe" "sans lever le crayon" laisse à réfléchir et peut contribuer à la discussion. On passe de l'existence d'une rigoureuse définition mathématique au besoin d'une intuition pour se représenter la réalité de la continuité par une "non levée" de crayon dans le tracé d'un graphe.