loi de la distance de deux points

[invite69a5b599]

je me suis intéressé à la loi de probabilité d'une variable aléatoire, qui est donné par la distance de deux points choisis aléatoirement dans un cercle, je pense que résolu ce problème on pourra imaginer deux points choisis dans une sphère (etc...).
Pour cela j'ai pensé à étudier la fonction de répartition
F(a)= P({ (x1-x3)²-(x2-x4)²<a²}) où x1,x2,x3,x4 sont des v.a. te que
z1=x1+i x2 et z2=x3+i x4 sont des nombres complexes.

la forme (x1-x3)²-(x2-x4)² me fait penser à une forme quadratique, j'ai donc pensé à la réduire et je peux au moyen d'une matrice de passage la ramener à une forme du type 2(y1)²+2(y2)², ceci me fait penser à une sorte de paraboloïde mais en dimension 4.
Je suis ammené à penser qu'il faille intégrer une surface dans un espace à dimension 4, je me suis plongé (pas encore à fond) dans le calcul intégral en dimension 3 pour voir, et je me suis heurté aux théorème d'Ostrodoski (?orthographe) que je ne maîtrise pas du tout .
Je ne sais pas comment m'y prendre, est-ce que cela semble une bonne piste ? peut-on m'aider pour l'outil intégral.
Merci d'avance.
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[invitedf0aab05]

Salut,

je me suis intéressé à la loi de probabilité d'une variable aléatoire, qui est donné par la distance de deux points choisis aléatoirement dans un cercle

Je prendrai la résolution du problème autrement:
1/
En effet, si ta variable aléatoire X est la distance qui sépare 2 points placés sur un cercle de diamètre quelconque A, alors X peut prendre toutes les valeurs comprisent entre 0 et A, et ça, avec une totale équiprobabilité.
Donc, pour une valeur donnée de A, la densité de prob de X sera une constante (1/A) entre 0 et A. Comme la fonction de répartition est égale à l'intégrale sur R de la fonction de densité de prob, c'est donc tout simplement une droite F(X)=X/A.
2/
D'autres part, si tu veux une fonction de répartition F fonction de A, c'est le même problème (où la même solution) à l'exception d'une discontinuité en 0 (en effet pour un cercle de diamètre nul,i.e. un point, on est sûr à 100 % de trouvé les deux points, et leur distance est nulle), on a la même densité de probabilité quelque soit A, que ce soit un minuscule cercle ou un très grand, c'est une question d'échelle ! On a donc une fonction de densité de proba (fonction de A) constante sur ]0;+inf[ et cette constante est égale à ...hum... 0.
Et oui, c'est la discontinuité en 0 qui prend tout et ne laisse rien aux autres, car une densité de prob est normalisée à 1 (pour les memes raisons que l'on ne peut pas avoir un prob plus grande que 1). Donc ta fonction de répartition F(A) elle est nulle partout sauf en 0 où elle vaut 1.

En fait, on pourrait rapprocher ça au principe d'isotropie, à savoir qu'aucune direction sur un cercle n'est privilégiée. C'est comme avec un dé, tous les chiffres ont la même probabilité ...

Voilà, j'espère que j'ai été assez clair

A+

[invite69a5b599]

Merci Vincent de ta réponse,
mais je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement,
a) En traçant la fonction de répartition "expérimentale" (avec ma ti92 par exemple), c'est à dire je fait des jets de quatre nombre aléatoires ( r1, r2 dans [ 0,1[ et a1, a2 dans [0, 2pi[) et je calcule la distance des complexes z1=r1exp(ia1) et z2=r2exp(ia2), ensuite je regarde la proportion de nombre inférieur à une valeur donnée. En traçant le graphe (approchée nécessairement) de la fct de répartition, les points ne semblent pas du tout alignés, j'ai conjecturé une fct de répartition en
a/(1+bexp(-c*x)+d.

b) D'autre part pour l'étude de la distance sur un segment [0,1] de la distance de deux nombres aléatoires pris sur ce segment, la fonction de répartition est donné par F(x)=-x^2+x, et si on suivait ton raisonnement, la fonction de répartition devrait être linéaire...non ?

c) Toujours dans l'idée de la forme quadratique, j'ai ramené le problème aux conditions suivantes:
P({2r^2<a^2})
et xcos (a)+zsin(a)<0
et x^2+z^2+r^2<2a^2
où (x,y,r,a) est un vecteur de R4, mais le soucis c'est que je ne connais pas les densités de chacune des composantes, et donc mes calculs sont incorrects.
Si vous voulez les détails des calculs je peux vous les envoyer.
c'est à mon avis un calcul d'hypervolume.

[invite1c9ac015]

Salut,

Bon, je vais faire le flemmard parce qu'aujourd'hui les probas ne me tentent pas... Si tu veux la reponse a ta question rend-toi a l'adresse :

http://www.phytem.ens-cachan.fr/tele.../magissans.pdf

Regarde l'exercice 19 p.16 dont la correction se trouve de la p.35 a la p.37.
Ce probleme s'adapte tres facilement au cas que tu cherches a expliquer et te donnera rapidement le resutat...

Cependant, attention quand tu reflechis a des proba !! Quand tu dis par exemple : je prends 4 points et la bizzaremment ca marche pas, moi je te dis : c'est normal ! Prendre 4 points, 1 fois, ce n'est pas statistique !!!

Dans la correction de l'exo dont je te parle il y a l'exemple justement d'une verification par simulation numerique qui te montre comment faire les choses proprement.

Bonne continuation sur ton probleme.@+
Aurelien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69a5b599]

Merci beaucoup aurelalex de ton message, tu apporte de l’eau à mon moulin.
Mais les conditions de l’exercice auquel tu te réfère ne sont pas les conditions du problème de départ.
En effet dans l’exercice 19 il s’agit de tirer N points sur un segment et puis d’évaluer la probabilité de la v.a. qui donne la distance entre deux points consécutifs.
(Dans le disque il s’agirait peut-être de prendre N points sur le disque et d’évaluer la probabilité de la v.a. qui donne la distance minimale entre deux points pris parmi ces N points :
X(w)=min(d(xi(w),xj(w)),i #j avec i,j de 1 à N)).

Or le problème que je me suis posé est d’évaluer la probabilité de la v.a. qui donne la distance entre deux points choisis aléatoirement dans un disque .
Dans le cas du segment, il s’agit de prendre N couples de points dans le segment et de calculer la distance entre les composantes de ces couples, ce qui est totalement différent (je ne réordonne pas les points du segment comme dans la solution de l’exercice 19 proposé)
Quand je fais ma simulation je fais un tirage de 1000 couples de points dans le disque, puis je calcul la distance entre ces points, je range ensuite les distances entre 0 et a, ce qui me donne la fonction de répartition empirique .
En tout cas je patauge dans la semoule.
Merci encore à toi.

[invite1c9ac015]

Hello !

Merci beaucoup aurelalex de ton message, tu apporte de l’eau à mon moulin.

De rien
En plus en ce moment c'est plutot la secheresse et l'eau est difficile a trouver (bon OK c'est nul mais je suis pas douepour les blagues )

Mais les conditions de l’exercice auquel tu te réfère ne sont pas les conditions du problème de départ.

Certes, mais j'ai ecrit dans mon message precedent :

Ce probleme s'adapte tres facilement au cas que tu cherches a expliquer et te donnera rapidement le resutat...

Maintenant regardons ce que tu racontes :

En effet dans l’exercice 19 il s’agit de tirer N points sur un segment et puis d’évaluer la probabilité de la v.a. qui donne la distance entre deux points consécutifs.

Puis :

Or le problème que je me suis posé est d’évaluer la probabilité de la v.a. qui donne la distance entre deux points choisis aléatoirement dans un disque.

Donc en fait c'est bien le meme probleme en remplacant *segment* par *disque* et *N* par *2*. A partir de ca, tu peux conclure facilement. (moyennant de refaire les calculs en consequence).

Si vraiment tu n'y arrives pas, je te donnerai l'adresse email de qqn qui sera interesse par ton probleme (celui qui a redige le poly) : ca lui fera certainement un probleme de plus qu'il sera content de rajouter dans le poly...

En tout cas je patauge dans la semoule.

Eh eh ! C'est le propre de la science

@+
Aurelien

[invite69a5b599]

Merci aurelalex, mais ton argument est fallacieux…
En effet nous ne parlons pas du même N, et d’autre part dans l’exercice 19, ce que Hubert Krivine nomme la densité (limite thermodynamique), implique nécessairement que la longueur du segment se dilate, or dans le problème initial, je choisis des couples de points dans un segment de longueur fixe ([0,1] en particuliers). Donc pour ce problème la limite thermodynamique n’a pas de sens, ou alors elle est infinie, car N-> infini et L est fixe), finalement j’aurai une probabilité infini ???.
Autre chose l’espérance calculé dans le cas du segment [0 ;1] est 1/3, dans les conditions de l’exercice 19 elle est nul. Pour finir mon argumentation, l’idée ,dans la programmation de l’exercice 19 ,d’un ordre est nécessaire alors que dans le pbm initial c’est inutile.

En tout cas je suis intéressé par l’adresse e-mail du rédacteur du poly.
Merci encore et c’est vrai j’adore pédaler dans la semoule, je vais essayer les graines de maïs ou le caramel mou.

[invite1c9ac015]

Hello !

Merci aurelalex, mais ton argument est fallacieux…

Arff.. Tout de suite l'autre
Voyons, voyons :

En effet nous ne parlons pas du même N, et d’autre part dans l’exercice 19, ce que Hubert Krivine nomme la densité (limite thermodynamique), implique nécessairement que la longueur du segment se dilate, or dans le problème initial, je choisis des couples de points dans un segment de longueur fixe ([0,1] en particuliers). Donc pour ce problème la limite thermodynamique n’a pas de sens, ou alors elle est infinie, car N-> infini et L est fixe), finalement j’aurai une probabilité infini ???.

Je recopie la premiere phrase du poly en remplacant *N* par *2* et *segment de longueur L* par *disque de rayon r*, voici ce que ca donne :

*On tire 2 points au hasard uniformement et independamment sur un disque de rayon r*

Voila qui me semble assez proche :?
Ce n'est qu'apres qu'il suppose des choses en plus.

Si tu prends le debut du corrige, qui te donne la fomule de depart, ca ne change pas. C'est ensuite qu'on approxime. As-tu essayer de voir si tu pouvais faire le calcul en partant de cette toute premiere formule ?

En fait cette premiere formule te donne ta proba de tirer un point entre x et x+dx, que tu peux passer dans les coordonnees que tu veux pour ton cercle. De la tu peux tirer la proba d'avoir tes deux points aux coordonnes que tu veux et donc celle d'avoir telle ou telle distance.

En tout cas je suis intéressé par l’adresse e-mail du rédacteur du poly.

Essaye deja ca et si tu n'y arrives pas (ou si je ca ne marche pas), je te donnerai son addresse par MP.

Merci encore et c’est vrai j’adore pédaler dans la semoule, je vais essayer les graines de maïs ou le caramel mou.

Avec la chaleur qu'il fait je sais pas si ca va etre agreable...

Aurelien
au frais lui

[invite69a5b599]

Cher aurelalex,
Tu as eu raison de t’obstiner, je retrouve les résultats sur le segment par la méthode de Hubert Krivine. Je voudrais toutefois signaler deux choses :
Nous ne parlions pas du même N, mais ton argument est sans faille, puisque quand tu prends deux points consécutifs, c’est la même chose que prendre deux points tout simplement.
De plus il faut rectifier la formule de hubert krivine, car elle me semble incorrect (mais cela n’a aucune conséquence dans le passage à la limite, ce qui n’entraîne aucune conséquence dans la suite des résultats).
En effet quand on fait le produit des probabilités on considère le cas où
(N-1) points ne sont pas sur le segment de longueur x et un seulement est sur le segment dx, ce qui donne après coup :
PN(x)= (1-x/L)^(N-1)*C(1,N)dx/L
Et du coup (pour L=1) P2(x)=2*(1-x).
On a intégrale(P2(x),0,1)=1 E(X)=1/3 et F(a)=2a- a^2 (fonction de répartition), c’est exactement ce que je trouve par une méthode totalement différente (si tu es intéressé je t’envoie cette méthode par MP).
Bon passons au choses sérieuse, tu m’as demandé de généraliser dans le cas d’un cercle…
Par une méthode analogue où je prends cette fois-ci un disque de rayon r ( 0<r<1)et j’augmente ce disque de « dr », , la probabilité qu’un des points ne soit pas sur le petit disque est 1-Pi*r^2/Pi=1-r^2, et la probabilité que l’autre soit sur la couronne est de (dr)^2+2*r*dr, or comme (dr)^2 est négligeable devant dr, la probabilité est finalement :
4*(1-r^2)*r*dr.
Ce qui est fou c’est que l’intégrale sur [0,1] est égale à 1, et que avec des tests avec la calculatrice ça colle plutôt bien, mais je trouve mon raisonnement peu rigoureux.
Pour finir je trouve quelque chose de très ressemblant avec ma méthode des formes quadratiques, il faut que je retrouve mes notes…
Merci beaucoup aurelalex, je voudrais seulement savoir si ma réponse est correct, qu’en penses-tu ?
le caramel mou cela reussi pas trop mal finallement.
A bientôt.

[invite1c9ac015]

Salut !

Tu as eu raison de t’obstiner, je retrouve les résultats sur le segment par la méthode de Hubert Krivine.

Good ! J'aurai pas besoin de faire le calcul !

Nous ne parlions pas du même N, mais ton argument est sans faille, puisque quand tu prends deux points consécutifs, c’est la même chose que prendre deux points tout simplement.

Exactement, c'est pour ca que je disais toujours *Dans le cas ou N=2*

De plus il faut rectifier la formule de hubert krivine, car elle me semble incorrect (mais cela n’a aucune conséquence dans le passage à la limite, ce qui n’entraîne aucune conséquence dans la suite des résultats).
En effet quand on fait le produit des probabilités on considère le cas où
(N-1) points ne sont pas sur le segment de longueur x et un seulement est sur le segment dx, ce qui donne après coup :
PN(x)= (1-x/L)^(N-1)*C(1,N)dx/L

Oui, tu as raison. Mais ca c'est une de ses habitudes (negatives) : *comme de toute facon on fait de la phys stat et que N est grand le -1 on s'en balance* ! Je suis bien d'accord que ce n'est pas tres catholique mais c'est comme ca (en fait, il ne s'interesse pas du tout a ton cas de figure, c'est pour ca)

Et du coup (pour L=1) P2(x)=2*(1-x).
On a intégrale(P2(x),0,1)=1 E(X)=1/3 et F(a)=2a- a^2 (fonction de répartition), c’est exactement ce que je trouve par une méthode totalement différente (si tu es intéressé je t’envoie cette méthode par MP).

Ouais, je suis OK avec tes resultats (enfin ma calculatrice l'est )
Ouais ta methode m'interesse ! N'hesite pas a me l'envoyer par MP.

Bon passons au choses sérieuse, tu m’as demandé de généraliser dans le cas d’un cercle…

Euh moi je n'ai rien demande du tout
C'est toi qui voulait un cercle, moi perso, je prefere les lignes droites, c'est toujours plus simple

Par une méthode analogue où je prends cette fois-ci un disque de rayon r ( 0<r<1)et j’augmente ce disque de « dr », , la probabilité qu’un des points ne soit pas sur le petit disque est 1-Pi*r^2/Pi=1-r^2, et la probabilité que l’autre soit sur la couronne est de (dr)^2+2*r*dr, or comme (dr)^2 est négligeable devant dr, la probabilité est finalement :
4*(1-r^2)*r*dr.

Exact.

Ce qui est fou c’est que l’intégrale sur [0,1] est égale à 1, et que avec des tests avec la calculatrice ça colle plutôt bien, mais je trouve mon raisonnement peu rigoureux.

Non non il est bon... Et il vaut mieux que tu trouves une integrale egale a 1 parce que si tu prends deux points dans ton disque et que la distance est plus grande que le diametre du disque, c'est embettant !

Merci beaucoup aurelalex, je voudrais seulement savoir si ma réponse est correct, qu’en penses-tu ?

Ouais, ouais, parfait !

@+
Aurelien

[invite69a5b599]

Cher AurelAlex, c’était trop beau pour être vrai….
La solution proposée pour le problème ne correspond pas à l’expérimentation, tout d’abord il s’est posé un problème : je fais varier r de 0 à 1, alors que la distance entre deux points dans un disque de rayon 1 varie de 0 à 2. J’ai donc naturellement « renormaliser », en faisant un changement de variable x = 2*r.
Ma nouvelle fonction de répartition est donnée par
F(x) = 2*(x/2)^2-(x/2)^4, mais voilà le résultat donne un résultat érroné, les deux courbes ne se superposent pas.


Pour le segment les deux courbes sont confondues, ce n'est donc pas mon programme qui est en cause.
Je suis de nouveau sur la case départ.
A bientôt...

[invite722bde5a]

Merci Vincent de ta réponse,
mais je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement,
a) En traçant la fonction de répartition "expérimentale" (avec ma ti92 par exemple), c'est à dire je fait des jets de quatre nombre aléatoires ( r1, r2 dans [ 0,1[ et a1, a2 dans [0, 2pi[) et je calcule la distance des complexes z1=r1exp(ia1) et z2=r2exp(ia2).

Ta fonction de répartition empirique est erronée, car la méthode de simulation est fausse. Je suis d'accord avec le fait de tirer theta dans [0,2pi] uniformément, pour de raisons de symétrie. Cependant, penses-tu qu'il soit aussi clair que le rayon doit suivre une loi uniforme sur [0,1] ? Hé bien non ! Dans le disque un 'point' a d'autant plus de chance d'être tiré que son rayon est élevé.

La proba que ton point ait un rayon compris entre r et r + dr est égale à l'aire de la couronne (r, r+dr) divisé par l'aire du disque, par définition même de la loi uniforme (dans le plan). Cette proba vaut : 2pi r dr / pi R^2.

Finalement, la densité de proba uniforme sur le disque en coordonnées sphériques est r dr dtheta / pi, et non dr dtheta / (2pi) comme naïvement suggéré

Je te propose la solution suivante pour simuler une uniforme dans le cercle, the so-called méthode du rejet.

1) Tire deux uniformes dans [-1,1], u et v.
2) Vérifie que le point (u,v) est dans le disque (u² + v² <1)
3) Sinon, tu jettes... et tu recommences.

En moyenne, pi/4 tirages sont valides (tu jettes qqch comme 12% des tirages, c'est raisonnable).

Revenons au problème. Quelle est la loi de la distance entre deux points tirés uniformément dans le disque unité ?

Soit D, distance entre les deux points. On souhaite calculer la probabilité que D soit comprise entre u et u+du, ou bien de manière équivalente la proba que D soit inférieure à u.
Posons, X1 := distance du premier point au centre du cercle. (variable aléatoire de densité 2 x1 dx1 ).

J'écris :
Proba{D dans (u, u+du)} = int Proba {D dans (u, u+du) sachant X1 = x} dP_X1.

(Je conditionne simplement par le rayon du premier point et j'intègre)

On a dP_X1 = 2 x1 dx1.

Maintenant, un peu de géométrie. La proba que la distance vaille u, sachant que le rayon du premier point est x1 est l'aire de la couronne de centre x1, de rayon u et de largueur du, intersecté avec le disque de départ et divisé par pi, l'aire totale du disque.

C'est là que ça se complique un peu. Il faut calculer le périmètre du bout de cercle de centre x1, de rayon u. Si u est plus petit que 1-x, le cercle est intérieur et on a pas de problème : le cercle est complet.

Sinon, il faut calculer l'angle formé par x1 et les deux points d'intersection avec le cercle extérieur, noté phi. Le périmètre sera alors multiplité par cet angle sur pi. Un petit coup d'al kashi et je trouve :

phi = 2*arccos {(u² + x² - 1) / (2xu)}.

Voilà, il n'y a plus qu'à recoller les morceaux.
En notant A := {u < 1-x } et B := {u > 1-x } et I_A et 1_B les fonctions indicatrices associées, je trouve un truc du style :

Proba{D dans (u, u+du)} =
4udu( int_0^1 I_A x dx + int_0^1 I_B phi /(2pi) x dx )

Le premier terme se simplifie en :
4udu (1-r)^2/2 I_C,
où C = { r < 1 }

Le second terme peut peut-être se simplifier, chgt de variable ou intégration par partie, cela semble assez horrible, mais maple doit pouvoir tracer la fonction pour vérifier avec la fonction de répartition empirique simulée.

Quelqu'un a-t-il une solution plus simple ??

1) J'ai essayé avec la fonction de répartition, en calculant l'aire du disque plutôt que de la couronne - c'est plus simple avec la couronne.
2) Autre méthode plus bourinne :
Soit f borélienne bornée. X1, X2 indépendantes et uniformément distribuées sur le disque, de densité x1 dx1 dt1.
Soit D := |X1-X2| = sqrt( (x1cost1 - x2 cost2)² + (x1sint1 - x2 sin t2)²)
Je calcule : Z := E(f(D)) = int f(u) g(u) du, où g(u) est la densité cherchée.
Z s'écrit aussi :
Z = E(f(|X1-X2|)) = int int int int sqrt( (x1cost1 - x2 cost2)² + (x1sint1 - x2 sin t2)²) x1 x2 dx1 dx2 dt1 dt2

Après, changement de variable C1 ! u = sqrt(...) v = ... w = ... z = ...
Cela semble beaucoup plus compliqué que les considérations géométriques précédentes.

Merci de votre attention.