Dimension et Notations...

[invite6bacc516]

Bonsoir à tous,

Aujourd'hui lors d'un debat en attendant une colle avec un ami, on est tombé sur un point sur lequel nous n'étions pas d'accord et qui, finalement, n'est peut-être pas si clair que ça :

Pour une démonstration il était nécessaire de considérer 4 entiers relatifs, il s'agit en fait de la démonstration par l'absurde de l'unicité du quotient et du reste d'une division euclidienne, dans laquelle on suppose deux couples et vérifiant la définition de la division euclidienne.

Là vient le problème, en fixant ces entiers on peut noter :



Ou encore :



Effectivement dans un cas on considère les 4 entiers ensemble alors que dans l'autre deux couples formés chacun par deux de ces entiers. Maintenant a-t-on :



?

Pour moi il paraissait évident que oui sachant que pris en couple ou non on reste avec 4 entiers relatifs qu'on introduit, mais il se trouve que nous ne nous accordions pas sur ce point :est-ce rigoureusement identique ?

Je pense que le fait de prendre les éléments en couples ou sous couples ne change rien, sachant que c'est ce qu'on en fera après et comment on définira leur place dans les propriétés qui importera, et non le fait qu'ils soient défini dans un couple ou non.

Maintenant peut-être il y a-t-il un problème de dimensions là dedans, ou n'est-ce qu'une notation dans laquelle on peut avoir la souplesse du calcul avec les puissances de nombres quelconques ?

Merci de me donner vos avis, parce que ça me tracasse
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Cette notation est fausse, de part la définition du produit cartésien.
Il faut autant de produit d'ensembles que d'éléments dans la parenthèse ().
A gauche, tu as 2 éléments de Z², donc ((a,b),(c,d)) appartient à (Z²)² et non Z^4.
Mais (a,b,c,d) appartiennent bien à Z^4.

Les deux notations du début sont donc tout à fait correctes, mais pour cette démonstration, j'aurais tendance à préférer ((a,b),(c,d)) appartient à (Z²)² , car l'on considère des couples, et c'est plus joli ainsi.

Pour moi il paraissait évident que oui sachant que pris en couple ou non on reste avec 4 entiers relatifs qu'on introduit, mais il se trouve que nous ne nous accordions pas sur ce point :est-ce rigoureusement identique ?

Justement non.
Si on considère le complexe a+ib=(a,b) appartenant à IR², alors tu n'as aucune raison de confondre (a,b,c,d) appartenant à IR^4 et (z1,z2) appartenant à C².

Bonne soirée.

[invite6bacc516]

Merci de ta réponse; mais comme tu prend pour exemple les complexes j'en profite pour étayer un peu ma pensée : j'y avait justement pensé, prenons par exemple :



Alors dans ce cas on a aussi :



Ainsi, pourquoi différencier deux quantifications qui ne sont pas réellement différente ? Finalement le fait de prendre des couples est intéressant ici pour bien séparer les deux complexes, mais les deux sont aussi vrai puisqu'on ne donne de sens à ces objets qu'en définissant les deux complexes et .

Cette quantification est aussi juste pour la même chose :



Beaucoup moins logique, mais finalement tout aussi vraie non ? Les complexes sont définis après et c'est ce qui donne du sens à ces objets, qu'ils aient été définis comme couples ou non.

Il y a-t-il une différence entre les prendre en couple ou prendre les 4 directement ? Je n'en suis pas sûr, puisque certes dans ton exemple on ne peut confondre les deux, mais parce que tu as donné un sens à chacun des couples en leur associant un complexe, mais il en aurait été de même sans ces couples...

Qu'apporte la définition d'un couple en tant que tel plutôt que la simple donnée de deux éléments si ce n'est pour la lisbilité ? Comme je l'ai montré juste au dessus, celà n'a pas l'air d'influer d'une quelconque manière sur ce qui suit la quantification : la prise d'un couple comporterait-elle une information supplémentaire sur les éléments qui le constituent ou leurs liens ?

Peut-être existe-t-il des exemples plus compliqués dans lesquels la différence est réellement de taille, mais pour l'instant je pense que deux paquets de deux pommes ou un paquet de quatres pommes, ça fait toujours quatres pommes que l'on pourra arranger comme l'on voudra par la suite

Bonne soirée !

[invitec053041c]

Tu es obstiné je trouve .

C'est justement un exemple de taille les complexes.
Il est absolument faux de confondre systématiquement (a,b,c,d) avec ((a,b),(c,d)). Ce ne sont pas du tout les mêmes objets mathématiques, ils sont incomparables en règle générale.
Je ne l'invente pas, et je ne m'obstine pas, je me réfère simplement à la définition du produit cartésien.
Après libre à toi d'inventer une convention, mais au risque de graves confusions...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Il me vient cet exemple à l'esprit:

((1,0),(0,1)) est une base de IR².

Mais si tu me dis que (1,0,0,1) est une base de IR², c'est que tu te trompes gravement (4 réels ne forment absolument pas une base de IR²).

[Médiat]

Un petit sujet de réflexion : les exemples de Ledescat pour étayer sa thèse font appel à des structures (de corps pour les complexes, d'espace vectoriel pour IR²), mais qu'en est-il quand on considère les ensembles sans aucune structure ?

[invite6bacc516]

Merci encore de vos réponses, je n'ai pas encore vu dans les détails l'exemple des bases de que tu as cité ( je suis un jeune ignorant encore, hé oui ) mais je ne doute pas de sa véracité :þ

En fait la question que je me posais n'est pas exactement celle là, je suis bien d'accord que ce n'est pas la même chose, mais au niveau de la quantification uniquement n'est-ce pas rigoureusement identique ?

Dans les exemples que j'ai cités pour continuer sur l'idée des complexes, le fait de prendre les objets en couples, quels que soient les couples, ou sans les regrouper d'une façon particulière ne change rien non ?







Ces 3 définitions de deux complexes et ne sont-elle pas rigoureusement identiques ? Puisque finalement l'ordre des éléments, le fait qu'ils soient en couple ou non, ça n'influe pas sur la suite puisque c'est après cette quantification que l'on donne un sens à ces éléments.

Dans ce cas ce serait identique au niveau de la quantification, mais on n'aurait pas dans le cas général ?

[invite5e34a2b4]

Salut,

En fait, les 3 "relations" que t'as écrites n'ont pas vraiment de sens. Il manque des termes de quantifications etc. : des "pour tous ...", des "si", des "alors", des "on définit" ou d'autres choses qui permettraient de comprendre.

Mais bon, si ça peut t'aider : dire et , c'est exactement la même chose que de dire .

Donc, si on considère les cas suivants :
- cas 1 :
- cas 2 :
- cas 3 :

et que dans chacun des cas on définit les ensembles :
-
-

alors tous les 6 ensembles E_i et F_i sont égaux.

Mais bon, c'est un cas particulier ici, puisque a,b,c et d sont quelconques et décrivent tout .

[invite6bacc516]

Merci beaucoup de vos réponses j'ai bien avancé dans mon idée

Pour mon exemple sur les complexes je voulais juste déclarer mes variables comme fixes et définir les deux complexes, tu pourrais donc rajouter un "soit" mais je pense qu'un "pour tout" ou autre ne changerait rien au problème, ce qui compte c'est que la "déclaration" de deux couples ou de quatre éléments séparément n'ajoute rien quant au lien entre eux et n'impose aucune condition supplémentaire :þ