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Casse tête marrant



  1. #31
    Evil.Saien

    Re : Casse tête marrant


    ------

    Je vois (peut-etre) ce que tu veux dire...
    Pour montrer que F(n)=n est bien solution, il faut montrer que tout n peut être éxprimé comme une combinaison linéaire d'entier au carré (n^2 = ak1^2 + bk2^2 + ...)
    Pell a réussi à démontrer, ainsi que Gauss, que ak^2 + bl^2 = m possède au moins une solution, avec a, b, m étant des étiers spécifiés, k et l les inconnues.
    Dans notre cas, c'est le contraire, k, l et m sont connus, il reste a trouver a et b.
    Par ce même théorème, on peut a nouveau décomposer a et b et ainsi de suite jusqu'a arriver à des valeurs connus.

    Maintenant pour montrer que F(n)=n est la seule solution, la ca devient plus compliqué... On peut deja essayer de reduire l'ensemble des solutions, par exemple en montrant que F est linéaire... pas facile

    -----

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  3. #32
    olle

    Re : Casse tête marrant

    [edit] raaa encore trompé

  4. #33
    olle

    Re : Casse tête marrant

    une idée, mais je sais pas trop si on peut faire comme ça :

    prenons m = 0, on obtient donc
    F(n²) = F(n)²
    ensuite on étend le domaine d'application de la fonction F à l'ensemble des réels positifs
    F(x²) = F(x)²
    qu'on dérive
    F'(x²)*2x = 2*F(x)*F'(x)

    or comme à l'infini on a F'(x) = F'(x²) on a en simplifiant :
    F(x) = x à l'infini
    soit F(n) = n pour n tendant vers l'infini

    à partir de là reprenons notre équation de départ :
    F(m²+n²) = F(m)²+F(n)²
    avec m = n-1, n tendant vers l'infini
    F(2n²-2n+1) = F(n-1)²+F(n)²

    on obtient :
    F(n-1)² = F(2n²-2n+1)-F(n)²

    motrons que 2n²-2n+1 >= n
    2n²-3n+1 >= 0
    les racines sont n=1 et n=2. pour n>2 il est donc direct que l'inégalité est satisfaite (et pour tout n en fait)

    ET DONC...

    F(n-1)² = F(2n²-2n+1)-F(n)²
    ne fait intervenir dans le terme de droite des termes F(m) avec m>=n où l'on sait que F(m) = m

    F(n-1)² = 2n²-2n+1-n² = n²-2n+1 = (n-1)²

    F(n-1) = n-1

    on en déduit de proche en proche que F(n) = n pour tout n entier

  5. #34
    olle

    Re : Casse tête marrant

    hmmm le seul truc qui pourait clocher je crois est F'(x) = F'(x²)

  6. #35
    martini_bird

    Re : Casse tête marrant

    Salut,

    une fonction vérifiant une relation sur N n'a a priori aucune raison de vérifier la même relation sur R...
    Je pense que la démonstration peut se faire sans passer par une interpolation sur R.

    J'ai une amorce, je vous enverrai mes idées dans les prochains posts...

  7. #36
    olle

    Re : Casse tête marrant

    oui mais bon l'infini en réel peut être considéré comme l'infini en entier non ?
    enfin je sais que de toutes façons c'est pas super rigoureux

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  9. #37
    martini_bird

    Re : Casse tête marrant

    Tes idées sont bonnes: si une fonction sur R vérifient certaines propriétés, elles seront aussi vérifiées sur N.

    Malheureusement, ça ne marche pas dans l'autre sens: par exemple si f(n)=1 pour tout entier n, g(x)=cos(2*Pi*x) interpole f mais g n'est pas constante égale à 1...

  10. #38
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    Allez... je vous fais encore un peu mijoter...demain la réponse...
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

  11. #39
    Sharp

    Re : Casse tête marrant

    Salut,
    olle comment obtiens-tu f'(x)=f'(x^2) en l'infini, d'où vient cette propriété? Je ne comprends pas!

  12. #40
    Korgox

    Re : Casse tête marrant

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Je vois (peut-etre) ce que tu veux dire...
    Pour montrer que F(n)=n est bien solution, il faut montrer que tout n peut être éxprimé comme une combinaison linéaire d'entier au carré (n^2 = ak1^2 + bk2^2 + ...)
    Non, il faut seulement montrer que F(n)=n vérifie les deux critères. Et elle les vérifie les 2, c'est trivial.

  13. #41
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    si il y a des fautes , merci de me le dire:

    Enoncé: Soit f: N->N une fonction tel que f(m^2+n^2)=(f(m))^2+(f(n))^2 et f(1)>0 alors f(m)=(+) ou (-) m

    démonstration:
    * f(0)=0 f(m^2)=f(-m)^2 implique f(m)=(+) ou (-) f(-m)

    *f(1)=1 f(2)=2 f(4)=4 f(5)=5 f(3)=(+)ou(-) 3 (cf question1)

    en fait: f(1)=(f(1))^2 implik f(1)=1 car f(1)>0
    f(2)=2f(1)^2=2 f(4)=(f(2))^2=4 f(15)=(f(7))^2+f(1)=5
    (f(3))^2+(f(4))^2=f(5^2)=(f(5) )^2=25 implik (f(3))^2=9 implik f(3)=(+) ou (-) 3

    *f(m)=(+)ou(-)m pour m>=6 (1)

    en fait on a: (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+B) ^2 (2)qlqsoi a et b

    supposons que (1) soit vrai quelque soit m<=k
    alors il existe a et b tel que: k+1=5a+2b

    d'après (2) on a:
    (f(5a+2b))^2=(f(k+1))^2=(f(3a+ 2b))^2+(f(4a+2b))^2-(f(b))^2
    = (3a+2b)^2 + (4a+b)^2 - b^2
    = (5a+2b)^2
    donc f(k+1)= (+) ou (-) (k+1) quel que soit k de N

    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

  14. #42
    Korgox

    Re : Casse tête marrant

    -Il n'y a pas de nombre négatifs dans |N, et là ça alourdit un peu le début de mettre les (-) (+).

    f(15)=(f(7))^2+f(1)=5

    ? probablement f(5) = f(2)^2+f(1)^2 = 5 :P



    Citation Envoyé par FrB
    *f(m)=(+)ou(-)m pour m>=6 (1)

    en fait on a: (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+B) ^2 (2)qlqsoi a et b

    supposons que (1) soit vrai quelque soit m<=k
    alors il existe a et b tel que: k+1=5a+2b
    je vois pas en quoi (1) implique qu'il existe a,b tels que k+1 = 5a+2b...

    Citation Envoyé par FrB
    d'après (2) on a:
    (f(5a+2b))^2=(f(k+1))^2=(f(3a+ 2b))^2+(f(4a+2b))^2-(f(b))^2
    oups ?
    k=6; a = b = 1; f(7)^2 = f(7)^2 = f(5)^2 + f(6)^2 - f(1)^2

    f(7)^2 = 25 + 36 -1 = 60 faux.

    en fait f(i^2+j^2-k^2) n'est pas égal à f(i)^2+f(j)^2-f(k)^2

    => cette étape est fausse.

    Citation Envoyé par FrB
    = (3a+2b)^2 + (4a+b)^2 - b^2
    = (5a+2b)^2
    donc f(k+1)= (+) ou (-) (k+1) quel que soit k de N



    mal recopié ?

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  16. #43
    olle

    Re : Casse tête marrant

    c'est 4a+b et pas 4a+2b
    donc f(7)² = 5²+5²-1² = 49, OK

    sinon ça m'a l'air correct, mais il faudrait vraiment faire un effort sur la présentation, la rigueur dans les découlements, et surtout... éviter les fautes de frappe/calcul qui discrébilisent ta démonstration

  17. #44
    Korgox

    Re : Casse tête marrant

    Citation Envoyé par olle
    sinon ça m'a l'air correct, mais il faudrait vraiment faire un effort sur la présentation, la rigueur dans les découlements, et surtout... éviter les fautes de frappe/calcul qui discrébilisent ta démonstration
    Je confirme :P

    Citation Envoyé par olle
    c'est 4a+b et pas 4a+2b
    donc f(7)² = 5²+5²-1² = 49, OK
    Ca marche numériquement si on part du principe que f(n) = n, MAIS il faut en fait prouver que (pour le cas général)

    f(i^2+j^2-k^2) = f(i)^2 + f(j)^2 - f(k)^2

    c'est vrai si f(n) = n est la seule solution, mais est-ce vrai si f(n) n'est donnée que par:

    f(1) > 0
    f(m^2+n^2) = f(m)^2 + f(n)^2

    ?


    Il faut faire attention aux étapes qui semblent fonctionner numériquement, le piège est méchant...

    (f(5a+2b))^2=(f(k+1))^2=(f(3a+ 2b))^2+(f(4a+b))^2-(f(b))^2

    n'est donc pas (encore?) valide.
    Dernière modification par Korgox ; 13/11/2004 à 12h42.

  18. #45
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    Oups! Désolé pour les multiples fautes de frappes (et les alourdissements), mais ça a été un peu dur à taper pour moi (surtout de recopier de ma feuille sur laquelle tout est un peu en désordre)...

    Par contre je comprends mal le "n'est donc pas (encore?) valide"... que veux tu dire par là Korgox? que ça ne marche pas? Que c'est mal démontré?
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

  19. #46
    freejazz

    Re : Casse tête marrant

    Bonjour FrB
    je pense qu'il y a plusieurs problemes dans ta solution (dans l'ordre de "gravité"):
    1)L'introduction d'une fonction à valeurs dans Z, alors que ton énoncé précisait qu'elle prenait ses valeurs dans N.

    2)k+1=5a+2b .
    Pour ceux qui ont oublié, tu veux j'imagine utiliser la proprieté que 5Z + 2Z = Z
    (ideaux de Z) du au fait que 5 et 2 sont premiers entre eux. Le seul probleme ici c'est que rien ne nous assure que a et b sont dans N (et effectivement ils le sont rarement tous les deux). Du coup rien ne nous ne assure non plus que 3a+2b>0
    (Prends par exemple a=2 ; b=-4)
    Donc impossible de parler de f(3a+2b) si on ne peut s'assurer de la positivité de 3a+2b

    3) Enfin probleme le plus GRAVE (comme déjà signalé):
    tu utilises que f(n²+p²-q²) = f²(n)+f²(q)-f²(q) alors que ce n'est absolument pas l'hypothèse faite sur f.

    Cordialement.

    PS:On peut savoir d'où vient l'exo ?

  20. #47
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    L'exo vient de: "TransMath programme 2002 Term S, obligatoire" P22 tout en bas à droite dans la rubrique "pour chercher plus".
    Mais par contre:
    Citation Envoyé par freejazz
    Le seul probleme ici c'est que rien ne nous assure que a et b sont dans N (et effectivement ils le sont rarement tous les deux). Du coup rien ne nous ne assure non plus que 3a+2b>0
    réponse:
    Citation Envoyé par FrB
    une fonction f N->N
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

  21. #48
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    Citation Envoyé par freejazz
    3) Enfin probleme le plus GRAVE (comme déjà signalé):
    tu utilises que f(n²+p²-q²) = f²(n)+f²(q)-f²(q) alors que ce n'est absolument pas l'hypothèse faite sur f.
    tss tss tss, désolé mais tu as mal du lire:
    Citation Envoyé par FrB
    (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+B) ^2 (2) qlqsoi a et b

    supposons que (1) soit vrai quelque soit m<=k
    alors il existe a et b tel que: k+1=5a+2b

    d'après (2) on a:
    (f(5a+2b))^2=(f(k+1))^2=(f(3a+ 2b))^2+(f(4a+2b))^2-(f(b))^2
    = (3a+2b)^2 + (4a+b)^2 - b^2
    = (5a+2b)^2
    Je ne te ferais pas l'injure de t'expliquer, mais il suffit juste de bien lire (je conçoit que ce soit dur etant donnée la manière dont je l'ai écrit!!)

    FrK B
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

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  23. #49
    Korgox

    Re : Casse tête marrant

    Citation Envoyé par FrB

    (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+B) ^2 (2) qlqsoi a et b

    supposons que (1) soit vrai quelque soit m<=k
    alors il existe a et b tel que: k+1=5a+2b

    d'après (2) on a:
    (f(5a+2b))^2=(f(k+1))^2=(f(3a+ 2b))^2+(f(4a+2b))^2-(f(b))^2
    = (3a+2b)^2 + (4a+b)^2 - b^2
    = (5a+2b)^2


    Je ne te ferais pas l'injure de t'expliquer, mais il suffit juste de bien lire (je conçoit que ce soit dur etant donnée la manière dont je l'ai écrit!!)

    FrK B
    Alors explique. Et vas-y pas à pas...
    Ce que je vois là (et avec la correction de 4a+2b en 4a+b) :

    f(k+1)^2 = f(5a+2b)^2 = f((5a+2b)^2) = f((3a+2b)^2+(4a+b) ^2-b^2)

    et à partir de ça tu continues avec

    = (f(3a+ 2b))^2+(f(4a+b))^2-(f(b))^2

    donc tu supposes f(i^2+j^2-k^2) = f(i)^2+f(j)^2-f(k)^2

    je vois pas comment tu arrives à ce résultat, alors s'il est justifié explique stp.

  24. #50
    olle

    Re : Casse tête marrant

    bon c'est pas clair son truc... donc normal que certains captent pas tout. je "traduis"

    déjà il calcule F(n) avec n de 0 à 6
    (ce point est vraiment pas clair mais bon c'est facile de le faire)

    ensuite pour sa démonstration avec les a et b, il dit qu'un nombre entier plus grand que 6 peut toujours s'écrire sous la forme 5a+2b avec a et b entiers. (et c'est vrai hein)

    et enfin comme (5a+2b)²+b²=(3a+2b)²+(4a+b)²
    on a F((5a+2b)²+b²) = F((3a+2b)²+(4a+b)²)
    ou donc encore (F(5a+2b))²+(F(b))² = (F(3a+2b))²+(F(4a+b))²

    on considère que 5a+2b est le plus petit nombre pour lequel F(n)=n n'est pas démontré
    on remarque que b, 3a+2b et 4a+b sont inférieurs à ce nombre
    donc on sait que F(b)=b, F(3a+2b)=3a+2b, F(4a+b)=4a+b

    et finalement : (F(5a+2b))² = (3a+2b)²+(4a+b)²-b² = (5a+2b)²

    et on démontre de proche en proche que F(n) = n pour tout n

  25. #51
    Korgox

    Re : Casse tête marrant

    Citation Envoyé par freejazz
    2)k+1=5a+2b .
    Pour ceux qui ont oublié, tu veux j'imagine utiliser la proprieté que 5Z + 2Z = Z
    (ideaux de Z) du au fait que 5 et 2 sont premiers entre eux. Le seul probleme ici c'est que rien ne nous assure que a et b sont dans N (et effectivement ils le sont rarement tous les deux). Du coup rien ne nous ne assure non plus que 3a+2b>0
    (Prends par exemple a=2 ; b=-4)
    Donc impossible de parler de f(3a+2b) si on ne peut s'assurer de la positivité de 3a+2b

    Pour tout k > 3 il existe a,b € |N tq k = 5a + 2b est quand même vérifié :

    pour obtenir un nombre pair 2n : 2n = n * 2 a = 0, b = n
    un nombre impair 2n+1 : 2n+1 = 5*1 + (n-2)*2 a = 1, b = n-2

    mais bon on peut dire que FrB a de la chance

    surtout vu la réponse f: N->N ?_?



    Ah merci olle

    Et bravo FrB vu que ça marche finalement
    Dernière modification par Korgox ; 13/11/2004 à 16h27.

  26. #52
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    Ok: (re désolé pour la faute!!):

    f(5a+2b)^2=f(k+1)^2 (jusk la c bon)
    = f(3a+2b)^2+f(4a+b)^2-f(b)^2 expliquation:

    (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+b) ^2
    donc (5a+2b)^2=(3a+2b)^2+(4a+b)^2-b^2 (c bon là?)

    Ce que tu as écris toi c'est:
    =f[(3a+2b)^2+(4a+b) ^2-b^2]

    et ce n'est pas ce qui est écrit il n'y a pas de parenthèses!!... ou alors c'est encore une grossière faute de frappe (je suis tellement doué pour ça)

    cela te satisfait il?

    FrK B
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

  27. #53
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    Lol oui en effet Korgox je me suis un peu planté sur cette réponse là, je m'en suis rendu compte après coup mais n'ai pas pu me rectifier... excuse moi
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

  28. #54
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    Bon enfin, on y est arrivé... je vais essayé de m'améliorer sur la clarté et la frappe pour une prochaine fois...

    FrK B
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

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  30. #55
    Korgox

    Re : Casse tête marrant

    Citation Envoyé par FrB
    Ok: (re désolé pour la faute!!):

    f(5a+2b)^2=f(k+1)^2 (jusk la c bon)
    = f(3a+2b)^2+f(4a+b)^2-f(b)^2 expliquation:

    (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+b) ^2
    donc (5a+2b)^2=(3a+2b)^2+(4a+b)^2-b^2 (c bon là?)

    Ce que tu as écris toi c'est:
    =f[(3a+2b)^2+(4a+b) ^2-b^2]

    et ce n'est pas ce qui est écrit il n'y a pas de parenthèses!!... ou alors c'est encore une grossière faute de frappe (je suis tellement doué pour ça)

    cela te satisfait il?
    Ben non, ça me satisfait toujours pas ^^' mais olle l'a justifié

    Bravo

  31. #56
    FrB

    Re : Casse tête marrant

    bon ben que veux tu, je n'ai pas réussi à comprendre ce qui ne te convenait pas... désolé, mais merci olle d'avoir fait avancé le chmlblik par ce qu'avec moi c'était mal parti
    L'art est une demonstration dont la nature est la preuve

  32. #57
    freejazz

    Re : Casse tête marrant

    >on considère que 5a+2b est le plus petit nombre pour lequel F(n)=n n'est pas >démontré
    >on remarque que b, 3a+2b et 4a+b sont inférieurs à ce nombre

    Ah vous allez dire que je chipote, mais si n est pair alors a=0 comme l'a remarqué Korgox et 3a+2b = 5a+2b ; on ne peut appliquer l'hyp de recurrence.

    par ex: n=8 ; a=0; b=4 on trouve: F(8² + 4²) = F(8² + 4²)
    dont on ne peut rien faire

    Allez un petit effort...

  33. #58
    leg

    Re : Casse tête marrant

    bonsoir FRB,
    en fait on a: (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+B) ^2 (2)qlqsoi a et b

    tu dis qlqsoi a et b, si a = 2 et b = 3 ; dit moi si je me trompe car j'ai un doute.
    (5a + 2b)² = (10+6)²
    d'où [(10+6)² + 3²] = (16² + 3²) et:
    (16² + 3²) = (3a + 2b)² + (4a + b)² soit3a + 2b)² = 12² et (4a + b)² = 11²
    or : 16² + 3² =337 ? et 144 + 121= 265 ?
    peut être que je ne comprend pas , je pensai que si a = 2 alrs 5a =10 et pour b =3 alors 2b = 6 alors ,peux tu me mettre les valeurs qui vérifient cette première équation,
    pour a = 2 et b = 3 merci d'avance
    ps: ta solution (5a+2b)^2+b^2=(3a+2b)^2+(4a+B) ^2=(3a+2b)^2+(4a+B) ^2 , est une équation Pythagorique, comme Z n'est pas un carré obligatoirement dans cet exemple, on sait que (z+y) (z-y) = x² dans ton exemple (4a + b)² = x² et (a + 2b) = Y et z = racine carrée de [(5a+2b)^2+b^2] peux tu vérifier si c'est toujours vrai ..merci

  34. #59
    leg

    Re : Casse tête marrant

    re , j'ai oublié le 3 dans y, y = (3a + 2b) mea c

  35. #60
    justine&coria

    Re : Casse tête marrant

    Citation Envoyé par freejazz
    >on considère que 5a+2b est le plus petit nombre pour lequel F(n)=n n'est pas >démontré
    >on remarque que b, 3a+2b et 4a+b sont inférieurs à ce nombre

    Ah vous allez dire que je chipote, mais si n est pair alors a=0 comme l'a remarqué Korgox et 3a+2b = 5a+2b ; on ne peut appliquer l'hyp de recurrence.

    par ex: n=8 ; a=0; b=4 on trouve: F(8² + 4²) = F(8² + 4²)
    dont on ne peut rien faire

    Allez un petit effort...
    Tu as tout à fait raison !!

    Cependant, si tu remarques bien, à partir de n=9, tous les nombres peuvent se mettre sous la forme 5a+2b où a n'est pas nul et donc où 3a+2b n'est jamais égal à 5a+2b.
    Et comme tu as normalement calculé f(k) pour k compris entre 1 et 12, tu peux faire le raisonnement.

    Remarque : pour les nombres n pairs, t'es pas obligé de prendre a=0 : en effet 16 se met sous la forme 16 = 5x2+2x3 .

    En fait, il y avait un tout petit peu moins long, mais vraiment un tout petit peu !!
    On peut, en effet, remarquer que tout nombre supérieur à 5 peut se mettre sous la forme n = 5a-2b avec a non nul (supérieur ou égal à 1) et b=0,1,2,3,4
    et on remarque aussi que (5a-2b)²+b²=(3a-2b)²+(4a-b)².
    Après, c'est comme le raisonnement donné précédemment.
    Sauf que dans ce cas, il suffit de calculer que les 5 premiers termes de f !!
    Dernière modification par justine&coria ; 13/11/2004 à 18h47.

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    Dernier message: 19/11/2004, 15h59
  4. Casse-tête
    Par Mister Quartz dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 18
    Dernier message: 27/09/2004, 10h46
  5. un ptit probleme casse tete et casse pieds aussi (je trouve)
    Par avril dans le forum Mathématiques du supérieur
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    Dernier message: 17/01/2004, 12h08