HELP - INTEGRATION, etapes intermediaires manquent!

[invite3bc412ad]

Si q-un peut m'aider?

Le prof a commence avec l'integral entre ?(pas donne) et "x"
de [1/(exp(t) + 1)]dt

** QUESTION 1: meme si le "0" n'est pas donne, l'integration est entre "0" et "x", je suppose?

Il a propose un changement de variABLE: u = (exp(t) + 1)

Ainsi, il va maintenant integrer (1/u)

entre ?(pas donne) et (exp(x) + 1)

**QUESTION 2: si l'integration originale etait entre 0 et "x", l'integration doit maintenant commence a (exp(0) + 1) = 2 ??
MAIS il n'a pas ecrit ca!!


en remplacant dt par (1/u') du
**(parce que u=f(t) ===> du = f'(t)dt ===> dt = (1/u')du )

et (1/u') = (1/exp(t) = 1/(u - 1)

ENFIN donc, il va integrer (1/u).(1/(u - 1)).du
entre ? et (exp(x) + 1)

Il ecrit que 1/(u.(u-1)) <===> A/u + B/(u - 1) (sans explication pourquoi)

et il procede directement a un resultat de:
- ln(u) + ln(u -1) + e
= - ln(exp(x) + 1) + ln(exp(x) + e

OK, on suppose que A et B etaient des constants inconnues proposees pour changer un produit en une somme, mais ils sont disparues ou apres l'integration? et d'ou vient le "e" seul?

Pour comprendre, nous devons voir TOUS les etapes, i.e. tous les primitives utilises et leurs valeurs:
INTEGRALE de f(x)dx entre "a" et "b" = F(b) - F(a)

Ici, quels sont les F(b) et F(a) qu'il a utilises??
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[invite51f4efbf]

Le prof a commence avec l'integral entre ?(pas donne) et "x"
de [1/(exp(t) + 1)]dt

** QUESTION 1: meme si le "0" n'est pas donne, l'integration est entre "0" et "x", je suppose?

Pas forcément. Disons que ton prof semble chercher une primitive à 1/(1+exp(x)). Dans l'idée, ça n'a pas trop d'importance, puisque ça changera la primitive trouvée d'une constante additive. L'importance est dans la suite : il faudra choisir a pour que le changement de variable soit bijectif.

Il a propose un changement de variABLE: u = (exp(t) + 1)

Ainsi, il va maintenant integrer (1/u)

Bon, c'est bijectif sur toute la droite réelle, on peut donc prendre n'importe quel réel : 0 fait bien l'affaire.
Par contre, ce n'est pas 1/u qu'il faut intégrer, il a oublié le jacobien ! Tu as rapidement t = log(u-1), ainsi tu trouves . Tu te retrouves à calculer l'intégrale suivante :

Il ecrit que 1/(u.(u-1)) <===> A/u + B/(u - 1) (sans explication pourquoi)

Il écrit 1/u(u-1) = A / u + B / (u-1), ça s'appelle une décomposition en éléments simples. Disons que deux réels A et B tels que cette relation est vérifiée existe toujours. Il suffit ensuite de trouver les deux réels pour avoir une intégration avec les logarithmes.

Ici, quels sont les F(b) et F(a) qu'il a utilises??

Il y a deux primitives utilisées : celle de 1/u et celle de 1/(u-1). Je te laisse chercher un peu avec ça.