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HELP - INTEGRATION, etapes intermediaires manquent!



  1. #1
    ozzieabroad

    HELP - INTEGRATION, etapes intermediaires manquent!


    ------

    Si q-un peut m'aider?

    Le prof a commence avec l'integral entre ?(pas donne) et "x"
    de [1/(exp(t) + 1)]dt

    ** QUESTION 1: meme si le "0" n'est pas donne, l'integration est entre "0" et "x", je suppose?

    Il a propose un changement de variABLE: u = (exp(t) + 1)

    Ainsi, il va maintenant integrer (1/u)

    entre ?(pas donne) et (exp(x) + 1)

    **QUESTION 2: si l'integration originale etait entre 0 et "x", l'integration doit maintenant commence a (exp(0) + 1) = 2 ??
    MAIS il n'a pas ecrit ca!!


    en remplacant dt par (1/u') du
    **(parce que u=f(t) ===> du = f'(t)dt ===> dt = (1/u')du )

    et (1/u') = (1/exp(t) = 1/(u - 1)

    ENFIN donc, il va integrer (1/u).(1/(u - 1)).du
    entre ? et (exp(x) + 1)

    Il ecrit que 1/(u.(u-1)) <===> A/u + B/(u - 1) (sans explication pourquoi)

    et il procede directement a un resultat de:
    - ln(u) + ln(u -1) + e
    = - ln(exp(x) + 1) + ln(exp(x) + e

    OK, on suppose que A et B etaient des constants inconnues proposees pour changer un produit en une somme, mais ils sont disparues ou apres l'integration? et d'ou vient le "e" seul?

    Pour comprendre, nous devons voir TOUS les etapes, i.e. tous les primitives utilises et leurs valeurs:
    INTEGRALE de f(x)dx entre "a" et "b" = F(b) - F(a)

    Ici, quels sont les F(b) et F(a) qu'il a utilises??

    -----

  2. #2
    Stephen

    Re : HELP - INTEGRATION, etapes intermediaires manquent!

    Citation Envoyé par ozzieabroad
    Le prof a commence avec l'integral entre ?(pas donne) et "x"
    de [1/(exp(t) + 1)]dt

    ** QUESTION 1: meme si le "0" n'est pas donne, l'integration est entre "0" et "x", je suppose?
    Pas forcément. Disons que ton prof semble chercher une primitive à 1/(1+exp(x)). Dans l'idée, ça n'a pas trop d'importance, puisque ça changera la primitive trouvée d'une constante additive. L'importance est dans la suite : il faudra choisir a pour que le changement de variable soit bijectif.

    Citation Envoyé par ozzieabroad
    Il a propose un changement de variABLE: u = (exp(t) + 1)

    Ainsi, il va maintenant integrer (1/u)
    Bon, c'est bijectif sur toute la droite réelle, on peut donc prendre n'importe quel réel : 0 fait bien l'affaire.
    Par contre, ce n'est pas 1/u qu'il faut intégrer, il a oublié le jacobien ! Tu as rapidement t = log(u-1), ainsi tu trouves . Tu te retrouves à calculer l'intégrale suivante :



    Citation Envoyé par ozzieabroad
    Il ecrit que 1/(u.(u-1)) <===> A/u + B/(u - 1) (sans explication pourquoi)
    Il écrit 1/u(u-1) = A / u + B / (u-1), ça s'appelle une décomposition en éléments simples. Disons que deux réels A et B tels que cette relation est vérifiée existe toujours. Il suffit ensuite de trouver les deux réels pour avoir une intégration avec les logarithmes.


    Citation Envoyé par ozzieabroad
    Ici, quels sont les F(b) et F(a) qu'il a utilises??
    Il y a deux primitives utilisées : celle de 1/u et celle de 1/(u-1). Je te laisse chercher un peu avec ça.

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