équation x=nlnx

[invitedf04a0e5]

Bonjour, j'ai qqs soucis avec un exo et j'aurais donc besoin de votre aide svp.

voilà mon énoncé:

1) soit n3. montrer que l'équation x=n lnx d'inconnue possède exactement deux solutions, en étudiant les variations de la fonction ,
x--> x-n lnx.
On notera x_n la plus petite des deux solutions et y_n la plus grande.

cette question j'ai réussi

2)a) Montrer que pour tout n3 on a 1x_ne.

je bloque à cette question, j'ai essayé par récurrence mais je n'aboutis à rien parce que je n'arrive pas à trouver de relation entre x_n et x_n+1.

est ce que qqn pourrait m'aider svp

je vous remercie d'avance.
-----

[invite1237a629]

Yop

Donc tu sais que et
Donc

Et si tu continues tu auras la première partie de ton inéquation

[invite1237a629]

Pour la deuxième partie de l'inéquation, tu peux raisonner par l'absurde :

Si qu'advient-il du signe de ? Que peux-tu en déduire sur ?

[invite62ffc9d0]

bonjour,
1<xn<e <==> fn(1)>fn(xn)>fn(e) qui est vrai car fn DECROISSANTE
pour n>=3 et fn(1)=1 , fn(xn)=0 et fn(e)=e-n<0 (n>=3) donc 1>xn>e.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62ffc9d0]

petite correction:
conclure avec 1<xn<e. Toutes mes excuses.

[invitedf04a0e5]

merci beaucoup, j'ai enfin réussi !!

j'aurais encore besoin de votre aide pour la suite

2)b) Montrer que pour tout on a f_n+1(x)f_n(x)

j'ai fait ça, je ne sais pas si c'est juste :

n+1n
-(n+1)-n
-(n+1)lnx-nlnx
x-(n+1)lnxx-nlnx
f_n+1(x)f_n(x)

2)c) En déduire que f_n(x_n)f_n(x_n+1), puis que (x_n)_n3 est décroissante.

je bloque sur cette question ,pourriez-vous m'aider ?

je vous remercie d'avance et vous souhaite un bon dimanche

[invitea83062ce]

Je me permet de faire un petit up car j'ai exactement le même problème pour prouver que (x_n)n>>3 est decroissante


Pour prouver que fn(xn)<<fn(xn+1) j'ai dit que fn(xn)=0 et fn(xn+1)=x(n+1)-nln(xn+1)=ln(xn+1) (car x(n+1)=(n+1)ln(xn+1) )et comme 1<xn<e ce resultat est positif donc que fn(xn)<<fn(xn+1)

Mais pour la suite des xn javoue n'avoir aucune idée

[invitea83062ce]

Petit double post, désolé je n'ai pas trouvé de fonction "éditer"
Je narrive toujours pas à prouver que la suite des xn(n>>3) est decroissante

Voila ce que je viens de trouver et cest le resultatt le plus proche de la réponse que j'ai trouvé (une inégalité entre une fonction de xn et la meme fonction de x(n+1) )

On a prouver :
- que pour tout n>>3 on a 1<<xn<<e
- fn+1[x]<<fn[x]
- fn[xn]<<fn[xn+1]
Rappel, xn est la plus petite solution de l'équation x=nlnx avec un n>>3
En combinant les deux dernieres inéquations j'obtiens

fn+1[xn]<<fn[xn+1]
xn-(n+1)ln(xn)<<x[n+1]-n*ln(x[n+1])

Et comme x[n]=nln([x]) et pas conséquent x[n+1]=(n+1)ln(x[n+1])

On a -ln(xn)<<ln(x[n+1])

Ce résultat est logique mais ne nous avance a rien, ma question est donc, dans quel sens faut-il chercher pour prouver que la suite des xn (n>>3) est decroissante