Polynômes

[invite6ac3a3cf]

Bonjour,
Je poste ce topic afin que l'on puisse m'aider pour cet excercice de math.
En effet voilà le sujet :

Soit P(X) un polynôme de K[X] avec deg P = 5 et K = R ou C.
1 ) Si K = R, P(X) peut-il avoir (on donnera un exemple ou un contre exemple selon la réponse)
a ) des racines de module tous différents.
b ) Une racine imaginaire et toutes les racines de module tous différents.
c ) Quatre racines réelles pures exactement.
2 ) Répondre aux même questions si K = C

Alors pour moi, pour la première question c'est la "C" car vu que c'est sur R il n'est pas possible de trouver des imaginaires et je ne suis pas sur de cela.De plus je n'arrive pas à trouver d'exemple pour justifier.

Je sais que ça se fait pas de laisser un exercice sur le forum et attendre.Mais j'ai cherché en vain.

Merci pour votre aide.
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,
Je poste ce topic afin que l'on puisse m'aider pour cet excercice de math.
En effet voilà le sujet :

Soit P(X) un polynôme de K[X] avec deg P = 5 et K = R ou C.
1 ) Si K = R, P(X) peut-il avoir (on donnera un exemple ou un contre exemple selon la réponse)
a ) des racines de module tous différents.
b ) Une racine imaginaire et toutes les racines de module tous différents.
c ) Quatre racines réelles pures exactement.
2 ) Répondre aux même questions si K = C

Alors pour moi, pour la première question c'est la "C" car vu que c'est sur R il n'est pas possible de trouver des imaginaires et je ne suis pas sur de cela.De plus je n'arrive pas à trouver d'exemple pour justifier.

Je sais que ça se fait pas de laisser un exercice sur le forum et attendre.Mais j'ai cherché en vain.

Merci pour votre aide.

Il suffit de construire un polynôme d'après ses racines, ce qui n'est pas très difficile.

1a. Je veux des racines de module tous différents, je choisis 1,2,3,4 et 5 par exemple, et le polynôme (X-1)(X-2)(X-3)(X-4)(X-5) convient.

Idem pour les autres.

J'ai un problème pour le c qui admet deux lectures...

[invite6ac3a3cf]

WOW merci beaucoup!
J'avoue que j'avais pas raisonné comme ça.
Je te remercie beaucoup

[invite6ac3a3cf]

Salut,
J'abuse une dernière fois de ta gentillesses à propos d'un autre exercice.
Voilà l'énnoncé :
Donner la décomposition de F1(X) dans R[x].



Le (X-1) se simplifie avec celui d'en bas, mais après ce qui me gêne c'est le polynôme, comme c'est sur R[x] je ne sais pas si il faut que je le laisse comme ça ou s'il faut que je le mette avec des racines complexes. Si je le met en complexe, cela donne :


Donc en le décomposant ça devient :



Mais après pour B et C je les trouve avec des complexes, et même en reduisant au même dénominateur pour faire réaparaître il me reste toujours des complexes en numérateur!!
Ma méthode est-elle bonne et j'ai fait juste une erreur de calcul ou bien il faut faire autre chose??
Merci pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Salut,
J'abuse une dernière fois de ta gentillesses à propos d'un autre exercice.
Voilà l'énnoncé :
Donner la décomposition de F1(X) dans R[x].



Le (X-1) se simplifie avec celui d'en bas, mais après ce qui me gêne c'est le polynôme, comme c'est sur R[x] je ne sais pas si il faut que je le laisse comme ça ou s'il faut que je le mette avec des racines complexes. Si je le met en complexe, cela donne :


Donc en le décomposant ça devient :



Mais après pour B et C je les trouve avec des complexes, et même en reduisant au même dénominateur pour faire réaparaître il me reste toujours des complexes en numérateur!!
Ma méthode est-elle bonne et j'ai fait juste une erreur de calcul ou bien il faut faire autre chose??
Merci pour votre aide

Ta méthode est correcte, mais tu dois faire des erreurs de calculs.
Tes coefficients B et C doivent être deux complexes conjugués, et après réduction au même dénominateur, tu doit obtenir une forme

avec C et D réels.

[invite6ac3a3cf]

Merci pour ta réponse!
Je viens de faire les calculs et voilà ce que je trouve :
Pour B :

F(x)*(X-(1-3i)) pour X = 1-3i

Et je trouve B = (1/6) + (1/2)i

Donc pour C vu qeu c'est le conjugué C = (1/6) - (1/2)i

Mais après je réduit au même dénominateur mais y a toujorus des complexes

[invite57a1e779]

Merci pour ta réponse!
Je viens de faire les calculs et voilà ce que je trouve :
Pour B :

F(x)*(X-(1-3i)) pour X = 1-3i

Et je trouve B = (1/6) + (1/2)i

Donc pour C vu qeu c'est le conjugué C = (1/6) - (1/2)i

Mais après je réduit au même dénominateur mais y a toujorus des complexes

En rendant
au même dénominateur, le numérateur est

avec réel, et
réel.

[invite6ac3a3cf]

Merci infiniment!!!
Je viens de comprendre mon erreur, je ne faisais pas l'identification à la fin!Je croyais que ça allait me donner un résultat tout fait^^.
Encore merci et en plus c'est mon 100 messages héhéhé.

[invite6ac3a3cf]

Salut c'est encore moi!!!
Ce soir j'ai voulu refaire l'exo mais en restant dans les réelles i.e de décomposer l'équation comme cela :



Alors je fait les calculs etc... et je trouve que :
A = -(1/3)
et je trouve que BX+C = i + 3
Donc pour identifier les coefficients je fais :
pour X = 1-3i
et je trouve que ça vaut B(1-3i) + C.
Mon problème est bête, mais j'arrive pas à identifier
j'ai fait plusieurs combinaison mais ça tombe jamais juste, en cours on a fait que des exemples où la racine était purement imaginaire.

Donc voilà si tu passe par là God's Breath.
Ca serait vachement chouette que tu m'aides encore.
Mais c'est valable pour les autres aussi

Merci

[invitec053041c]

Au passage, la proposition c) de ta question initiale est fausse, car:
Si P polynôme réel de degré 5 admet 4 racines réelles a,b,c,d (distinctes ou pas) tu as:
P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)*Q(X)
avec Q polynôme réel de degré 1,un tel polynôme admet toujours une racine dans IR. (Q=aX+b,a non nul, racine -b/a)
Donc s'il a 4 racines réelles, il en a en fait 5.

(ce qui est faux avec 3 racines, car au-delà du degré 1, on ne peut pas conclure si vite quant aux racines de polynômes réels).


François

[invite6ac3a3cf]

Merci pour ton aide

[invite57a1e779]

Au passage, la proposition c) de ta question initiale est fausse, car:
Si P polynôme réel de degré 5 admet 4 racines réelles a,b,c,d (distinctes ou pas) tu as:
P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)*Q(X)
avec Q polynôme réel de degré 1,un tel polynôme admet toujours une racine dans IR. (Q=aX+b,a non nul, racine -b/a)
Donc s'il a 4 racines réelles, il en a en fait 5.

(ce qui est faux avec 3 racines, car au-delà du degré 1, on ne peut pas conclure si vite quant aux racines de polynômes réels).


François

Il y a effectivement un problème d'interprétation au niveau du c. Quelle est la signification du 4 :
– le seul cardinal de l'ensemble des racines, auquel cas le polynôme n'a bien que 4 racines réelles ;
– le nombre de racines comptées avec leur ordre de multiplicités. Auquel cas la différence entre ce nombre de racines et le degré du polynôme doit être pair, ce qui est impossible ici.

[invitec053041c]

Il y a effectivement un problème d'interprétation au niveau du c. Quelle est la signification du 4 :
– le seul cardinal de l'ensemble des racines, auquel cas le polynôme n'a bien que 4 racines réelles ;
– le nombre de racines comptées avec leur ordre de multiplicités. Auquel cas la différence entre ce nombre de racines et le degré du polynôme doit être pair, ce qui est impossible ici.

Il y a en effet ambiguité, mais je pense que le 4 correspond à la somme des multiplicités...à voir.

[invite6ac3a3cf]

Merci pour vos réponses.Je commence à mieux cerner le problème.
Par contre j'ai toujours un problème avec la décomposition en élément simple (cf plus haut j'ai laissé un post).
Merci

[invite57a1e779]

Salut c'est encore moi!!!
Ce soir j'ai voulu refaire l'exo mais en restant dans les réelles i.e de décomposer l'équation comme cela :



Alors je fait les calculs etc... et je trouve que :
A = -(1/3)
et je trouve que BX+C = i + 3
Donc pour identifier les coefficients je fais :
pour X = 1-3i
et je trouve que ça vaut B(1-3i) + C.
Mon problème est bête, mais j'arrive pas à identifier
j'ai fait plusieurs combinaison mais ça tombe jamais juste, en cours on a fait que des exemples où la racine était purement imaginaire.

Donc voilà si tu passe par là God's Breath.
Ca serait vachement chouette que tu m'aides encore.
Mais c'est valable pour les autres aussi

Merci

J'avoue ne pas comprendre la phrase : "je trouve que BX+C = i + 3".

[invite6ac3a3cf]

Je fais :

BX+C = (3X-6) / (X-1) et je remplace X par 1+3i (une racine de X^2-2x+10)
Par contre je me suis trompé, je trouve B(1+3i) + C et non pas B(1-3i) + C

Merci de prêter attention à mon problème.

[invite57a1e779]

Je fais :

BX+C = (3X-6) / (X-1) et je remplace X par 1+3i (une racine de X^2-2x+10)
Par contre je me suis trompé, je trouve B(1+3i) + C et non pas B(1-3i) + C

Merci de prêter attention à mon problème.

On reprend depuis le début :


Alors , on évalue en et l'on obtient , je suis d'accord.

Puis , on évalue en par exemple.

On obtient et, comme et sont réels, tu peux séparer les parties réelles et imaginaires, d'où :
et ; résultat des courses et , comme par l'autre méthode (heureusement d'ailleurs).

[invite6ac3a3cf]

Merci énormement de ta réponse.
Si je pouvais je te ferais la bise lol.
Je viens de tout comprendre. Je te remercie sincérement.
Merci pour tous ceux qui m'ont aidé.
Bonne nuit à tous ^^