Exercice équa fonctionnelle

[sandalk]

Bonsoir je bloque sur qqs questions de mon exo. Est ce que qqn pourrait m'aider s'il vous plait ?

voici mon énoncé :
Soit f: R+ -> R+ croissante telle que lim f(x+1)-f(x)=0
x->+infini

Soit n ds N\{0}.

1) Soit En ds ]0,1/n[. montrer qu'il existe Pn tel que : pr tt x >= Pn, f(x+1)<En+f(x).

2) On considère l'intervalle In=[Pn,Pn+1]. Montrer que f est bornée sur In et en déduire qu'il existe Mnds R+* tel que: pr tt x ds In, f(x)-x/n =< Mn

3) Montrer par récurrence que pour tout k ds N, f(x+k)-(x+k)/n =< Mn + k(En-1/n)

4) Montrer qu'il existe Kn ds N tel que pr tt entier k>=Kn, Mn+k(En-1/n)<0

5) en déduire que pour tout x ds In et pr tt k>=Kn, f(x+k)<(x+k)/n

6) en déduire que pour tt x ds [Pn+Kn,+infini[, f(x)/x<1/n

J'aurais besoin de votre aide pour montrer que f est bornée, pour la récurrence et pour la question 6)

Je vous remercie d'avance et vous souhaite une bonne soirée
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[invitec6007bc6]

Bonsoir,

1. f est bornée : d'après ce qui précède, f(Pn+1)<En+f(Pn) Donc on vient de montrer que f est majorée sur l'intervalle.
Or f est croissante, donc elle est minorée par f(Pn). Donc elle est bornée !

2. La récurrence se fait sur k et non sur n, tu l'auras surement vu ?
Initialisation : Pour k=0, le problème est évident.
Hérédité : supposons que f(x+k)-(x+k)/n <= Mn+k(En-1/n)
f(x+k+1)-(x+k+1)/n <= En+f(x+k)-(x+k+1)/n (question 1)
<= En+Mn+k(En-1/n)-1/n (hyp de récurrence)
<= Mn+(k+1)(En-1/n)
Ce qui prouve la propriété au rang (k+1). La récurrence est finie.

3. Pas si dure que ça... Je te laisse un peu chercher !

Bon courage.

[sandalk]

merci bcp, j'ai fini mon exo