Bonsoir je bloque sur qqs questions de mon exo. Est ce que qqn pourrait m'aider s'il vous plait ?
voici mon énoncé :
Soit f: R+ -> R+ croissante telle que lim f(x+1)-f(x)=0
x->+infini
Soit n ds N\{0}.
1) Soit En ds ]0,1/n[. montrer qu'il existe Pn tel que : pr tt x >= Pn, f(x+1)<En+f(x).
2) On considère l'intervalle In=[Pn,Pn+1]. Montrer que f est bornée sur In et en déduire qu'il existe Mnds R+* tel que: pr tt x ds In, f(x)-x/n =< Mn
3) Montrer par récurrence que pour tout k ds N, f(x+k)-(x+k)/n =< Mn + k(En-1/n)
4) Montrer qu'il existe Kn ds N tel que pr tt entier k>=Kn, Mn+k(En-1/n)<0
5) en déduire que pour tout x ds In et pr tt k>=Kn, f(x+k)<(x+k)/n
6) en déduire que pour tt x ds [Pn+Kn,+infini[, f(x)/x<1/n
J'aurais besoin de votre aide pour montrer que f est bornée, pour la récurrence et pour la question 6)
Je vous remercie d'avance et vous souhaite une bonne soirée
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