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Convergence de série (bis ! :D)



  1. #1
    MiMoiMolette

    Convergence de série (bis ! :D)


    ------

    Plop,

    L'énoncé :

    On doit étudier la convergence de la série de terme général

    Bah là...on ne voit pas trop comment commencer...Diviser par n² au numérateur et dénominateur ? Mais par quel terme majorer/minorer pour comparer les convergence/divergence ?


    Mici pour vos réponses ^^



    PS : aucune indication sur "a"

    -----
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  3. #2
    erff

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    J'ai un début :
    Pi*n²/(...) = Pi/2 - Pi/2*(a*n+1)/(2*n²+a*n+1)

    Donc cos(...)=sin[ Pi/2*(a*n+1)/(2*n²+a*n+1) ]

    - En prenant les équivalent (les termes de la série st de signe constant à partir d'un certain rang) on arrive à la conclusion...

    - converge si a=0
    - diverge autrement...


    Sauf erreur de ma part...

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Ton raisonnement est correct pour ; pour a<0 c'est plus délicat car ton hypothèse de signe constant de la suite n'est pas du tout évidente...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    erff

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Bonjour,

    Si a<0

    A partir d'un certain rang on peut avoir simultanément :

    2n²+an+1 > 0 (vu que ça tend vers +oo)
    et a*n+1 < 0 (vu que ca tend vers -oo)

    Du coup l'argument du sinus est négatif à partir d'un rang N0...

  6. #5
    Gwyddon

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Bonjour,

    Si a<0

    A partir d'un certain rang on peut avoir simultanément :

    2n²+an+1 > 0 (vu que ça tend vers +oo)
    et a*n+1 < 0 (vu que ca tend vers -oo)

    Du coup l'argument du sinus est négatif à partir d'un rang N0...
    Et alors ? Ça change quoi ?

    M'est avis que tu devrais revoir la tête de la fonction sinus
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Ton raisonnement est correct pour ; pour a<0 c'est plus délicat car ton hypothèse de signe constant de la suite n'est pas du tout évidente...
    J'ai dit "pas évidente", enfin pour moi

    Mais ça se trouve c'est bien de signe constant, en fait je suis en train de me poser la question métaphysique suivante : une suite, dont l'équivalent est de signe constant, est-elle de signe constant au voisinage de l'infini ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. Publicité
  10. #7
    MiMoiMolette



    [blabla]




    Ce qu'il y a dans le sinus tend indubitablement vers 0.

    Donc nous allons faire un développement limité à l'ordre 1 (les o(machin) ne seront pas écrits par souci de flemmite aiguë)



    Si a=0, nous pouvons conclure en affirmant que l'équivalent du sinus est équivalent à , terme général d'une série convergente.

    Si , l'équivalent obtenu du sinus, de signe CONSTANT ( ) est équivalent à , qui diverge.

    Le souci se pose au niveau de l'équivalent au sinus. On sait que pour a positif, le dénominateur est forcément supérieur à 2n². Donc ce qu'il y a dans le sinus est toujours , donc positif.
    Or, si a est négatif et assez grand, on ne peut pas conclure pour comparer le dénominateur à 2n²... Cas à étudier donc...


    Merci beaucoup à mon prof particulier et à erff pour ces réponses plus qu'instructives =)
    Dernière modification par Gwyddon ; 18/01/2008 à 10h01.
    - Je peux pas, j'ai cours
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    - Je suis le prof

  11. #8
    Bloud

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Euh... peut être aussi négatif que l'on veut, ça reste une constante. Par conséquent il existe un rang à partir duquel la suite est de signe constante. En effet il suffit de trouver à partir de quel rang :



    Or
    tend vers 0.

    Il existe donc un rang tel que l'inégalité est vérifiée quand
    .

    Donc ce qu'il y a dans le sinus reste "coincé" entre et à partir de et tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes.

    Cordialement.
    Dernière modification par Bloud ; 19/01/2008 à 14h08.
    I was born intelligent...education ruined me!

  12. #9
    Bloud

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    J'ai dit "pas évidente", enfin pour moi

    Mais ça se trouve c'est bien de signe constant, en fait je suis en train de me poser la question métaphysique suivante : une suite, dont l'équivalent est de signe constant, est-elle de signe constant au voisinage de l'infini ?
    Oui si on refuse d'étendre la notion d'équivalence à une suite stationnaire de premier terme nul.
    I was born intelligent...education ruined me!

  13. #10
    MiMoiMolette

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Mici pour ta réponse, mais je pense que je m'embrouille :/

    Si a est négatif, on déduit donc que ce qu'il y a dans le sinus est toujours négatif à partir d'un certain rang, voui ? Mais avant ce rang justement, n'y a-t-il pas un problème puisque le signe ne sera pas constant ?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  14. #11
    Gwyddon

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Mais avant ce rang justement, n'y a-t-il pas un problème puisque le signe ne sera pas constant ?
    On s'en fiche, ce qui compte c'est la constance du signe au voisinage de l'infini

    Pour t'en convaincre, réécris tes sommes partielles en deux parties : avant ce fameux rang, et après. Pour avant c'est une somme finie donc tu t'en moques, pour ce qui est après le rang en question tu as signe constant -> équivalents
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #12
    MiMoiMolette

    Re : Convergence de série (bis ! :D)

    Exact... je commence à tout confondre oO

    Donc si a < 0, on est dans le même cas que a > 0, terme équivalent à un facteur multiplié de 1/n et ça diverge...




    Mici à tous
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    - Je suis le prof

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