Plop,
Décidément, ce n'est pas notre sujet de prédilection...
Le problème actuel est que nous avons une démonstration qui ne s'accorde pas sur la correction...
Soient :
avec a > 0
La première question consiste à montrer que la série des Un est convergente (théorème des séries alternées -> CV pour tout a)
La deuxième question consiste à déterminer a tel que la série des Vn converge absolument. On trouve a > 1 (merci Riemann), comme dans la correction.
La sous-deuxième question consiste à déterminer a tel que la série des Vn converge, mais pas absolument.
Donc, on décide d'étudier Vn.
Après quelques calculs, on trouve :
(on s'est servis d'à peu près la même formule pour démontrer l'absolue convergence).
Donc Vn est équivalent en l'infini à, qui, d'après le théorème des séries alternées, converge si a > 0.
Donc Vn converge, mais pas absolument pour 0 < a < 1.
Et là, on ne voit pas notre erreur parce que dans la correction, ils ont autre chose :
Développement limité de Vn, puisque Un tend vers 0 à l'infini.
Avec Wn équivalent à
Pour l'absolue convergence, ils se sont servis de l'équivalence de |Vn| à |Un| à 1/n^a.
Soit.
Pour trouver le domaine de convergence & non-convergence absolue :
"Si a > 0, la série des Vn converge si et seulement si la série des Wn converge (ça, d'accord).
Comme Wn ~ 1/n^(4a), par comparaison, elle ne converge que si a > 1/4.
On comprend la correction, mais on ne comprend pas notre erreur![]()
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