Convergence d'une série (encore oO)

[invite1237a629]

Plop,

Décidément, ce n'est pas notre sujet de prédilection...

Le problème actuel est que nous avons une démonstration qui ne s'accorde pas sur la correction...

Soient :


avec a > 0

La première question consiste à montrer que la série des Un est convergente (théorème des séries alternées -> CV pour tout a)

La deuxième question consiste à déterminer a tel que la série des Vn converge absolument. On trouve a > 1 (merci Riemann), comme dans la correction.

La sous-deuxième question consiste à déterminer a tel que la série des Vn converge, mais pas absolument.

Donc, on décide d'étudier Vn.

Après quelques calculs, on trouve :



(on s'est servis d'à peu près la même formule pour démontrer l'absolue convergence).

Donc Vn est équivalent en l'infini à , qui, d'après le théorème des séries alternées, converge si a > 0.

Donc Vn converge, mais pas absolument pour 0 < a < 1.





Et là, on ne voit pas notre erreur parce que dans la correction, ils ont autre chose :

Développement limité de Vn, puisque Un tend vers 0 à l'infini.


Avec Wn équivalent à
Pour l'absolue convergence, ils se sont servis de l'équivalence de |Vn| à |Un| à 1/n^a.

Soit.

Pour trouver le domaine de convergence & non-convergence absolue :
"Si a > 0, la série des Vn converge si et seulement si la série des Wn converge (ça, d'accord).
Comme Wn ~ 1/n^(4a), par comparaison, elle ne converge que si a > 1/4.


On comprend la correction, mais on ne comprend pas notre erreur
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[Flyingsquirrel]

Salut,

L'équivalent de Vn est à signe non constant

[invitec053041c]

Bonjour.

L'erreur est ici:

Donc Vn est équivalent en l'infini à , qui, d'après le théorème des séries alternées, converge si a > 0.

Le théorème des équivalents ne s'applique que pour des séries dont on maîtrise le signe à partir d'un certain rang (ce que j'appelle séries positives, même si elles sont négatives ).

EDIT: grillé

[invite35452583]

Donc Vn est équivalent en l'infini à , qui, d'après le théorème des séries alternées, converge si a > 0.

Donc Vn converge, mais pas absolument pour 0 < a < 1.

Pour appliquer ce théorème il ne faut pas étudier la décroissance de la valeur absolue d'un équivalent mais de la suite elle-même. Vérifie toi-même que lVnl ne décroît pas.

EDIT : grillé quoique je l'ai dit autrement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Je vois que l'on ne retient pas ce que je dis, je suis déçu

[invite1237a629]

Complètement zappé

Merci Flyingsquirrel, Ledescat et homotopie, désolée pour mon guidon




Ah si, une autre question : comment montrer que est convergente ? =P (de 1 à l'infini, on sait, mais de 0 à 1... ?)

[Gwyddon]

Hello,

Pour moi ton intégrale n'existe pas

Elle ne converge pas au voisinage de zéro..

[God's Breath]

Complètement zappé

Merci Flyingsquirrel, Ledescat et homotopie, désolée pour mon guidon




Ah si, une autre question : comment montrer que est convergente ? =P (de 1 à l'infini, on sait, mais de 0 à 1... ?)

Sur , n'est pas intégrable : qui n'a tend vers l'infini lorsque tend vers 0.

[invite1237a629]

Merci à tous...

[invite1237a629]

Autre question !

Pour l'histoire de Vn, est-ce qu'on ne peut pas utiliser le théorème des séries alternées ?

Vn = (-1)^n Zn



Zn doit être décroissante et tendre vers 0. Et ceci est valable si a > 0, non ?

Et qu'en est-il si on arrive à majorer Zn ?

(oui, j'suis têtue ~)

[God's Breath]

Autre question !

Pour l'histoire de Vn, est-ce qu'on ne peut pas utiliser le théorème des séries alternées ?

Vn = (-1)^n Zn



Zn doit être décroissante et tendre vers 0. Et ceci est valable si a > 0, non ?

Et qu'en est-il si on arrive à majorer Zn ?

(oui, j'suis têtue ~)

Non !!!

La suite de terme général n'est pas décroissante pour toute valeur de !!!

Pour étudier ces séries alternées, il faut faire un DL.

Cmme est de limite nulle, on a :


Soit , avec .

Comme la série de terme général converge, la série de terme général converge si, et seulement si, la série de terme général converge, soit ou encore .

Je reviens sur ma remarque initiale : lorsque , la série de terme général diverge, donc la suite de terme général n'est pas décroissante, bien que de limite nulle.

Moi aussi, je suis têtu !!!

[invite1237a629]

J'suis têtue, mais je ne voulais énerver personne j'étudiais juste toutes les pistes possibles ^^

Pour la majoration c'est ben raté, et pour montrer qu'elle est décroissante, c'était juste une idée comme ça, si un jour on est confrontés à ce genre de machin ~

Voui, le coup du DL, c'est ce qu'il y avait dans la correction, et c'est vrai que ça apparaissait plus juste comme résultat.

Allez, je ne vous dérange plus (sur ce problème), merci !

[God's Breath]

J'suis têtue, mais je ne voulais énerver personne j'étudiais juste toutes les pistes possibles ^^

Pour la majoration c'est ben raté, et pour montrer qu'elle est décroissante, c'était juste une idée comme ça, si un jour on est confrontés à ce genre de machin ~

Voui, le coup du DL, c'est ce qu'il y avait dans la correction, et c'est vrai que ça apparaissait plus juste comme résultat.

Allez, je ne vous dérange plus (sur ce problème), merci !

Tu ne m'énerves pas. Il faut simplement te mettre dans la tête que dans ce genre de situation, faire un DL est, dans la très très grande majorité des situations, la seule solution envisageable.

De plus, même quand la série alternée converge, il n'est pas du tout évident que la suite soit décroissante.
Le théorème des séries alternées n'admet hélas pas de réciproque.

[invite1237a629]

Eh bien en fait, je pense n'avoir vu les DL de ce genre que deux fois en 4 mois (si je me souviens bien :P), c'est comme pour le coup de l'équivalent, ce n'est pas encore un réflexe acquis.

Certes, je suis entièrement d'accord pour la décroissance de Zn, mon but n'était pas de l'affirmer, mais de le montrer, bien que je n'aie pas su par où commencer.
Si je puis me permettre une dernière question : pourquoi parler de réciproque ? On veut justement montrer que la série de terme général Vn est convergente, donc on n'utilise pas cette hypothèse pour dire que Zn est décroissante. Ou bien (ce qui me semble plus probable, mais je préfère être sûre) était-ce dans le cas où, après avoir montré que Vn converge pour a > 1/4, on ne peut toujours rien dire sur la décroissance de Zn ?


Merci beaucoup en tout cas, comme toujours, on trouve solution avec toi et les autres

[God's Breath]

Ou bien (ce qui me semble plus probable, mais je préfère être sûre) était-ce dans le cas où, après avoir montré que Vn converge pour a > 1/4, on ne peut toujours rien dire sur la décroissance de Zn ?

C'était effectivemen ce que j'envisageais.