Dérivée

invite769a1844 · 18/01/2008, 00h48

Bonsoir, j'ai un souci avec cette question:

Soit $\text{[math]}$ une fonction de classe $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) définie sur un intervalle ouvert $\text{[math]}$ . On suppose qu'il existe un point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

(1) Montrer qu'il existe un intervalle ouvert $\text{[math]}$ contenu dans $\text{[math]}$ et contenant $\text{[math]}$ , sur lequel $\text{[math]}$ n s'annule pas.

(2) En déduire que $\text{[math]}$ induit une bijection de $\text{[math]}$ sur un intervalle ouvert non vide, et que la bijection réciproque est de classe $\text{[math]}$ .

Pour le (1) c'est ok, mais en revanche dans le (2), je ne vois pas comment montrer que la bijection réciproque est de classe $\text{[math]}$ .

Merci pour vos indications.

**invited5b2473a** · 18/01/2008, 08h30

Envoyé par rhomuald

Bonsoir, j'ai un souci avec cette question:

Soit $\text{[math]}$ une fonction de classe $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) définie sur un intervalle ouvert $\text{[math]}$ . On suppose qu'il existe un point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

(1) Montrer qu'il existe un intervalle ouvert $\text{[math]}$ contenu dans $\text{[math]}$ et contenant $\text{[math]}$ , sur lequel $\text{[math]}$ n s'annule pas.

(2) En déduire que $\text{[math]}$ induit une bijection de $\text{[math]}$ sur un intervalle ouvert non vide, et que la bijection réciproque est de classe $\text{[math]}$ .

Pour le (1) c'est ok, mais en revanche dans le (2), je ne vois pas comment montrer que la bijection réciproque est de classe $\text{[math]}$ .

Merci pour vos indications.

2) Sur J, f' ne s'annule pas donc f est strictement monotone et continue donc f induit une bijection entre J et f(J). Enfin pour montrer que f-1 est Ck, tu pars de f(-1)°f= Id et tu dérives.

invite769a1844 · 18/01/2008, 12h10

Envoyé par indian58

2) Sur J, f' ne s'annule pas donc f est strictement monotone et continue donc f induit une bijection entre J et f(J). Enfin pour montrer que f-1 est Ck, tu pars de f(-1)°f= Id et tu dérives.

Merci pour ta réponse, mais je ne sais pas vraiment en fait.

En suivant ton conseil, donc je trouve:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , pour $\text{[math]}$ .

Mais je ne vois pas en quoi cela me dit que $\text{[math]}$ est continûment dérivable jusqu'à l'ordre $\text{[math]}$ ;

De mon côté j'ai tenté ce matin une récurrence, pour l'initialisation c'est ok vu que $\text{[math]}$ ne s'annule pas sur $\text{[math]}$ .

Après ça commence à poser problème pour l'hérédité, c'est à dire je suppose que la propriété est vrai jusqu'à l'entier $\text{[math]}$ .

On suppose que $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ et par hypothèse de récurrence $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ , là je ne vois pas comment en déduire que $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ .

**invite9c9b9968** · 18/01/2008, 13h25

Tes dérivations sont complètement fausses... Je ne pense pas que la dérivée de l'identité soit l'identité

Bon sinon pars plutôt de $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite769a1844 · 18/01/2008, 13h54

Envoyé par Gwyddon

Tes dérivations sont complètement fausses... Je ne pense pas que la dérivée de l'identité soit l'identité

Bon sinon pars plutôt de $\text{[math]}$

Oui c'est vrai j'ai fait n'importe quoi

.

Donc

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (ici je peux appliquer la formule de dérivation composée, vu que j'ai prouvé que $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ ).

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

Et là je rencontre toujours le même problème, je ne vois pas en quoi ces égalités me font avancer.

D'ailleurs je ne vois pas comment on peut montrer en général qu'une fonction est $\text{[math]}$ (à part si c'est l'exponentielle, le cosinus ou le sinus où la dérivée à l'ordre $\text{[math]}$ est facile à exprimer)

**invite9c9b9968** · 18/01/2008, 13h55

Tu t'es encore planté

invite769a1844 · 18/01/2008, 13h59

Envoyé par Gwyddon

Tu t'es encore planté

vi, je viens de corriger désolé, la fatigue peut être

**invite9c9b9968** · 18/01/2008, 14h00

Bon ok j'ai vu ta correction dans le message

Ensuite réfléchis ne serait-ce que pour montrer que f^-1 C1 : l'écriture que tu obtiens de (f^-1)' en fonction de f et f^-1 ne t'inspire pas un peu ?

invite769a1844 · 18/01/2008, 14h07

Envoyé par Gwyddon

Bon ok j'ai vu ta correction dans le message

Ensuite réfléchis ne serait-ce que pour montrer que f^-1 C1 : l'écriture que tu obtiens de (f^-1)' en fonction de f et f^-1 ne t'inspire pas un peu ?

ok, bon si $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ . Alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et de plus $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ est dérivable au point $\text{[math]}$ et

$\text{[math]}$

D'autre part, par hypothèse $\text{[math]}$ est continue et ne s'annule pas sur $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est continue et ne s'annule pas sur $\text{[math]}$ ,

et donc $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ .

Donc l'écriture $\text{[math]}$ devrait m'inspirer,

mais le problème c'est que là on a utilisé le fait que $\text{[math]}$ ne s'annule pas, mais rien ne me dit que $\text{[math]}$ ne s'annule pas, non?

[edit] oui pardon, en fait ici j'appelle $\text{[math]}$ la réciproque de $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$

**invite9c9b9968** · 18/01/2008, 14h26

Pourquoi ne pas continuer sur ta lancée, en regardant la dérivée seconde, puis troisième, etc... ?

invite769a1844 · 18/01/2008, 14h33

Envoyé par Gwyddon

Pourquoi ne pas continuer sur ta lancée, en regardant la dérivée seconde, puis troisième, etc... ?

J'y avais pensé, mais je ne peux plus suivre le même raisonnement étant donné que je ne sais pas si $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Je sais seulement que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

C'est ça qui me bloque en fait. Si j'arrive à montrer que $\text{[math]}$ a les mêmes conditions que $\text{[math]}$ , j'ai plus qu à faire la même chose que pour le cas $\text{[math]}$ , mais je ne vois pas comment les retrouver.

**invite9c9b9968** · 18/01/2008, 14h39

Je crois que tu ne maîtrises pas trop les formules de dérivation

En effet tu n'as besoin au dénominateur que de f'of^-1 ...

invite769a1844 · 18/01/2008, 14h46

Envoyé par Gwyddon

Je crois que tu ne maîtrises pas trop les formules de dérivation

En effet tu n'as besoin au dénominateur que de f'of^-1 ...

non les dérivées m'ont toujours traumatisé

, c'est pour ça que je fais appel à un gwydd _{(désolé c'était trop tentant)}

et oui je viens de me rendre compte, si je comprends bien, vu qu'on a $\text{[math]}$ ,

alors pour que g' soit continûment dérivable sur $\text{[math]}$ , il faut et il suffit que $\text{[math]}$ soit continûment dérivable et que $\text{[math]}$ ne s'annule pas sur $\text{[math]}$ c'est bien ça?

**invite9c9b9968** · 18/01/2008, 14h55

En effet, et comme lorsque tu vas continuer les dérivations successives, en vertu de la formule de dérivation des quotients de fonctions tu ne fais que changer la puissance du dénominateur, seule l'hypothèse de non annulation sur f' te suffit

c'est pour ça que je fais appel à un gwydd

A un guidon n'est-ce-pas ?

Tu n'es pas le seul sur le forum, j'ai même des gens trèèès proches de moi qui le font

invite769a1844 · 18/01/2008, 14h56

Envoyé par Gwyddon

En effet, et comme lorsque tu vas continuer les dérivations successives, en vertu de la formule de dérivation des quotients de fonctions tu ne fais que changer la puissance du dénominateur, seule l'hypothèse de non annulation sur f' te suffit

D'accord, je commence à saisir, je vais essayer de rédiger ça en allant au boulot, merci Gwyddon.

invite769a1844 · 18/01/2008, 21h03

Envoyé par Gwyddon

En effet, et comme lorsque tu vas continuer les dérivations successives, en vertu de la formule de dérivation des quotients de fonctions tu ne fais que changer la puissance du dénominateur, seule l'hypothèse de non annulation sur f' te suffit

A un guidon n'est-ce-pas ?

Tu n'es pas le seul sur le forum, j'ai même des gens trèèès proches de moi qui le font

Non à un guide simplement

invite769a1844 · 18/01/2008, 21h13

Bon pour la formalisation de tout ça, ça n'a pas l'air si simple.

Donc je trouve:

$\text{[math]}$ ,

donc $\text{[math]}$ est continue et dérivable,

$\text{[math]}$ ,

donc $\text{[math]}$ est continue et dérivable,

mais je ne vois pas comment trouver une formule donnant $\text{[math]}$ quelque soit l'entier $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 18/01/2008, 22h17

Bon en fait c'est bon, merci.

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