Famille libre et comportement à l'infini

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème sur la justification de la liberté de la famille de vecteurs .

En considérant l'équation , on obtient en faisant tendre x vers plus l'infini.

Ainsi, l'équation devient, pour tout x, .

En continuant le même raisonnement, on trouve que les trois constantes sont nulles, et que la famille doit être libre.

Mais c'est cette généralisation qui me trouble, car la nullité de la constante n'a été trouvée que pour x tendant vers l'infini, et non pour tout x.

J'aimerais donc comprendre dans quelle mesure nous sommes en droit d'effectuer cette généralisation.

Quelq'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
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[invitebb921944]

Mais c'est cette généralisation qui me trouble, car la nullité de la constante n'a été trouvée que pour x tendant vers l'infini, et non pour tout x.

J'aimerais donc comprendre dans quelle mesure nous sommes en droit d'effectuer cette généralisation.

Une constante ne dépend par définition pas de ta variable, c'est-à-dire x.
Donc si tu trouves la valeur de ta constante pour un x quelconque, alors tu as la valeur de ta constante pour tous les x.

En revanche, je ne vois pas du tout pourquoi de "x tend vers +l'infini" on peut déduire "lambda3=0".

[Flyingsquirrel]

Salut,

Les sont des constantes : elles ne dépendent pas de x. Si tu as une condition sur la valeur de en , la valeur de sera forcément fixée pour tout x pour que la condition en puisse être vérifiée.

EDIT:
@Ganash : la limite est imposée par le terme de plus haut degré.

[invitebb921944]

Perso j'aurai posé x=0, ce qui m'aurait donné une première équation, puis j'aurai dérivé ton égalité, posé à nouveau x =0, puis je l'aurai fait encore une fois. C qui m'aurait donné un joli système à résoudre !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Ok je vois pour la limite merci

[invite21126052]

par ailleurs, garde bien en tête que tu écris une égalité de fonctions: la fonction qui à x associe ta somme d'exponentielles est égale à la fonction nulle. en particulier, elles ont même comportement en tout point. (l'espace vectoriel est par exemple l'espace des fonctions continues sur R).

En revanche, je ne vois pas du tout pourquoi de "x tend vers +l'infini" on peut déduire "lambda3=0".

on multiplie par exemple par e^(-3x): . la fonction de gauche tend , celle de droite vers 0...

[God's Breath]

Perso j'aurai posé x=0, ce qui m'aurait donné une première équation, puis j'aurai dérivé ton égalité, posé à nouveau x =0, puis je l'aurai fait encore une fois. C qui m'aurait donné un joli système à résoudre !

Ah, si Vandermonde n'avait pas existé...

On peut aussi procéder par récurrence :

Si , alors , donc ; il reste donc : les fonctionx et sont linéairement indépendantes.

Si , alors , donc, avec ce qui précède, ; il reste donc : les fonctionx , et sont linéairement indépendantes.

[Seirios]

D'accord, merci à tous pour vos réponses

[ericcc]

Je vous propose une autre méthode, qui évite Vandermonde :
Posons X=e^x
On cherche trois constantes a,b,c telles que aX+bX²+cX³=0 pour tout X positif. Comme un polynôme ne peut avoir qu'un nombre fini de racines, on peut conclure que a,b,c = 0

[invite427a2582]

En considérant l'équation , on obtient en faisant tendre x vers plus l'infini.

En faisant tendre x vers -00 tu obtiens 0 = 0

En factorisant par on obtient en faisant tendre vers
On réitère le procédé pour trouver