Focnction polaire dont le laplacian est un dirac?

[invite963647d9]

Bonjour!
j'aimerais trouver la fonction f(r) telle que son laplacien est égal à un dirac

qualqu'un peut m'aider svp sachant que le placien est polaire et le dirac l'est aussi, ie y a pas de coordonnée z
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Tu sais exprimer le laplacien en coordonnées polaires ?

Je pense que ça te serait bien utile.
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rvz

[inviteb37f57bd]

Bonjour,

Ce que vous cherchez c'est la résolution de l'équation de Green.
Je peux vous donner la solution dans le domaine tridimensionnel pour l'équation suivante :


Elle admet la solution :


On remarque que G est indifférent par translation, ce qui fait que
J'attire également l'attention sur le fait que

Le déroulement de la résolution n'est pas si évident, c'est un calcul de trois pages que je vous invite à voir sur des références connues. Par exemple : le cours de M. Guy Bonnet de l'UMLV

Cordialement,
Yacin

[DarK MaLaK]

Bonjour,

La seule fonction que j'ai vue qui respecte cette équation est :

En utilisant une intégrale et une intégration par parties, on peut montrer l'égalité au sens des distributions mais je ne saurais pas retrouver le résultat en partant d'une fonction inconnue f(r).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb37f57bd]

Bonjour,

est solution de l'équation
est solution de l'équation

C'est une équation linéaire de toute manière

Pour la démonstration, il suffit d'intégrer celle là sur une sphère de rayon R centrée autour du point

Voilà les étapes principales :



on se rappelle que
on se rappelle ici que puis on applique le théorème de la divergence.

Il suffit maintenant d'écrire l'expression du gradient de f dans un repère sphérique et faire le petit calcul :

Et vient finalement l'expression voulue :

Ce qui est difficile en fait, c'est la supposition qu'on s'est posée en considérant f une fonction uniquement de r et pas des angles.

Amicalement,
Yacin