Dérivée

[invite769a1844]

Bonjour,

Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert . Soit un point de .

(1) On suppose que et que est de classe (). Montrer qu'il existe une (unique) fonction continue telle que pour tout . Montrer que g est de classe .

(2) On suppose maintenant que est de classe et que est "nulle à l'ordre " au point , ie que:

.

Montrer qu'il existe une fonction de classe telle que pour tout .

(3) On suppose maintenant que f est nulle exactement à l'ordre p au point a, ie que

et .

Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert J contenu dans I et contenant a, un intervalle K de \mathbb{R} contenant 0, et une bijection \varphi:J\rightarrow K de classe te d'inverse également , tels que:

où si p est pair, et si est impair.

Pour la (3), je ne vois pas vraiment comment faire.

Merci pour vos indications.
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[invite769a1844]

la question 3: avec les balises latex :

(3) On suppose maintenant que f est nulle exactement à l'ordre p au point a, ie que

et .

Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert contenu dans et contenant , un intervalle de contenant 0, et une bijection de classe et d'inverse également , tels que:

où si p est pair, et si est impair.

[edpiste]

Il suffit de résoudre l'équation pour phi et de vérifier que la fonction ainsi obtenue est une bijection au voisinage de a...

[invite769a1844]

Bonjour,

je reprends cet exo que j'ai laissé de côté, donc en suivant l'indication d'edpiste je pose:



Je ne vois pas comment montrer que est une bijection de classe au voisinage de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Je pense avoir un peu plus avancé depuis hier,

d'après (2) il existe une fonction de classe tel que

.

Donc on doit avoir



Si est bien définie elle est bien de classe (car composition de fonctions de classe ) et on peut déduire le reste de la question par le théorème d'inversion locale, car .

Il reste donc à trouver un voisinage de sur lequel est bien définie, ie sur lequel est de signe constant et c'est là que je bloque.

[God's Breath]

Bonjour,

Il reste donc à trouver un voisinage de sur lequel est bien définie, ie sur lequel est de signe constant et c'est là que je bloque.

Combien vaut ?

[invite769a1844]

Bonjour,


Combien vaut ?

Bonjour GB,

oui effectivement j'avais oublié que j'avais trouvé à la question 2 avec la formule de Taylor avec reste intégral qu'on avait en particulier comme solution
.

En prenant cette fonction , on a
.

étant continue, on peut trouver un voisinage de auquel est de signe constant.

Merci.

[invite769a1844]

Maintenant il s'agit de reprendre l'exo en supposant que est à valeurs dans , et voir ce qui change.

Donc pour la (1) et la (2) je retrouve les mêmes résultats en passant par les composantes et en utilisant (1) et (2) du cas où est à valeurs réelles précédemment montré,
le seul changement est que est à valeurs dans .

En revanche pour la (3) j'ai l'impression qu'il y a pas mal de choses qui change.
Voilà ce que je trouve

On suppose maintenant que est nulle exactement à l'ordre au point , ie que

et

D'après le cas réel (3) montré avant, pour tout il existe un intervalle ouvert et contenant , un intervalle de contenant 0, et une bijection de classe et d'inverse également tel que

où si est pair, et si est impair.

est donc une bijection de sur de classe mais là je ne sais pas si son inverse est également ?

[God's Breath]

Bonsoir rhomuald,

Tu fais du calcul diff sur les variétés ?

[invite769a1844]

Bonsoir GB, non je me lance tout court dans le calcul diff, je ne sais pas ce que c'est qu'une variété

[God's Breath]

Bonsoir GB, non je me lance tout court dans le calcul diff, je ne sais pas ce que c'est qu'une variété

Je m'en doutais...

Ton application est définie sur un intervalle de , à valeurs dans , de classe . Il me semble que n'est pas ouvert dans , mieux, qu'il est d'intérieur vide.
Comment définis-tu alors le caractère de définie sur ?

[invite769a1844]

Je m'en doutais...

Ton application est définie sur un intervalle de , à valeurs dans , de classe . Il me semble que n'est pas ouvert dans , mieux, qu'il est d'intérieur vide.
Comment définis-tu alors le caractère de définie sur ?

Si est d'intérieur vide, oui ça va être difficile de définir une dérivée de quelque chose dessus. Mais comment vois-tu que n'est pas ouvert et d'intérieur vide?

[God's Breath]

Heuristiquement, est d'intérieur vide, parce que c'est le support d'un arc de classe , donc "sans épaisseur".

Techniquement. Soit un point intérieur à , intérieur relativement à , pas relativement à !!!) et .
Il existe une boule ouverte de centre , de rayon non nul, contenue dans .

On peut affirmer que
– est ouvert dans , en tant qu'image réciproque de l'ouvert par une application continue ;
– est connexe en tant qu'image directe du connexe (car convexe) par l'application continue .
Donc est un sous-intervalle ouvert de contenant .

Mézalor est non connexe, et image directe du connexe (par arcs) par l'application continue .
Cette contradiction montre que l'existence d'un point intérieur à est impossible.

[invite769a1844]

je vois, en fait il fallait réfléchir avec des arguments de connexité.

Merci