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Action par conjugaison & groupe symétrique



  1. #1
    rhomuald

    Action par conjugaison & groupe symétrique


    ------

    Bonsoir, j'ai un peu de mal à comprendre l'énoncé de cet exercice:

    (1) Deux cycles sont conjuguées dans si et seulement si ils ont même longueur.

    (2) Deux permutations sont conjuguées dans si et seulement si elles ont même type.



    pour la (1), voilà ce que j'ai fait:

    ==> :

    On suppose donc qu'on a deux cycles , conjuguées dans ,

    ie il existe tel que .

    Or ,

    donc , d'où .



    <== :


    On suppose donc qu'on a deux cycles , , dans .


    On pose pour tout , et laisse fixe les autres points de . Ainsi construite, est une permutation de ,

    et on a alors


    Après pour la (2), je ne sais pas ce que ça veut dire que le "type" d'une permutation :?

    Merci pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    ThSQ

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    "type" d'une permutation
    C'est les longueurs des cycles dans la décomposition en cycles disjoints (unique à l'ordre près)

  4. #3
    rhomuald

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    C'est les longueurs des cycles dans la décomposition en cycles disjoints (unique à l'ordre près)
    salut ThSQ,

    si je comprends bien, on me demande donc de montrer que deux permutations et sont conjuguées si et seulement si pour tout entier , il y a autant de cycles de longueur dans la décomposition en cycles à supports disjoints de que dans la décomposition de , c'est bien ça?

  5. #4
    homotopie

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    On suppose donc qu'on a deux cycles , , dans .


    On pose pour tout , et laisse fixe les autres points de . Ainsi construite, est une permutation de ,
    Contre-exemple (x1,x2)=(1,2) (y1,y2)=(1,3) par ta construction a(2)=a(3)=3 donc alpha est non injective. Tu ne peux donc pas te contenter de dire que sur les autres éléments tu laisses invariant. L'erreur n'est pas très difficile à corriger.
    Une fois corrigé tu verras que cela se généralise facilement à deux permutations de même type.

  6. #5
    rhomuald

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Contre-exemple (x1,x2)=(1,2) (y1,y2)=(1,3) par ta construction a(2)=a(3)=3 donc alpha est non injective. Tu ne peux donc pas te contenter de dire que sur les autres éléments tu laisses invariant. L'erreur n'est pas très difficile à corriger.
    Une fois corrigé tu verras que cela se généralise facilement à deux permutations de même type.
    ok, je suis allé un peu vite

    Donc je construit l'application de cette façon:

    si ,

    si :

    si , ,

    si , .

    Bon, il reste à montrer que est bijective, il suffit pour cela de montrer que est surjective.

    Soit .

    Si , ie , on a , on a .

    Si et si , ie , là j'ai envie de dire que mais je ne vois pas comment le prouver

    Si , on a .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rhomuald

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Bon je crois que j'ai trouvé un moyen de prouver la bijectivité de .

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  10. #7
    rhomuald

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Pour la (2), je ne vois pas comment procéder pour l'implication indirecte:

    Soient , deux permutations de même type, ie qu'elles admettent respectivement comme décomposition en cycles à supports disjoints:





    avec quelque soit .

    D'après (1), pour tout , et sont conjuguées dans .

    Donc il existe tel que .

    Par conséquent .

    Et là je ne vois pas comment négocier la suite. :?

  11. #8
    homotopie

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    ok, je suis allé un peu vite

    Donc je construit l'application de cette façon:

    si ,

    si :

    si , ,

    si , .

    Bon, il reste à montrer que est bijective, il suffit pour cela de montrer que est surjective.
    Ca m'étonnerait que tu y arrives
    Contre-exemple : pour n=3, (x1, x2)=(1,2) ((y1, y2)=(2,3), on a en appliquant a(1)=2 a(2)=3 a(3)=2.

    Tu te compliques la vie tu sais en voulant la définir de manière aussi précise.
    Tu envoies les xi sur les yi pour avoir axa-1=y, Ok mais ceci est suffisant il suffit de montrer que l'on peut compléter a en une bijection. Tu dois donc envoyer {1,...,n}\{xi} sur {1,...,n}\{yi} et ceci sans aucune contrainte autre que de faire une bijection, pour cela il n'y a donc qu'un argument à mettre en avant.

    Pour la 2) tu te compliques la vie en prenant des ai définis sur tout {1,...,n} alors que tu veux simplement envoyer les éléments de ci sur ceux de di et que ceci suffit : si tu as une bijection de {1,...,n} qui envoie les éléments de ci sur ceux de di (dans le bon ordre évidemment) alors acia-1=di quoi que fasse a sur les autres éléments.
    Si a vérifie ceci pour tout i alors .
    Il y a donc tout intérêt à construire a "par morceaux".

  12. #9
    rhomuald

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Ca m'étonnerait que tu y arrives
    Contre-exemple : pour n=3, (x1, x2)=(1,2) ((y1, y2)=(2,3), on a en appliquant a(1)=2 a(2)=3 a(3)=2.

    Tu te compliques la vie tu sais en voulant la définir de manière aussi précise.
    Tu envoies les xi sur les yi pour avoir axa-1=y, Ok mais ceci est suffisant il suffit de montrer que l'on peut compléter a en une bijection. Tu dois donc envoyer {1,...,n}\{xi} sur {1,...,n}\{yi} et ceci sans aucune contrainte autre que de faire une bijection, pour cela il n'y a donc qu'un argument à mettre en avant.

    Pour la 2) tu te compliques la vie en prenant des ai définis sur tout {1,...,n} alors que tu veux simplement envoyer les éléments de ci sur ceux de di et que ceci suffit : si tu as une bijection de {1,...,n} qui envoie les éléments de ci sur ceux de di (dans le bon ordre évidemment) alors acia-1=di quoi que fasse a sur les autres éléments.
    Si a vérifie ceci pour tout i alors .
    Il y a donc tout intérêt à construire a "par morceaux".

    lol que c** je suis. C'est vrai que j'ai fait un schéma et je me suis dit que ça marcherait, je le prouverai plus tard. Merci je pense que tu m'as épargné de longues heures à essayer de prouver n'importe quoi

  13. #10
    rhomuald

    Re : Action par conjugaison & groupe symétrique

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Tu te compliques la vie tu sais en voulant la définir de manière aussi précise.
    Tu envoies les xi sur les yi pour avoir axa-1=y, Ok mais ceci est suffisant il suffit de montrer que l'on peut compléter a en une bijection. Tu dois donc envoyer {1,...,n}\{xi} sur {1,...,n}\{yi} et ceci sans aucune contrainte autre que de faire une bijection, pour cela il n'y a donc qu'un argument à mettre en avant.
    Ah oui d'accord, je viens de comprendre l'argument à mettre en avant, je devais vraiment être fatigué

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