Action par conjugaison & groupe symétrique

[invite769a1844]

Bonsoir, j'ai un peu de mal à comprendre l'énoncé de cet exercice:

(1) Deux cycles sont conjuguées dans si et seulement si ils ont même longueur.

(2) Deux permutations sont conjuguées dans si et seulement si elles ont même type.



pour la (1), voilà ce que j'ai fait:

==> :

On suppose donc qu'on a deux cycles , conjuguées dans ,

ie il existe tel que .

Or ,

donc , d'où .



<== :


On suppose donc qu'on a deux cycles , , dans .


On pose pour tout , et laisse fixe les autres points de . Ainsi construite, est une permutation de ,

et on a alors


Après pour la (2), je ne sais pas ce que ça veut dire que le "type" d'une permutation :?

Merci pour votre aide.
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[invite2c3ff3cc]

"type" d'une permutation

C'est les longueurs des cycles dans la décomposition en cycles disjoints (unique à l'ordre près)

[invite769a1844]

C'est les longueurs des cycles dans la décomposition en cycles disjoints (unique à l'ordre près)

salut ThSQ,

si je comprends bien, on me demande donc de montrer que deux permutations et sont conjuguées si et seulement si pour tout entier , il y a autant de cycles de longueur dans la décomposition en cycles à supports disjoints de que dans la décomposition de , c'est bien ça?

[invite35452583]

On suppose donc qu'on a deux cycles , , dans .


On pose pour tout , et laisse fixe les autres points de . Ainsi construite, est une permutation de ,

Contre-exemple (x1,x2)=(1,2) (y1,y2)=(1,3) par ta construction a(2)=a(3)=3 donc alpha est non injective. Tu ne peux donc pas te contenter de dire que sur les autres éléments tu laisses invariant. L'erreur n'est pas très difficile à corriger.
Une fois corrigé tu verras que cela se généralise facilement à deux permutations de même type.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Contre-exemple (x1,x2)=(1,2) (y1,y2)=(1,3) par ta construction a(2)=a(3)=3 donc alpha est non injective. Tu ne peux donc pas te contenter de dire que sur les autres éléments tu laisses invariant. L'erreur n'est pas très difficile à corriger.
Une fois corrigé tu verras que cela se généralise facilement à deux permutations de même type.

ok, je suis allé un peu vite

Donc je construit l'application de cette façon:

si ,

si :

si , ,

si , .

Bon, il reste à montrer que est bijective, il suffit pour cela de montrer que est surjective.

Soit .

Si , ie , on a , on a .

Si et si , ie , là j'ai envie de dire que mais je ne vois pas comment le prouver

Si , on a .

[invite769a1844]

Bon je crois que j'ai trouvé un moyen de prouver la bijectivité de .

[invite769a1844]

Pour la (2), je ne vois pas comment procéder pour l'implication indirecte:

Soient , deux permutations de même type, ie qu'elles admettent respectivement comme décomposition en cycles à supports disjoints:





avec quelque soit .

D'après (1), pour tout , et sont conjuguées dans .

Donc il existe tel que .

Par conséquent .

Et là je ne vois pas comment négocier la suite. :?

[invite35452583]

ok, je suis allé un peu vite

Donc je construit l'application de cette façon:

si ,

si :

si , ,

si , .

Bon, il reste à montrer que est bijective, il suffit pour cela de montrer que est surjective.

Ca m'étonnerait que tu y arrives
Contre-exemple : pour n=3, (x₁, x₂)=(1,2) ((y₁, y₂)=(2,3), on a en appliquant a(1)=2 a(2)=3 a(3)=2.

Tu te compliques la vie tu sais en voulant la définir de manière aussi précise.
Tu envoies les x_i sur les y_i pour avoir axa^-1=y, Ok mais ceci est suffisant il suffit de montrer que l'on peut compléter a en une bijection. Tu dois donc envoyer {1,...,n}\{x_i} sur {1,...,n}\{y_i} et ceci sans aucune contrainte autre que de faire une bijection, pour cela il n'y a donc qu'un argument à mettre en avant.

Pour la 2) tu te compliques la vie en prenant des a_i définis sur tout {1,...,n} alors que tu veux simplement envoyer les éléments de c_i sur ceux de d_i et que ceci suffit : si tu as une bijection de {1,...,n} qui envoie les éléments de c_i sur ceux de d_i (dans le bon ordre évidemment) alors ac_ia^-1=d_i quoi que fasse a sur les autres éléments.
Si a vérifie ceci pour tout i alors .
Il y a donc tout intérêt à construire a "par morceaux".

[invite769a1844]

Ca m'étonnerait que tu y arrives
Contre-exemple : pour n=3, (x₁, x₂)=(1,2) ((y₁, y₂)=(2,3), on a en appliquant a(1)=2 a(2)=3 a(3)=2.

Tu te compliques la vie tu sais en voulant la définir de manière aussi précise.
Tu envoies les x_i sur les y_i pour avoir axa^-1=y, Ok mais ceci est suffisant il suffit de montrer que l'on peut compléter a en une bijection. Tu dois donc envoyer {1,...,n}\{x_i} sur {1,...,n}\{y_i} et ceci sans aucune contrainte autre que de faire une bijection, pour cela il n'y a donc qu'un argument à mettre en avant.

Pour la 2) tu te compliques la vie en prenant des a_i définis sur tout {1,...,n} alors que tu veux simplement envoyer les éléments de c_i sur ceux de d_i et que ceci suffit : si tu as une bijection de {1,...,n} qui envoie les éléments de c_i sur ceux de d_i (dans le bon ordre évidemment) alors ac_ia^-1=d_i quoi que fasse a sur les autres éléments.
Si a vérifie ceci pour tout i alors .
Il y a donc tout intérêt à construire a "par morceaux".

lol que c** je suis. C'est vrai que j'ai fait un schéma et je me suis dit que ça marcherait, je le prouverai plus tard. Merci je pense que tu m'as épargné de longues heures à essayer de prouver n'importe quoi

[invite769a1844]

Tu te compliques la vie tu sais en voulant la définir de manière aussi précise.
Tu envoies les x_i sur les y_i pour avoir axa^-1=y, Ok mais ceci est suffisant il suffit de montrer que l'on peut compléter a en une bijection. Tu dois donc envoyer {1,...,n}\{x_i} sur {1,...,n}\{y_i} et ceci sans aucune contrainte autre que de faire une bijection, pour cela il n'y a donc qu'un argument à mettre en avant.

Ah oui d'accord, je viens de comprendre l'argument à mettre en avant, je devais vraiment être fatigué