Géométrie

[invite47f59165]

trois points X Y Z


trois points a b c

Reliez a a XYZ , b a XYZ ,C a XYZ sans qu'aucune ligne se croisent.

utilisations ttes geometrie,ttes surfaces. Cette proposition peut se comparer au theoreme de FERMAT ????????
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[invite986312212]

trois points X Y Z


trois points a b c

Reliez a a XYZ , b a XYZ ,C a XYZ sans qu'aucune ligne se croisent.

utilisations ttes geometrie,ttes surfaces. Cette proposition peut se comparer au theoreme de FERMAT ????????

on à droit à toute surface? alors je choisis le tore...

ça a plutôt à voir avec Kuratowski qu'avec Fermat.

[invite47f59165]

pouvez vous donner une demonstration . merci

[invite986312212]

pour une preuve que les trois maisons ne peuvent être reliées aux trois puits sans croisements sur le plan ou sur la sphère, le plus simple est de constater que ça violerait la formule d'Euler pour les graphes planaires. Pour une preuve que c'est possible sur le tore, il suffit de bricoler un peu pour voir qu'on y arrive "presque": i.e. avec un seul croisement. Il suffit de créer un petit pont pour supprimer le croisement. Mais la sphère avec un "pont" (une anse) c'est le tore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Il est possible de relier m sommets à n autres sans croisement sur une surface compacte S (à b bords) si et seulement si c(S)+b<=2-(m-2)(n-2)/2
c(S) est la caractéristique d'Euler-Poincaré, celle-ci pour un surface fabriquée avec s sommets a arêtes et f faces c(S)=f-a+s, exemple :
un triangle ou tout autre polygône comme a=s c(S)=1
cylindre avec aucun fond : 4 sommets A,B,C,D, deux arêtes (arrondies) reliant A et B, deux reliant C et D une reliant A et C, deux faces c(S)=1-5+4=0
sphère=+/- cube (c'est invariant par homéomorphisme) f-a+s=6-12+8=2
tore : on en a un avec f=9 a=18 s=9 c(S)=0
Pour une preuve et des explications supplémentaires sur cette caractéristique voir énigme des 3 maisons dans science ludique (tout le monde n'a pas la même définition de ludique )
Pour m=n=3, il faut que c(S)+b<=2-1/2=3/2 donc c(S)<=1. C'est donc faisable sur un ruban de Möebius, une bouteille de Klein, un tore, sur la surface de Boy...
Pour le plan (non compact) faire un graphe revient, en prenant un triangle assez grand le contenant en entier, à en tracer un sur un triangle de caractéristique=1 mais avec un bord donc c(S)+b=2, c'est impossible.

Par contre il y a bien peu de rapport avec le théorème de Fermat (ce problème relève plutôt d'un long "exo" pour un Bac 4/5 ayant étudié la théorie des surfaces ou la topologie algébrique).

[invite986312212]

bon, personne n'a tiqué lorsque j'ai évoqué la possibilité de démontrer l'impossibilité de résoudre le problème des trois maisons et des trois puits à l'aide de la formule d'Euler. Pourtant, ce n'est pas évident de définir les faces d'un graphe non planaire!!
en fait on procède par l'absurde. Si (c'est le nom savant du graphe en question) était planaire, alors il vérifierait la formule d'Euler: s-a+f=2. Mais ici le nombre de sommets s=6 et le nombre d'arêtes a=9. Donc le nombre de faces serait f=5. Or dans un graphe planaire sans sommet pendant (sommet pendant = sommet de degré 1), chaque arête délimite deux faces. Le nombre moyen d'arêtes par face serait alors 18/5 < 4, ce qui signifie que devrait avoir au moins une face triangulaire, or il n'en a pas. D'ailleurs les cycles d'un graphe biparti ont une longueur au moins égale à 4 et une face est un cycle.

[danyvio]

C'est très facile, mais il faut se placer dans espace à (au moins) 4 dimensions. Ce n'est pas gagné....
Dans les années 70, un quotidien de Paris avait offert une somme phénoménale au premier lecteur qui résoudrai le problème des 3 maisons + 3 services eau, gaz, électricité. Personne n'a gagné ...

[invite47f59165]

Bonjour
depuis lontemps j'essaie de trouver le (chemin) pour essayer pour harmoniser les 2 demonstrations ,car je pense que cette la bonne voie .tres longue peut-etre .continuons ensemble. la question du parisien )en 1970 je la connais .J'ai travaille dessus avec acharnement sans resultat .

[invite35452583]

C'est très facile, mais il faut se placer dans espace à (au moins) 4 dimensions. Ce n'est pas gagné....
Dans les années 70, un quotidien de Paris avait offert une somme phénoménale au premier lecteur qui résoudrai le problème des 3 maisons + 3 services eau, gaz, électricité. Personne n'a gagné ...

Pouvez vous toi ou armene préciser la question posée, SVP.

[danyvio]

Pouvez vous toi ou armene préciser la question posée, SVP.

Tout simple Il s'agissait de relier 3 maisons isolées à 3 services (eau gaz électricité) issus de bornes séparées sans que les canalisations ou fils, (tous situés en surface) se croisassent (j'aime beaucoup l'imparfait du subjonctif).

[invite35452583]

Tout simple Il s'agissait de relier 3 maisons isolées à 3 services (eau gaz électricité) issus de bornes séparées sans que les canalisations ou fils, (tous situés en surface) se croisassent (j'aime beaucoup l'imparfait du subjonctif).

Ca j'avais bien compris mais qu'appelez vous surface ? Si surface=variété alors le problème est entièrement résolu par le biais de l'homologie (en particulier la caractéristique d'Euler-Poincaré) et de la classification des surfaces (cf mon lien) par une généralisation de la méthode rappelée par Ambrosio pour montrer que c'est impossible dans un plan.
Et en gros, hormis le plan, le cylindre et la sphère et leurs apparentés, toutes les autres surfaces conviennent (pour 3-4 aussi d'ailleurs).

Si on accepte des irrégularités du type un demi-plan collé sur un plan selon une droite alors c'est trivialement possible.
Si on accepter des irrégularités du type le collage en un point aussi.
Si on n'accepte pas ce genre d'irrégularités alors c'est une surface du type habituel et on revient à ce que je viens de dire.

Voilà pourquoi ma demande de précision car tout ceci devait être connu largement avant 1970 donc je suppose qu'il doit y avoir une subtilité dans la question posée à l'époque.

[danyvio]

Le problème se posait sur notre bonne vieille Terre...

[invite986312212]

Bonjour
depuis lontemps j'essaie de trouver le (chemin) pour essayer pour harmoniser les 2 demonstrations (...)

quelles deux démonstrations? celle de l'impossibilité de trouver quatre entiers x,y,z,n, n>2 vérifiant x^n+y^n+z^n=0, et celle de l'impossibilité de relier 3 maisons à 3 puits sur la sphère sans croisements?

la seule démonstration connue du théorème de Fermat est très longue et très compliquée alors que la résolution du problème des maisons et des puits (ou services) est assez simple, donc ça me semble difficile d' "harmoniser" les démonstrations.

quant à savoir si la question de la planarité de K3,3 a un lien avec le théorème de Fermat, on ne peut pas l'exclure parce que toutes les parties des mathématiques sont connectées par des chemins plus ou moins mystérieux, mais ça serait une découverte extraordinaire.

[invite35452583]

Le problème se posait sur notre bonne vieille Terre...

La sphère usuelle ? Les chemins sont sans points doubles donc les chemins ne recouvrent pas la sphère, on retire ce point ce qui reste est homéomorphe au plan. Donc si c'est possible sur une sphère c'est possible dans le plan.
Si c'est possible sur le plan, alors comme l'union des chemins sont des compacts il existe un disque contenant tout le réseau en son intérieur. On colle un autre disque bord à bord avec ce cercle on obtient une sphère sur laquelle il y a un réseau.
Donc le problème sur la sphère est équivalent au problème sur le plan (je l'avais d'ailleurs déjà partiellement rappelé).
=> j'imagine très mal un magazine proposer une grosse récompense pour un problème de ce type en 1970.

Une boule ? c'est trivial que c'est possible.

Donc je ne vois toujours pas quel pouvait être l'énoncé lié au problème des trois maisons et des trois services qui n'aurait pas été trouvé malgré une forte récompense promise au gagnant. Je ne doute pas qu'il y ait bien eu un problème posé par le magazine mais je doute fortement que ce soit celui annoncé depuis le début.