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Matrice "diagonalisable par bloc"



  1. #1
    poulecaca

    Matrice "diagonalisable par bloc"


    ------

    Bonjours a tous,
    voila j'ai un exo d'algebre qui me pose probleme j'aimerai bien avoir vos lumières :
    enoncé :
    E un espace vectoriel euclidien et vérifiant à la fois et
    1) Montrer que
    2) Montrer que
    3) Montrer que u est inversible
    4) montrer que u est orthogonal
    5)Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs. Ces blocs étant tous égaux à

    En fait je coince a la question 5) je visualise un peux pourquoi elle peux s'ecrire comme ca mais je trouve pas de demo.
    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : matrice "diagonalisable par bloc"

    Citation Envoyé par poulecaca Voir le message
    Bonjours a tous,
    voila j'ai un exo d'algebre qui me pose probleme j'aimerai bien avoir vos lumières :
    enoncé :
    E un espace vectoriel euclidien et vérifiant à la fois et
    1) Montrer que
    2) Montrer que
    3) Montrer que u est inversible
    4) montrer que u est orthogonal
    5)Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs. Ces blocs étant tous égaux à

    En fait je coince a la question 5) je visualise un peux pourquoi elle peux s'ecrire comme ca mais je trouve pas de demo.
    Merci d'avance
    Puisque , alors et est antisymétrique.
    Tu en déduis que, pour tout unitaire, la famile est orthonormée.
    Tu constuis progressivement en une base orthonormée de en montrant que, chaque fois que tu rajoutes un vecteur à ceux que tu connais déjà, tu peux aussi rajouter .
    Ainsi ta base progresse de deux vecteurs à chaque étape.
    Tu obtiens finalement une base orthonormée de la forme , dans laquelle la matrice de a la forme voulue.

  3. #3
    poulecaca

    Re : Matrice "diagonalisable par bloc"

    Ok je vois, merci beacoup god breath pour cette reponse rapide.

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