Matrice "diagonalisable par bloc"

[invite0f472324]

Bonjours a tous,
voila j'ai un exo d'algebre qui me pose probleme j'aimerai bien avoir vos lumières :
enoncé :
E un espace vectoriel euclidien et vérifiant à la fois et
1) Montrer que
2) Montrer que
3) Montrer que u est inversible
4) montrer que u est orthogonal
5)Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs. Ces blocs étant tous égaux à

En fait je coince a la question 5) je visualise un peux pourquoi elle peux s'ecrire comme ca mais je trouve pas de demo.
Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjours a tous,
voila j'ai un exo d'algebre qui me pose probleme j'aimerai bien avoir vos lumières :
enoncé :
E un espace vectoriel euclidien et vérifiant à la fois et
1) Montrer que
2) Montrer que
3) Montrer que u est inversible
4) montrer que u est orthogonal
5)Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs. Ces blocs étant tous égaux à

En fait je coince a la question 5) je visualise un peux pourquoi elle peux s'ecrire comme ca mais je trouve pas de demo.
Merci d'avance

Puisque , alors et est antisymétrique.
Tu en déduis que, pour tout unitaire, la famile est orthonormée.
Tu constuis progressivement en une base orthonormée de en montrant que, chaque fois que tu rajoutes un vecteur à ceux que tu connais déjà, tu peux aussi rajouter .
Ainsi ta base progresse de deux vecteurs à chaque étape.
Tu obtiens finalement une base orthonormée de la forme , dans laquelle la matrice de a la forme voulue.

[invite0f472324]

Ok je vois, merci beacoup god breath pour cette reponse rapide.