Encore un problème d´arithmétique

[invitee75a2d43]

Bonjour, je bloque sur un exo d´arithmétique, j´ai l´impression d´être sur la bonne voie, mais je n´ai que des bribes de solution et je n´avance pas.

J´expose l´énoncé d´abord et mon début de solution ensuite.

n est un entier naturel non nul. On considère tout d´abord que n est impair.
r est le nombre de diviseurs premiers de n. On note:



Pour simplifier les notations j´appelle . On a donc



On note A l´ensemble des a tels que
On note B l´ensemble des a tels que pour tout i entre 1 et r:

ou


J´en déduit déjà que B est l´ensemble des a tels que pour tout i entre 1 et r:



Il faut prouver que pour n impair, A = B. Ceci équivaut á dire que pour tout a de :



Voilà pour l´énoncé.
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Mon approche est la suivante. J´essaie de m´aider grâce au théorème chinois.

Je remarque tout d´abord que les termes q_i, les puissances des nombres premiers composante n, sont premiers entre eux 2 à 2, donc que l´anneau est isomorphe au produit cartésien de tous les anneaux . On pourra donc appliquer le théorème chinois.

Si a est dans B, pour tout i inférieur á r, a² = 1 dans

a est donc inversible dans chacun des anneaux , il est donc premier avec tous les q_i, donc aussi premier avec leur produit qui est n, donc il est aussi inversible dans . On appelle b son inverse. Dans l´anneau , on a donc ab = 1

Et puisqu´on peut appliquer le théorème chinois et qu´on a pour tout i:

a² = 1 dans

Il existe c tel que dans l´anneau , a² = c

Il s´agit donc de prouver que c = 1 et donc que b = a

J´ai essayé d´utiliser la formule du théorème chinois pour trouver c, à savoir:

c = , avec et dans

J´ai essayé le monstre avec différentes valeurs de n impair, ça marche, par contre quand il s´agit de le prouver, niet.

Je me demande s´il n´y a pas une possibilté d´utiliser le théorème d´Euler avec sa fonction indicatrice. Après tout, a répond á la condition d´être premier avec n.

Bon, et ce que me chagrine aussi, c´est que jusqu´à maintenant, je n´ai pas utilisé la condition restrictive que n est impaire...

Pas glop!

Si quelqu´un a des idées....

Merci d´avance
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[invite57a1e779]

On note B l´ensemble des a tels que pour tout i entre 1 et r:

ou


J´en déduit déjà que B est l´ensemble des a tels que pour tout i entre 1 et r:

Le noeud de ton problème réside dans cette déduction un peu hâtive, dont tu ne donnes aucune justification.

L'isomrphisme "chinois" entre et assure que, pour tout entier
si, et seulement si, pour tout , . Point n'est besoin que soit carré parfait pour ce faire.

[invite35452583]

Regardes les carrés des impairs dans Z/8Z

[invitee75a2d43]

Regardes les carrés des impairs dans Z/8Z

Merci, je me suis aperçu de mon erreur. Bon mais est-ce que pour mon problème, je ne pourrais pas tout de même utiliser ça mais comme implication, pas comme équivalence.

Car , même si la réciproque est fausse.

Si j´arrive à prouver que , alors j´aurrai déjà prouvé la moitié de mon truc, à savoir:



Ceci dit, je ne comprend toujours pas ta remarque concernant le théorème chinois: vu que les qi sont premiers entre eux, j´ai le droit de l´utiliser. La question est si c´est la bonne méthode.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

concernant le théorème chinois: vu que les qi sont premiers entre eux, j´ai le droit de l´utiliser. La question est si c´est la bonne méthode.

C'est la bonne méthode pour une partie du problème, pour ramener les nombres composés quelconques aux puissances de premiers. Ce qui est bizarre dans ton texte est qu'il semble que tu cherches à montrer le principe des restes chinois à partir du principe des restes chinois...

Reste l'autre, résoudre l'équation x²=1 modulo une puissance de premier, et le principe des restes chinois n'aide pas...

Aide: x²-1 = (x-1)(x+1), et x+1 = (x-1) + 2

Quand à n impair... as-tu réalisé que le contre-exemple fourni par homotopie est justement éliminé par cette condition?

Cordialement,

[invitee75a2d43]

merci de ton aide, je vais y réfléchir ce matin.

Il me semble que les restes chinois pourraient m´aider pour prouver que. Hier j´ai essayé de trouver c d´une façon générale en utilisant la méthode universelle indépendante du nombre de restes individuels.
Je viens d´avoir l´idée de n´essayer le produit cartésien que de deux .

Ou la la!!! J´ai comme l´impression que je m´exprime mal dans ce problème!

Cordialement

Christophe

[invite35452583]

Ceci dit, je ne comprend toujours pas ta remarque concernant le théorème chinois: vu que les qi sont premiers entre eux, j´ai le droit de l´utiliser. La question est si c´est la bonne méthode.

La remarque de God's Breath est en deux temps, la 1ère révèle une vraie erreur (x²=1=>x=+/-1), bon celle-là tu l'as comprise.
La 2ème, renouvelée par Michel, indique que tu compliques inutilement l'utilisation de l'isomorphisme "chinois".
Tu as où les p_i sont les projections canoniques p_i(x+nZ)=x+q_iZ est un isomorphisme.
Comme p(1)=(1,...,1), on a pour tout k entier (et pas seulement un carré)

Il suffit d'appliquer cette équivalence à "a²" pour obtenir A=B' où B'={entiers a tels que

Maintenant reste à savoir quand a-t-on B'=B, et c'est le cas notamment quand n est impair. Pour ce faire, Michel t'a déjà donné une aide précieuse.

[invitee75a2d43]

Aide: x²-1 = (x-1)(x+1), et x+1 = (x-1) + 2

Euh... je vois pas encore mais me dis rien, je donne pas encore ma langue au chat

Quand à n impair... as-tu réalisé que le contre-exemple fourni par homotopie est justement éliminé par cette condition?

Oui c´est vrai que si n est pair, par ex. n = 2.k alors dans l´anneau

Mais est-ce à dire que pour tout n impair,

[invité576543]

Mais est-ce à dire que pour tout n impair,

Non, pas pour tout n impair, pour n=15, on a 4²=11²=1

Mais peut-être pour certains impairs ???

Cordialement,

[invitee75a2d43]

Mais peut-être pour certains impairs ???

Cordialement,

Tu veux dire pour n premier, c´est ça?

[invitee75a2d43]

Tu veux dire pour n premier, c´est ça?

ou plutôt les puissances de nombres premiers

[invite35452583]

ou plutôt les puissances de nombres premiers

Oui et non, 8 ne "fonctionne" pas.

[invitee75a2d43]

Oui et non, 8 ne "fonctionne" pas.

oui pardon je veux dire pour toute puissance d´un nombre premier différent de 2.

[invitee75a2d43]

oui pardon je veux dire pour toute puissance d´un nombre premier différent de 2.

Mais en fait: comment prouver la chose? Ce n´est pas évident

[invité576543]

Mais en fait: comment prouver la chose? Ce n´est pas évident

C'est là qu'intervient l'indice que j'ai donné. Si x²-1 = 0 modulo pⁱ, que peut-on dire de x²-1 en arithmétique hors modulo?

Cordialement,

[invite35452583]

Oui c´est vrai que si n est pair, par ex. n = 2.k alors dans l´anneau
[/TEX]

Non, contre-exemple : k=3 n=2.3=6 k²=3²=9 congru à 3 modulo 6.
Ce n'est d'ailleurs vrai que si k=+/-1 :

 Cliquez pour afficher

ceci implique 2k divise k²-1=(k+1)(k-1) donc k divise (k+1)(k-1) or k est premier avec k+1 et k-1, les seuls nombres qui divisent un produit dont les facteurs sont premiers avec lui sont +/-1 (soit p un premier qui divise k alors p divise (k+1)(k-1) donc divise k+1 ou k-1 ce qui implique que p divise pgc(k,k+1) ou pgcd(k,k-1) contradiction donc un tel premier p n'existe pas et k=+/-1).

Mais en fait: comment prouver la chose? Ce n´est pas évident

Ca y est, tu as compris où était la difficulté.
Suis l'idée donnée par Michel a²=1 modulo p_i^n_i, càd a²-1=(a+1)(a-1) congru à 0 modulo p_i^n_i, il reste à montrer que p_i^n_i divise a+1 ou a-1 quand p_i est impair.

[invitee75a2d43]

Bon, dans un tout ordre d´idée, j´ai résolu le problème inverse, i.e. prouver que , en d´autres termes, si

Si , alors il existe K tel que dans x = kn+1, donc

donc pour tout i, x = k´q_i + 1

Pour le reste: Veux tu signifier qu´il faut prouver que pour qi puissance d´une premier impair, l´anneau est intègre?

Désolé, aujourd´hui je suis particulièrement bouché..
Je suis pas toujours comme ça, je le jure!

[invité576543]

Si , alors il existe K tel que dans x = kn+1

[invité576543]

Pour le reste: Veux tu signifier qu´il faut prouver que pour qi puissance d´une premier impair, l´anneau est intègre?

Ca va être dur... 3 fois 3 = 0 modulo 9, non?

Cordialement,

[invitee75a2d43]

non pardon, je voulais dire: x² = k.n + 1

[invité576543]

non pardon, je voulais dire: x² = k.n + 1

OK. Mais du coup ta démo de A inclu dans B tombe, non?

Mais c'est une piste qui marche: continue un peu plus loin avec cette formule, en utilisant x²-1=(x-1)(x+1)

Cordialement,

[invitee75a2d43]

donc en fait pour prouver que A = B, il ne me manque plus que la preuve que dans

[invité576543]

donc en fait pour prouver que A = B, il ne me manque plus que la preuve que dans

pour qi puissance de premier impair, oui.

Cdlt,

[invite35452583]

donc en fait pour prouver que A = B, il ne me manque plus que la preuve que dans

Oui, ce qui revient encore une fois à montrer que q_i divise x+1 ou q_i divise x-1 (dans le cas q_i puissance d'un premier impair).
divise (x+1)(x-1) mais p_i peut-il diviser à la fois x+1 et x-1 ?...

[invitee75a2d43]

continue un peu plus loin avec cette formule, en utilisant x²-1=(x-1)(x+1)

Cordialement,

Bon ben je crois que je suis arrivé au bout de mais peines, tout en me demandant s´il n´y a pas un chemin plus direct:

:

Si x² = 1 alors (x-1)(x+1) = 0, donc dans (équation 1)

Là il y a deux solutions puisque P_i est premier:

x+1 = p_i
x-1 = p_i

Si par exemple, x+1 = p_i, alors:


L´équation 1 devient alors:

ou encore


ce qui prouve que

Même raisonnement pour x-1 = p_i

Dites-moi s´il vous plait si il y a une erreur quelquepart.

[invité576543]

Là il y a deux solutions puisque P_i est premier:

x+1 = p_i
x-1 = p_i

Non.

Ce qu'on peut dire c'est que p_i divise x+1, ou p_i divise x-1, ou les deux.

Le cas "les deux" n'est pas possible. Vois-tu pourquoi?

Cordialement,

[invitee75a2d43]

Non.


Le cas "les deux" n'est pas possible. Vois-tu pourquoi?

Ben euh... Les deux ça voudrait dire que

x-1 = K₁.p_i
x+1 = K₂.p_i

Donc on aurait:K₁.p_i+1 = K₂.p_i ou encore:
p_i.(K₂ - K₁) = 2

Pour pi impaire supérieur ou égal à 3, ce n´est pas possible

[invité576543]

Pour pi impaire supérieur ou égal à 3, ce n´est pas possible

Donc?

Que peut-on dire de x-1 ou x+1?

Cordialement,

[invitee75a2d43]

Que peut-on dire de x-1 ou x+1?

ben peu importe non? J´allais répondre qu´ils sont premiers entre eux, mais c´est pas vrai vu que:

(x+1) - (x-1) = 2, donc leur pgcd est 2 (Bézout)

Mais le fait que pi divise (x+1) ou (x-1) me suffit pour prouver que

[invite986312212]

(x+1) - (x-1) = 2, donc leur pgcd est 2 (Bézout)

Bezout c'est dans l'autre sens.
x=4
x+1=5
x-1=3
2 n'est pas PGCD de 3 et 5