Bonjour, je bloque sur un exo d´arithmétique, j´ai l´impression d´être sur la bonne voie, mais je n´ai que des bribes de solution et je n´avance pas.
J´expose l´énoncé d´abord et mon début de solution ensuite.
n est un entier naturel non nul. On considère tout d´abord que n est impair.
r est le nombre de diviseurs premiers de n. On note:
Pour simplifier les notations j´appelle. On a donc
On note A l´ensemble des a tels que
On note B l´ensemble des a tels que pour tout i entre 1 et r:
ou
J´en déduit déjà que B est l´ensemble des a tels que pour tout i entre 1 et r:
Il faut prouver que pour n impair, A = B. Ceci équivaut á dire que pour tout a de:
Voilà pour l´énoncé.
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Mon approche est la suivante. J´essaie de m´aider grâce au théorème chinois.
Je remarque tout d´abord que les termes qi, les puissances des nombres premiers composante n, sont premiers entre eux 2 à 2, donc que l´anneauest isomorphe au produit cartésien de tous les anneaux
. On pourra donc appliquer le théorème chinois.
Si a est dans B, pour tout i inférieur á r, a2 = 1 dans
a est donc inversible dans chacun des anneaux, il est donc premier avec tous les qi, donc aussi premier avec leur produit qui est n, donc il est aussi inversible dans
. On appelle b son inverse. Dans l´anneau
, on a donc ab = 1
Et puisqu´on peut appliquer le théorème chinois et qu´on a pour tout i:
a2 = 1 dans
Il existe c tel que dans l´anneau, a2 = c
Il s´agit donc de prouver que c = 1 et donc que b = a
J´ai essayé d´utiliser la formule du théorème chinois pour trouver c, à savoir:
c =, avec
et
dans
J´ai essayé le monstre avec différentes valeurs de n impair, ça marche, par contre quand il s´agit de le prouver, niet.
Je me demande s´il n´y a pas une possibilté d´utiliser le théorème d´Euler avec sa fonction indicatrice. Après tout, a répond á la condition d´être premier avec n.
Bon, et ce que me chagrine aussi, c´est que jusqu´à maintenant, je n´ai pas utilisé la condition restrictive que n est impaire...
Pas glop!
Si quelqu´un a des idées....
Merci d´avance
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