Problème en Arithmétique!

[invite40f60ec5]

La question est: Résoudre dans Z/19Z
x^3=1

En gros c'est résoudre:
x^3=1+19k (avec k appartent aux entiers relatifs)

Mais bon je bloque... Je ne pense pas que le théoréme de bezout puisse etre utile, fermat non plus. Je ne sais pas comment m'y prendre.
Merci de votre aide.
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[inviteaf1870ed]

19 est premier, donc il n'y a pas de diviseurs de zéros, donc ton équation s'écrit (x-1)(x²+x+1)=0 etc.

[invite40f60ec5]

Je suis d'accord, mais mon probleme reste l'équation
X^2+X+1=0 [19]

Les racines sont complexes, comment puis-je m'en sortir?

[invite3d7be5ae]

Il suffit de tester tous les nombres entre 0 et 18.
On trouve 1,7,11.

Pole.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Il suffit de tester tous les nombres entre 0 et 18.
On trouve 1,7,11.

Pole.

+1, quand il n'y a pas trop de solutions possibles (ici 19), il ne faut pas avoir un poil dans la main ...

[invite40f60ec5]

Merci beaucoup de votre aide!

[invite6acfe16b]

Il suffit de tester tous les nombres entre 0 et 18.
On trouve 1,7,11.

On peut aussi utiliser les formules bien connues pour les racines d'un polynôme du second degré :

vu dans
On trouve

Comme 4^2=16=-3, on et donc

et donc x=11 ou 7.

[inviteaf1870ed]

moi j'ai fait
x(x+1)=-1 mod (19)
si x est solution, t=-x-1 est aussi solution.
Par inspection 7 est solution, donc 11 =-8 mod19.